Ряды. 7 вариант
.pdfЗадание №1
Исследовать на сходимость ряды
lnn
1)n 1 n3 n 1
Рассмотрим функцию y x x ln x при x 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1 |
1 |
|
x 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|||||||
Так |
|
как при |
x 1 имеем |
|
и y 1 1 ln1 1 0, то при |
x 1 имеем |
y x 0, т.е. |
|||||||||||||
|
y x 0 |
|||||||||||||||||||
x ln x 0, |
x ln x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как n lnn и n3 |
n 1 n3 , то: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lnn |
|
n |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n3 n 1 |
n3 |
n2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ряд |
|
1 |
сходится так как степень 2 1, поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
n 1 n2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnn
иряд n 1 n3 n 1.
Ответ: ряд сходится.
|
2n 1!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
n 1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Обозначим un |
2n 1!! |
, тогда un 1 |
|
2 n 1 1!! |
|
2n 1!! |
|
2n 1!! 2n 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
3n n 1! |
|
3n 1 n 1 1! |
3n 1 n 2 ! |
3n 1 n 1! n 2 |
Применим признак Д’Аламбера:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
un 1 |
|
2n 1!! 2n 1 |
|
3n n 1! |
|
1 |
|
2n 1 1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
u |
|
|
|
3n 1 n 1! n 2 |
2n 1!! |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
3n n 2 |
3n |
|
|
3 |
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как lim |
un 1 |
|
|
2 |
|
1, то ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n u |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ряд сходится.
|
|
|
|
Задание №2 |
|
|
n |
n |
3 |
1 |
|
Найти область сходимости ряда |
x 2 |
|
|||
n! |
|
|
|
||
n 1 |
|
|
|
Решение
Пусть a |
|
n3 1 |
, тогда a |
|
|
n 1 3 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n |
|
n 1 |
|
|
n 1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
n3 1 |
n 1! |
|
|
n 1 n3 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
R lim |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
an 1 |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n |
n |
n 1 1 |
|
n |
n 1 1 |
|
Ряд сходится при x ; .
Ответ: x ; .