геометрия
.pdf
Ì1-33
Касательную (t в точке А) можно рассматривать как предельное положение секущей, которое занимает последняя при сближении точек пересечения А и В секущей АВ до слияния их в одну точку.
п - нормаль кривой линии в данной точке, п t. Сколько их можно провести? К пространственной кривой можно провести п →∞, т.е. к касательной можно построить плоскость, нормальную к ней. Если кривая - плоская, то к касательной можно провести только одну нормаль.
Рассмотренная точка А, у которой толька одна касательная и одна нормаль , называется обыкновенной точкой кривой. Если вся кривая состоит из обыкновенных точек, то она называется регулярной (гладкой, плавной).
ò |
Ñ |
t |
У регулярной плоской кривой (рис. 1.50) в каждой точке |
 t |
А, В, С, D, Е к касательной можно провести только |
||
|
Dt |
одну нормаль, поэтому все точки являются обыкновкнными |
|
t |
|
|
(монотонными). Характеристикой плавной кривой может |
õ À |
|
Å |
быть и угол наклона касательных относительно оси Х, |
|
t |
который в данном случае меняется плавно. |
Ðèñ. 1.50
Особые точки кривых линий
Точку кривой называют особой (нерегулярной), если положение или направление касательной в этой точке
определено неодназначно. К особым (нерегулярным) относятся:
t=t′
t |
t′ |
t=t′ |
|
|
|
||
Точки узловые (самопересечения) |
Точки возврата первого рода |
Точки возврата второго |
|
|
|
|
ðîäà (êëþâ) |
t
t
t′
Точки самосоприкосновения |
Точки угловые (точки излома) |
Ðèñ. 1.51 |
Свойства проекций кривых линий
â
Â
ò
À
t Π1
ò1 |
À1 |
â1 |
t |
||
1 |
|
Â1 |
|
|
Свойства кривых линий и их проекций позволяют наглядно демонстрировать физические, химические, электрические процессы. В геометрии кривые линии - это линии пересечения поверхностей.
1. Проекцией кривой линии является кривая линия (в общем случае).
2.Касательная к кривой проецируется в касательную
êее проекции.
Ðèñ. 1.52
|
Ì1-34 |
|
3. |
Несобственная точка кривой проецируется в несобственную |
точку ее проекции. |
4. Порядок кривой (только для алгебраических кривых) в проекциях |
не изменяется. |
|
5. |
Число точек пересечения кривой сохраняется при проецировании. |
|
Некоторые плоские кривые линии
Эллипс, парабола, гипербола - алгебраические кривые второго порядка определяются уравнением |
||||||
|
|
|
à |
|
Эллипс |
f(õ,ó) = 0. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
C |
R= |
|
АВ = 2а - большая ось эллипса |
|
|
|
|
||||
Ì |
|
|
|
|
CD = 2в - малая ось эллипса |
|
|
|
|
|
|
||
F1 |
|
|
F2 |
â |
О - центр эллипса |
|
|
|
B |
F1 ; F2 - фокусы эллипа |
|
||
A |
|
O |
|
|
А,В,С,D - вершины эллипса |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
â |
Точки M и N - любые точки |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
эллипса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
à |
D |
|
à |
|
MF1 + MF2 = NF1 + NF2 = ÀÂ - Const |
|
|
Ðèñ. 1.53 |
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
Эллипс - это все множество точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а.
У эллипса все точки собственные. Кривая симметрична относительно обеих осей. Всегда можно подобрать такую пару диаметров эллипса, что: хорды, параллельные одному диаметру, делятся другим диаметром пополам, такие диаметры называются сопряженными.
