Задачи с решениями по сопромату

F

R .

A

У

Для расчета используем метод последовательных приближений.

Приближение 1.

Т

В первом приближении примем коэффициент продольного изгиба

1

0,5 , тогда

Н

F

250 103

А

2,5 10 3 м2 25см2 .

1

1R

6

Б

0,5 200 10

Площадь одного уголка составит:

А

А1

25

12,5см2 .

й

уг

2

2

и

Из сортамента прокатной стали (Приложение 3) выбираем уголок

100х100х6,5 с площадью Ауг= 12,8см.

р

Определим радиусы инерции данного сечения относительно глав-

y

2Ауг

yoкото

ных центральных осей х и у,

ые являются осями симметрии

сечения.

т

2IY

i

0

i

уг

1,99см (находим в сортаменте, Прило-

жение 3).

2 I

A

а2

иX уг

ixугo а2 ;

ix

0

з2 Ауг

п

е

iX 0

3,88оcм (находим в сортаменте, Приложение 3),

а

z0 cos45

2,68 0,707

1,895cм,

( z0

находим в сортаменте),

ix

3,88

1,8952

2,73см.

РСравнивая iy

и

ix ,определяем, что минимальным радиусом

инерции является

iy .

Определим гибкость колонны:

l

2 1,4

140,7.

1

imin

1,99 10 2

По таблице (Приложение 5) определяем значение коэффициента

1'

, соответствующего гибкости 1

140,7 :

при

140

0,376

150

0,328

Т

Путем линейной интерполяции получим:

У

'

0,376

0,376

0,328

0,7

0,373.

Н

1

10

Проверим выполнение условия устойчивости в первом приближе-

нии:

F

250 103

6

1

97,66 10 Па

97,66МПа;

A1

2 12,8 10 4

Б

и

1'

R 0,373 200

74,6МПа;

97,66

74,6

Перенапряжение составляет

р

й100

30,83% , что не-

74,6

допустимо.

Необходимо увеличить п пе ечн е сечение.

Приближение 2.

За н в е значение коэффициента

принимаем

и

2

среднее арифмет ческое первыходвух.

'

0,5

т0,373

1

1

0,437;

тогда площадь сечения

2

о

2

2

A

F

з250 103

2,86 10 3 м2

28,6см2 ;

п2

2

2

R

0,437 200 106

е

2

А2

28,6

14,3см2 .

А

уг

Р

А

15,2см2;

В сортаменте выбираем уголок 110х110х7

iY

imin

2,19cм.

0

Определяем гибкость стержня:

l

2 1,4

127,9.

2

imin

2,19 10 2

Из таблицы для

127,9

выберем значение

:

120

0,479

130

0,425

'

0,479

0,479

0,425

7,9

0,436.

2

10

У

Проверим выполнение условий устойчивости:

Т

F

250 103

82,2 106 Па

82,2МПа;

2

2 A

2 15,2 10

4

Н

'

R 0,436 200

87,2МПа;

'

2

2

2 R;

87,2

82,2

Б

Недонапряжение составит:

87,2

100 5,7%

, что для прокат-

ного профиля приемлемо.

й

Окончательно принимаем сечение в виде двух уголков

110х110х7.

Imin 72,7cм4

;

и

р

Находим величину критической с лы.

Так как

пред , т.е.

127,9>100, то используем

мулу Эйлера для определения крити-

ческой силы:

т

2 72,7 10 8

и

3

Fкр

2 ЕImin 3,142

200 109

l

з

2 1,4

о

Тогда коэффициент апаса устойчивости будет равен:

п

ку

Fкр

365,7

1,46.

F

250

е

Р

Требуется:

Т

1) определить величины максимальных динамических напряже-

ний в элементах системы;

Н

2) определить величину динамического перемещения точкиУпри-

ложения груза.

Б

Массу конструкции не учитывать.

и

G=400H,

й

в=0,4м,

р

d=4см,

а=1,4м,

о

двутавр №18,

h=5см.

т

и

Р с.8.1. Схема с ержневой системы.

з

о

Решение.

Рассчитаем стержневую систему на статическую нагрузку

п

Предварительно пределим усилие в стержне.

е

Р

У

Рис.8.2 Схема элемента 1.

Б

Т

Составим уравнение равновесия

М А

0;

Н

М А

N 2в

G 5в

0;

й

0,8N

2 G; N

1000H.

и

Рассчитаем опорные реакции в балке ВС:

р

о

т

и

з

о

п

Рис.8.3 Схема балки.

е

М В

0;

М В

YC 7в N 2в 0;

YC

2,8 1000 0,8,

YC

285,7H.

MC

0;

М С YB 7в N 5в 0;

YB

2,8 1000 2;

YB

714,3H

Р

Y

285,7 714,3 1000

0.

Построим эпюру изгибающих моментов в балке ВС:

У

Т

Н

Б

й

и

ничную с лу

р

построим эпюру изгибающих моментов от

Рис.8.4. Эпюра изгибающих моментов и единичная эпюра.

Определим

в чке D от статического действия

прогиб

нагрузки методом с ол. Для этого приложим в точке D еди-

этой силы.

о

1 0,8

1 2

М D

0,571.

YB

0,286, YС

0,714,

п

з2,8

2,8

е

1

571,44

2

1

2

0,571

571,44

0,8

1

2

0,571

304,54

.

Dст

ЕIX

2

3

2

3

EIX

Выпишем из сортамента значение момента инерции для дву-

тавра №18: I X 1290см4 .

Р

Прогиб от статистической нагрузки составит:

304,54

11,8 10 5

м

0,118мм.

Dcт

9

8

200 10

1290 10

Mmax

571,44

6

ст

3,98 10 Па 3,98МПа,

W

143 10 6