ЗМІСТ

Вступ………………………………………………………………………………..4

Розділ 1. Постановка контактних задач і їх математична формалізація……….5

1.1.Математична формалізація контактних задач ……………………..6

Розділ 2. Основні рівняння плоскої задачі теорії пружності для масивних циліндричних тіл……………………………………………………..10

2.1. Ізотропна пластинка з криволінійним отвором.…………………10

2.2. Круглий ізотропний диск …………………………………………16

2.3. Граничні умови контактних задач для нескінченної пластинки з криволінійним отвором і жорсткого диска………..19

Розділ 3. Взаємодія жорсткого диска з криволінійним отвором нескінченної пластинки при їх повному контакті…………………………………27

3.1. Передача моментного навантаження від жорсткого диска до нескінченної пластинки з криволінійним отвором…………………...27

3.2. Передача силового навантаження від жорсткого диска до криволінійного отвору нескінченної пластинки ……………………..33

Розділ 4. Неповний контакт жорсткого диска з криволінійним отвором нескінченної пластинки……………………………………………...36

4.1. Передача моментного навантаження до нескінченної

пластинки з криволінійним отвором…………...……………………...36

4.2. Передача силового навантаження до нескінченної

пластинки з криволінійним отвором……...…………………………...47

Розділ 5. Контактна взаємодія нескінченної пластинки з криволінійним отвором і двозв’язних штампів з кутовими точками………………60

5.1. Односторонній контакт двозв’язного штампа з кутовими точками і криволінійного отвору в нескінченній ізотропній пластинці………60

5.2. Двосторонній контакт криволінійного отвору в нескінченній пластинці і двозв’язних симетричних штампів з кутовими точками.74

Розділ 6. Вплив тертя на розподіл напружень при контакті гладких циліндричних тіл і штампів з кутовими точками………………….86

6.1. Нескінченна пластинка з круговим отвором …...………………..86

6.2. Стискування пружного диска двома жорсткими штампами……92

Література………………………………………………………………………...95

ВСТУП

Успішному вирішенню проблеми надійності і довговічності машин сприяють численні наукові дослідження в галузі машинобудування, зокрема, вивчення вузлів механізмів і машин, в яких конструктивно передбачено сполучення деталей. Недостатня контактна міцність останніх і використання сучасних композиційних матеріалів приводить до необхідності розв’язування якісно нових контактних задач трибомеханіки для циліндричних тіл з гладкими і ребристими криволінійними (некруговими) поверхнями в передачах поступального та обертального руху.

Побудова адекватних математичних моделей і ефективний розв’язок відповідних контактних задач дозволяє достовірно визначити напружено-деформований стан контактуючих тіл, а одержані результати використовувати при проектуванні і оптимізації передач руху з метою економії матеріалів та виявлення додаткових ресурсів при їх експлуатації.

Основу посібника складають результати наукових досліджень автора та його учнів Сяського В.О., Комбель С.М., Батишкіної Ю.В., Сяського В.А.

Використовуючи інтегральні залежності між компонентами тензора напружень і тензора деформації або вектора зміщення в зоні контакту побудовано математичні моделі контактних задач для циліндричних тіл з гладкими та ребристими поверхнями у вигляді системи сингулярних інтегродиференціальних чи інтегральнодиференціальних рівнянь з ядрами Гільберта або логарифмічними ядрами для визначення контактних напружень. Дискретні моделі цих задач будуються методом колокації.

Розглянуто часткові випадки контактних задач.

Розділ 1 Постановка контактних задач і їх математична формалізація

Під контактними задачами прийнято розуміти такі задачі механіки деформівного твердого тіла, коли необхідно знайти напруження, що виникають між двома тілами, які вступили в контакт внаслідок дії певних сил (рис. 1.1 а). При цьому допускається, що хоч одне з тіл деформівне.

Рис. 1.1

Спільну частину поверхонь цих тіл (рис. 1.1 б), яка утворилася в процесі деформації, називають областю або зоною контакту, а напруження p(А) в області контакту (рис. 1.1 в) називають контактними напруженнями. Якщо контакт тіл гладкий, тобто не враховуються сили тертя, то дотичні контактні напруження відсутні.

Розв’язок контактної задачі передбачає визначення величини і положення зони контакту та закону розподілу контактних напружень, тобто функції p(А).

