Сборник задач-Пономаренко ВН
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§30. Индивидуальные задания по теме «Ряды» |
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1. |
Найти сумму ряда: |
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∞ |
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3n +8 |
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∞ |
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3n |
+ 4 |
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1. ∑n=1 n(n +1)(n + 2) . |
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2. ∑n=1 n(n +1)(n + 2) . |
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∞ |
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3 |
− n |
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∞ |
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n |
−1 |
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|||
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3. |
∑n=1 (n + 3)(n +1)n . |
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4. ∑n=1 n(n +1)(n + 2) . |
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∞ |
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4 |
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∞ |
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5n |
− 2 |
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|||||
5. ∑n=3 n(n −1)(n − 2). |
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6. ∑n=2 (n −1)n(n + 2). |
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∞ |
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4 |
− n |
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∞ |
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5n |
+ 9 |
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|||
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7. ∑n=1 n(n +1)(n + 2) . |
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8. |
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∑n=1 n(n +1)(n + 3). |
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||||||||||||||||||||
|
∞ |
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3n +1 |
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∞ |
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n |
− 4 |
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|||||
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||||||||
9. |
∑n=3 (n −1)n(n +1). |
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10. |
∑n=3 n(n −1)(n − 2). |
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||||||||||||||||||||||
|
∞ |
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1 |
− n |
|
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|
∞ |
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3n −1 |
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||||||
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|||||||||
11. |
∑n=1 n(n +1)(n + 3). |
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12. |
|
∑n=3 n(n2 −1). |
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||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
1 |
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|
∞ |
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|
8n −10 |
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||
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||||
13. |
∑n=2 n(n2 −1). |
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|
14. |
∑n=3 (n −1)(n − 2)(n +1). |
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|||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
n |
− 2 |
|
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|
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|
∞ |
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|
n |
+ 5 |
|
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|
|||
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|
|
. |
|
|
|
|
|
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|
∑ |
|
|
. |
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||||||||
15. |
∑n=3 (n −1)n(n + |
1) |
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16. |
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(n |
2 |
−1)(n + 2) |
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|
n=3 |
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||||||||||||||||||||
|
∞ |
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n |
+ 6 |
|
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|
∞ |
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|
3n |
+ 2 |
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|||
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|||||||
17. |
∑n=1 n(n +1)(n + 2) . |
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|
18. |
∑n=1 n(n +1)(n + 2) . |
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||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
2 |
− n |
|
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|
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|
|
∞ |
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|
2 |
|
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|
|||
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||||||
19. ∑n=3 n(n +1)(n + 2) . |
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|
20. ∑n=1 (n + 2)(n +1)n . |
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2. Исследовать на сходимость ряды: |
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|||||||||||||||||||
|
∞ |
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|
2 |
|
|
n ; |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
∞ |
|
n n +1 |
|
|
||||
|
а) ∑sin |
|
|
n |
|
|
|
б) ∑ln n2 |
+ 5 |
; |
|
|
|
|
|
|
в) ∑ |
; |
|
|||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
n |
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
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|
n=2 |
2 |
|
(n −1)! |
|
|||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
1 |
|
n |
|
−n |
2 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
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|
2n +1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||
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|
; |
|
д) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
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|
е) ∑(−1) |
n+1 |
. |
||||||||||||||||
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г) ∑ |
n |
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|
|
|
nln |
2 |
(3n |
+1) |
|
|
|
n(n +1) |
||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
3 |
n + |
1 |
|
|
|
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|
n=2 |
|
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|
|
n=1 |
|
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|||||||||||||||||
2. |
∞ |
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|
2 +(−1)n |
; |
б) |
∞ |
( |
n2 +3 |
) |
2 |
; |
|
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|
|
∞ |
(n!)2 |
|
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|||||||||||||||
а) ∑nsin |
|
n |
3 |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∑ |
2 |
n2 |
; |
|
|
|||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
5 |
+ln |
4 |
n |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
123 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∑ n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n ; |
||||||||
|
а) ∑ |
|
|
|
|
|
2n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
6) |
||||||||||||||
7. |
n=1 |
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
n=1 |
n +1 (3x |
|
+8x + |
|
|||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) ∑2n x3n sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
б) ∑32n xn sin |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
1+ x n |
|
|
|
∞ |
(x2 − 6x +12)n |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
а) ∑ |
n +3 |
|
1 |
− x |
|
; |
|
|
|
а) ∑ |
|
|
|
4 |
n |
( |
n |
2 |
+ |
1 |
|
|
||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
9. |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∑23n xn sin 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
б) ∑3n x3n sin |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
а) ∑ |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x+1 ; |
|
∞ |
|
3 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n=1 ( |
n |
|
|
+ |
n +1) |
|
|
|
а) ∑ |
(x + n) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
n=1 |
|
|
|
x . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x . |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∑8n x3ntg |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
б) ∑3n xntg |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
|
∞ |
3(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
( |
x2 −5x +11 n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
а) ∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
а) ∑ |
|
5 |
n |
(n |
2 |
|
|
) |
; |
|
|
||||||||||||||||
13. |
n=1 |
|
|
x + n |
|
|
|
|
|
|
|
14. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
+ 5) |
|
|
|
||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2n x3narcsin x . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
б) ∑x3ntg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∑ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
||||
|
∞ |
(n +nx) |
n |
|
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∞ |
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1 |
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|||||||||||||
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а) ∑ |
|
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||||||||||||||||
|
а) ∑ |
|
; |
|
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|
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|
|
|
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|
; |
|
|
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|||||||||||||||||
15. |
n=1 |
|
|
|
n |
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16. |
n=1 |
n(n + x) |
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||||||||||||
∞ |
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|
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3x |
|
∞ |
2 |
n |
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|||||
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|
. |
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|
sin2n (2x). |
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|||||||||||||||
|
б) ∑27n x3narctg |
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|
б) ∑ |
n |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
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2n +3 |
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|
n=1 |
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|||||
|
∞ |
|
(−1) |
n |
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|
∞ |
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|
n |
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|||||||||
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||||||||||||
|
а) ∑ |
|
|
|
2 ; |
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|
а) ∑ |
1 + xn ; |
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||||||||||||||||||
|
= |
(x + n) |
|
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|
|
= |
1 − x |
|
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|||||||||||||||||
17. |
n 1 |
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18. |
n 1 |
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||||||||||||
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|
n |
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|
∞ |
|
n |
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|||
|
∞ |
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||||
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|
tg2n x . |
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|
б) ∑ |
24 sinn (3x). |
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|||||||||||||||||||||||||
|
б) ∑3 |
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||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
n |
|
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|
|
n=1 |
n |
|
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|||
|
∞ |
n +1 |
|
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|
∞ |
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|
|
n |
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||
|
а) ∑ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
xn |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
2 |
−1 |
|
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||||||||||||||
19. |
n=1 |
|
|
|
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|
20. |
n=1 |
|
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|
||||||||||
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
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|
|
∞ |
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|
1n 2 tgn x . |
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|||||||||||||
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|||||||||||||||
|
б) ∑42 sin2n |
x . |
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|
б) ∑ |
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||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
n |
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n=1 |
n 3 |
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||||||||
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127 |
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