|
Графически можно построить любую точку |
эллипса, |
|
|
||||
если заданы его оси. Эллипс на |
рис. 1.54 построен равномерным |
1 |
|
|||||
сжатием окружности в |
направлении ОС ОА |
|
|
Ñ |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
Ñ |
|
|
Ñ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
 |
||
À |
|
|
À |
|
|
|
|
|
Î |
 |
Î |
|
 |
À |
Î |
||
|
|
|
||||||
|
D |
|
|
|
D |
|
|
D |
|
|
|
|
|
Из точек пересечения любого |
|||
|
|
|
|
Разделить окружности на |
||||
|
АВ-большая ось |
|
|
луча с окружностями провести |
||||
|
СD-малая ось |
|
|
12 равных частей |
прямые, параллельные осям |
|||
|
|
|
|
|
|
|
эллипса: |
|
|
|
|
Ñ |
|
|
|
из точки 1||СD, из точки 2||ÀÂ. |
|
|
À |
Î |
|
 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
D |
|
Ðèñ. 1.54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ì1-35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Парабола |
|
|
|
|
|
|
|
||
Парабола обладает одной осью и имеет две вершины: О - собственная точка и S ∞- несобственная |
||||||||||||||||||||||
точка (парабола имеет одну несобственную точку), F -фокус и |
Р-параметр параболы |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
директриса |
|
|
|
|
Парабола - это все множество точек, равноудаленных |
||||||||||
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
от прямой d (директрисы) и данной точки F (фокуса) |
|||||||||||
|
S ∞ |
|
|
Î |
|
|
Если требуется построить параболу по заданной вершине О, |
|||||||||||||||
|
õ |
|
|
|
F |
|
Ê |
|
|
оси Х и точки М, то строится прямоугольный треугольник-ОАМ |
||||||||||||
|
|
ð |
|
|
|
|
|
|
|
Ì |
3 |
2 |
1 |
À |
|
|
|
(ðèñ. 1.56) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ð/2 |
|
|
ð/2 |
|
|
|
|
|
|
|
3′ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ó |
|
|
|
|
|
|
|
|
1′ 2′ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
õ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 1.56 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 1.55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гипербола |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Гипербола - разомкнутая кривая, состоящая из двух симметричных ветвей; она имеет две оси |
|||||||||||||||||||||
|
симметрии - действительную (ось -х) и мнимую (ось-у). Асимптоты - это прямые, к которым ветви |
|||||||||||||||||||||
|
гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность (рис. 1.57). |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
асимптоты |
|
|
|
∞ |
|
Точки А и В - вершины |
гиперболы. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 è F2 |
- фокусы гиперболы |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MF1 - MF2 = NF1 |
|
- NF2 = const =2a |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
||||||
|
|
õ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние между F1 |
|
è F2 |
равняется |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2â |
F1 |
A |
Î |
|
B |
|
F2 |
|
|
|
сумме (а 2 + â 2) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∞ |
|
|
2à |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ó |
|
|
|
|
|
Ðèñ. 1.57 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гипербола - это все множество точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных |
|||||||||||||||||||||
|
точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Построение гиперболы, если заданы вершины А и В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
è |
фокусы F1 è F2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
F1 |
À |
 F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 4 5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 158 |
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
À |
 |
F2 |
|
|||
|
Точки - 1,2,3.,4,5 - ряд произвольно взятых точек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Из фокусов F1 |
è F2 , как из центров, |
проводят дуги, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
радиусами которых служат расстояния от вершин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
А и В до точек 1,2,3,4,5 и т.д.. (рис. 1.59) |
|
|
|
Ðèñ. 15.9 |
|
||||||||||||||||
|
R2 |
= Â1, Â2, Â3, Â4, Â5 |
|
R1 |
= À1, À2, À3, À4, À5 |
|
|
|
||||||||||||||
Ì1-36
4
3
2
1
Эвольвента
Эвольвента (развертка окружности)- эта лекальная кривая широко применяется в технике. Например, форма боковой поверхности зуба
зубчатых передач, называемая профилем зуба, очерчивается по
эвольвенте.
5 6 7
8
9
10
0 11
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Ðèñ. 1.60
Алгоритм построения
1.Окружность разделить на 12 частей.
2.В точках деления провести касательные к окружности направленные в одну сторону
3.На касательной, проведенной через последнюю точку, откладывают отрезок равный, 2πR, и делят на 12 частей.
5.На первой касательной откладывают 1/12 отрезка на второй 2/12 и т.д.
Комплексный чертеж пространственной кривой. Цилиндрическая винтовая линия
Из закономерных пространственных кривых наибольшее практическое применение находят винтовые линии: цилиндрические и конические.
Цилиндрическая винтовая линия образуется вращением точки вокруг некоторой оси с одновременным поступательным движением вдоль этой же оси.
i |
R |
h |
|
i - ось винтовой линии R - радиус вращения
h - шаг, определяет расстояние между двумя смежными витками.