Домовимося більше (за розмірами) із контактуючих тіл називати основою. Тоді на контактну задачу можна дивитися, як на проблему тиску того чи іншого тіла на основу.

У більшості випадків контактних задач, які мають значний практичний інтерес, область контакту мала в порівнянні з характерними розмірами основи. Це дозволяє з достатньою інженерною точністю моделювати основу канонічною областю (півпростір, циліндр, простір з циліндричною порожниною, півплощина, площина з гладким криволінійним вирізом тощо).

Математична формалізація контактної задачі суттєво залежить від механічних властивостей основи і конфігурації контактуючих тіл, тому в наступних розділах об’єктами контактної взаємодії будуть пружні та абсолютно жорсткі циліндричні тіла з гладкими і ребристими поверхнями.

Циліндричне пружне тіло – частина пружного простору, яка обмежена двома циліндричними поверхнями з паралельними твірними та двома паралельними площинами, що перпендикулярні до твірних і віддалені одна від одної на відстань . Характерні поперечні розміри зовнішньої і внутрішньої поверхонь тіла позначимо відповідно і .

Якщо зовнішня обмежуюча поверхня віднесена в нескінченність або , то таке циліндричне тіло будемо називати масивним.

При масивне тіло має вигляд довгого циліндра, на якому можна реалізовувати плоску деформацію.

При масивне тіло має вигляд тонкої нескінченної пластинки з гладким криволінійним отвором, на якій можна реалізовувати узагальнений плоский напружений стан.

Абсолютно жорсткі тіла будемо вважати масивними циліндрами або штампами.

1.1. Математична формалізація контактних задач

Розглянемо задачу про тиск без тертя абсолютно твердого тіла (штампа) на пружну основу. Їх контактна взаємодія забезпечується вертикальною силою (рис. 1.2 а).

Рис. 1.2

Позначимо через область поперечного перерізу штампа І-І (рис. 1.2 б). Будемо вважати, що під дією сили штамп рухаючись поступально повністю втискується в основу, тобто кутові точки С, D та інші вступили в контакт з основою. Це буде означати, що область контакту співпадає з .

Нехай поверхня визначає профіль штампа (просвіт між штампом і основою), а – найбільша осадка його поверхневих точок. Тоді осадку точок основи в області контакту можна визначити за формулою

(1.1)

Позначимо через нормальні контактні напруження під штампом. Ефект дії штампа на основу еквівалентний прикладанню до вертикального навантаження (рис. 1.3).

Якщо функцію тимчасово вважати відомою, то через неї осадка точок основи визначаються за формулою

, (1.2)

де – вертикальне зміщення точки від одиничної вертикальної сили, яка прикладена в точці області .

Рис. 1.3

Порівнюючи праві частини (1.1), (1.2), приходимо до інтегрального рівняння для визначення

. (1.3)

Крім рівняння (1.3) повинна виконуватися умова рівноваги штампа

, (1.4)

яка служить для визначення величини .

Співвідношення (1.3), (1.4) складають математичну формалізацію розглядуваної контактної задачі.

Ця задача суттєво ускладнюється, якщо штамп не повністю вступає в контакт з основою (рис. 1.2 в). У даному випадку область контакту наперед невідома. Однак рівняння (1.3), (1.4) залишаються в силі, якщо в них замінити на . При цьому положення межі зони контакту визначається із умови перетворення в нуль (в цих точках) контактного тиску, тобто p(А)=0, p(В)=0 і т.п.

Щоб одержати правильний розв’язок задачі поступають так. Розв’язують систему (1.3), (1.4) вибравши замість деяку іншу область . Якщо при цьому виявиться, що в деяких частинах області , то необхідно повторити розв’язок для і так до тих пір, поки не виявиться, що для деякої області у всіх її точках , а на межі . Це і буде істинна область контакту.

Така загальна схема розв’язку, яка справедлива для всіх контактних задач з наперед невідомою зоною контакту, в окремих випадках може бути суттєво змінена і спрощена, що і буде проілюстровано в наступних розділах.

Труднощі розв’язування поставлених вище контактних задач в першу чергу залежать від конфігурації області контакту, якщо вона наперед невідома, або від конфігурації і характеру навантаження абсолютно твердого тіла.