metodichkaFTUG_chast2

Решение. 1) Воспользуемся первой формулой из (5.12):

x2

3

x2 6

x2

1 1 3

x2 6

4 x2 6

lim

lim

lim 1

.

2

2

2

1

x

1

x

x

1

x x

x

В данном случае u(x)

x2 1

и u(x)

,

если x ,

значит

4

2

2

x2 1

4

1

x

6

1

( x

6)

4

x2 1

lim 1

lim

1

x

2

1

2

1

x

x

x

4

4

2

1

2

24

x

4 x

4 x

2

24

1

lim

4

x2 1

2

1

4

lim 1

e x

x

e

.

2

2

2

2( x ex 1)

lim(1 (x ex 1))( x ex 1)5x

lim(x ex )5x

lim(x ex

1 1)5x

x 0

x 0

x 0

1

2( x ex 1)

2

lim (1

ex 1

)

2

2

4

lim(1 (x ex 1)) x ex 1

5x

e5 x 0

x

e5

e5 .

x 0

3) При

x 0 получаем

неопределенность вида

0

, для раскрытия

0

1

lim

sin x

lim

ln(1 ( sin x))

: lim

(1 2x)3 1

sin x

2 x 0

x

x 0

x 0

2x

1

1 1:

1

1

3

3

.

x 0 2x 0

x 0 ( sin x) 0

2

3

2

2

эквивалентных функций.

При этом выполняются условия 2x 0,

sin x 0, если

x 0,

lim

ln 1 sin x

lim

sin x

lim

3x

3

.

x 0

1

x 0

1

2x

x 0 2x 2

3

3

1 2x

1

4) Имеем неопределенность вида 1 . Сделаем замену переменной.

Пусть y x

,

тогда

x

y. При x

новая переменная y 0.

6

6

6

При этом 3x

3y,

2

cos 3y,

3y

sin 3x sin

3y

а cos 3x cos

sin 3y.

2

2

4

4

4

lim (1 cos 3y 1)sin2 3 y

lim sin 3x

lim cos 3y

cos2 3x

sin2 3 y

y 0

y 0

x 6

2

3

3

2

1

2sin

y

4

2

y

2

8 lim

2 3

2 3

sin2 3 y

1

y 0

3 y

2

2

lim

1

2sin

y

2sin

2 y

e

e .

y 0

2

формулу (5.18):

lim

arcsin x2 4x 4

lim

arcsin x 2 2

x2 4

x 2 x 2

x 2

x

2

1

arcsin x 2 2

1

x 2 2

0

lim

lim

0.

x 2

x

4 x 2

0

4 x 2

2

Использование

формулы

(5.18)

было

обосновано

тем, что

u x x 2 0,

если x 2.

6) Замечаем, что непосредственное вычисление предела приводит к

неопределенности вида 0 . Вместе с тем,

1

0, если

x ,

а поэтому

x

можем использовать формулу (5.19). Тогда

1

1

lim

x arctg

lim x

1.

x

x

x

x

Задания для решения в аудитории

I уровень

1.1.

Проверьте,

являются

ли функции x и

x являются

эквивалентными бесконечно малыми при x 0:

1) x 2x3 3x5 , x x2 ;

2)

x

7x10

, x x5 ;

x3 1

3 x3

1

3) x

, x x

2

;

4) x sin2 2x, (x) x.

1 x2

1.2.

Вычислите

предел

функции,

используя

замечательные

1)

lim

tg 2x

;

2)

lim

log2 1 2x

;

3)

lim

arcsin(x2 x)

;

3x

x2 x

x 0 sin3x

x 0

x 0

4)

lim

(2x 1)3 1

;

5)

lim

5x

22 x

;

6)

lim

ln(a x) ln a

;

2x

2x x3

x

x 0

x 0

x 0

7)

lim

x tg 3x ctg2 2x

; 8) lim

xtg3x

;

9)

lim

arcsin 4x 2

;

x 0

x 0 1 cos2 5x

x 0

x

1 5x 1

окрестности точки х

: 1)

y

x2

4x 3

, x

1;

2)

0

x 3

0

y

2

, x

.

0

x3

что функция y g(x)

является бесконечно большой в окрестности

точки х0: 1) y

1

3,

x 0;

2) y

5

, x 2.

x2

0

x 2

0

x

8

tg 3x

x x

ln 1 x

2

tg 4x

sin

1

3

1) lim

;

2) lim

3

;

3) lim

;

x 0

1 xsin x 1

x 0 3

1 x3

2x2

1

x 0 ex e 3x

lim

1 ln 1 tg

2 x ; 5)

4)

1 x x2

lim x2

ln

3x2

1 ln

3x2

2

;

x 0

sin 5x3

x

6)

lim

2x 1

ln

5x 1

ln

5x 2

. 7)

lim

5 1 x 3 1

;

x

x 0

1

3

1

x

2

x

1

1)

lim

ln cos 2 x

;

2)

lim

x2

4

;

3) lim

x2

25

;

x 1

(2tg x 1)2

x 2 ex

e2

x 5 ln

6 x

1

2

6) lim cos 4 x sin x ;

4)

lim cos x

;

5)

lim

sin x tg 2 3x ;

x