Ðèñ. 1.61
|
Ì1-37 |
|
|
|
|
Алгоритм построения |
|
|
|
Угловое перемещение точки прямо пропорционально линейному. Угол подъема винтовой |
линии |
|||
ι2 |
равен углу наклона касательной |
t в любой точке |
||
винтовой линии к плоскости, перпендикулярной ее оси. |
||||
ò2 |
1. Горизонтальную проекцию (окружность) делить |
|||
на 12 частей. |
|
|
||
|
2. Делить принятое значение шага ( h ) на |
|
||
h |
12 частей. |
|
|
|
3. Определить нулевое положение точки |
Î(Î1 |
è Î2 ) |
||
|
||||
|
|
|
|
|
4. Фронтальные проекции точек находятся как |
|
|
|||||||
|
t2 |
|
|
точки пересечения одноименных горизонтальных |
|
|
||||||||
|
|
|
и вертикальных прямых, проведенных через точки |
|
|
|||||||||
31 |
|
2 |
|
|
деления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
ò1 |
- окружность |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ò2 |
- синусоида |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Î2 |
|
Винтовую линию |
называют правой, если точка |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
поднимается |
вверх и вправо по мере удаления |
|
|||||||
|
ι1 |
|
|
|
от наблюдателя и левой, если точка |
|
|
|
||||||
|
|
Î1 |
|
поднимается вверх и влево по мере удаления |
|
|
||||||||
|
|
|
от наблюдателя. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
11 |
|
|
t2 - касательная к винтовой линии |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке 2 (2 |
,2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ò1 |
Ðèñ. 1.62 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры положения |
точки и прямой относительно |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
плоскостей проекций |
|
|
|
|
|
||||
Â2 |
|
|
|
Â2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Â2 |
à2 |
|
à |
|
à |
|
|
|
à2 |
|
à |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
Â2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Â2 |
|
|
|
|
|
|
|
Â1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Â1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Â1 |
||
|
|
|
|
|
|
à1 |
|
|
|
|
|
|
||
à |
|
à |
|
|
|
|
|
à1 |
|
à |
||||
1 |
|
|
1 |
Â1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Â1 |
|
|
|
|
Точка |
В принадлежит |
||
Точка В расположена |
|
Точка В расположена |
Точка В расположена |
|
Точка В расположена |
|||||||||
|
выше прямой а |
|
|
прямой а |
|
|||||||||
выше прямой а |
|
|
ниже прямой а |
|
|
ниже прямой а |
|
|
||||||
|
и дальше от П2 |
, ÷åì à |
|
|
|
|
|
|
||||||
и ближе к П2 , ÷åì à |
|
и дальше от П , чем а |
|
и ближе к П2 , ÷åì à |
|
|
|
|||||||
(дальше от наблюдателя) |
(ближе к наблюдателю) |
|
2 |
|
|
(дальше от наблюдателя) |
|
|
|
|||||
(ближе к наблюдателю) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Ответы на тесты - ¹ 1, 2, 3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
Òåñò ¹ 1: |
1-2 2-6 3-5 |
4-1 5-5 |
6-3 |
7-4 8-2 |
|
|
|
|
||||
|
|
Òåñò ¹ 2: |
1-3,6 |
2-5 |
3-1 |
4-4 |
5-2 |
|
|
|
|
|||
Òåñò ¹ 3: |
1-5 |
2-2,4 3-1,3,6 |
Ì1-38
Задание прямых на комплексном чертеже
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
à |
|
|
|
à1 à2 à3 - ñ |
Прямая |
|
|
|
|
2 |
à3 |
|
|
искажением, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
общего |
|
|
|
|
|
|
|
углы наклона |
||||||||||
положения |
à1 |
|
|
|
ê Π1 ,Π2 ,Π3 - ñ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
искажением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
à |
ë |
ü |
h2 |
h3 |
|
h1 -без искажения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
h2 ,h3 -c искажением |
|||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
î |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
óãîë β-áåç |
||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
î |
ð |
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
искажения |
|||||
|
|
à |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Прямыеуровня |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü |
|
f3 |
|
f2 -без искажения |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
f2 |
|
|
f |
,f -c искажением |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
à |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
óãîë α -áåç |
||||
|
ð |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 |
|
|
искажения |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÿ |
|
ð |
α |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
ð3 -без искажения |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
à |
|
|
2 |
|
ð3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ü |
|
|
|
|
|
|
|
ð1 ,ð2 -c искажением |
|||
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ÿ |
|
|
|
|
|
уголы α,β -без |
|||
|
|
ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
î |
|
|
|
|
|
à |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ð |
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
ð |
|
|
искажения |
||||
Ï |
|
|
|
|
|
ÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ð |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Горизонтально |
|
проецирующая |
|
â2 |
â3 |
|
|
â1 - точка |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
â2 ,â3 - áåç |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
искажения |
|||||||||
Проецирующиепрямые |
|
|
|
|
â1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
Профильно Фронтально |
|
проецирующая проецирующая |
|
|
c2 |
ñ3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ñ2 - точка |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ñ1 ,ñ3 - áåç |
||||||||||
|
|
|
|
ñ1 |
|
|
|
искажения |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
d2 |
d3 |
|
|
d3 - точка |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d1 ,d2 - áåç |
||||||||||
|
|
|
|
d1 |
|
|
|
искажения |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Параллельные прямые
|
|
â2 |
à2 |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
У параллельных прямых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одноименные |
|
|
â1 |
|
|
|
à1 |
проекции параллельны |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пересекающиеся прямые |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ê2 |
|
|
|
|
à2 |
|
|
â2 |
Точки пересечения |
|||
|
|
проекций прямых |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
находятся на одной |
à1 |
|
|
â |
линии связи |
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
||
Ê1
Скрещивающиеся прямые
12 |
(3 |
)=4 |
â2 |
Точки 1 и 2 - |
|
горизонтально |
|||||
|
2 |
2 |
à2 |
||
|
|
|
конкурирующие |
||
22 |
3 |
|
â |
|
|
|
|
1 |
|
||
|
1 |
|
|
Точки 3 и 4 - |
|
|
|
|
à1 |
||
11 =(21 ) |
41 |
|
фронтально |
||
|
|
конкурирующие |
|||
|
|
|
|