Управление информационными рисками – Т. Ю. Зырянова, А. А. Захаров, Ю. И. Ялышев (2008)

Важным понятием теории нечетких множеств является лингвистическая переменная — переменная, значениями которой могут быть слова или словосочетания естественного или искусственного языка. Значения лингвистической переменной называются термами, а множество всех возможных значений — терм-множеством.

Процедура преобразования нечеткого множества в четкое число называется дефаззификацией. Существуют различные методы дефаззификации. Самый простой из них — выбор нечеткого числа, соответствующего максимуму функции принадлежности.

Более распространенный метод — метод центра тяжести, когда в качестве четкого числа, соответствующего нечеткому множеству берется число:

в случае дискретного множества U è

в случае непрерывного множества U.

Рассмотрим систему, включающую n входных параметров (факторов): и выходной параметр y, который находится

под влиянием факторов. Нечеткой базой знаний о влиянии X íà y называется совокупность логических высказываний вида:

(4.6)

äëÿ âñåõ j = 1, ..., m.

171

В этой записи:

m — количество термов, используемых для оценки выходного параметра y, òî åñòü — все возможные значения лингвистической переменной y;

— термы оценки лингвистической переменной x1 â

случае, когда выходной параметр оценивается термом dj. Более компактно (4.6) можно записать:

.

Аппроксимация зависимости с помощью нечет-

кой базы знаний и операций над нечеткими множествами называется

нечетким логическим выводом.

Нечеткие множества обладают определенными характеристиками, некоторые из которых мы будем в дальнейшем использовать.

1. Высотой нечеткого множества называется верхняя граница его функции принадлежности:

.

2. Носителем нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества U, элементы которого имеют ненулевые степени принадлежности:

supp .

Если носитель нечеткого множества — пустое множество, то не- четкое множество также называется пустым.

3. Ядром нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества U, элементы которого имеют степени принадлежности, равные 1:

.

172

4. α-сечением нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества U, элементы которого имеют степени принадлежности, не меньшие некоторого заданного значения

:

.

На рис. 4.9 приведен пример нечеткого множества, для которого указаны носитель, ядро и α-сечение.

Ðèñ. 4.9. Носитель, ядро и α-сечение нечеткого множества

Нечеткая логика — это обобщение традиционной логики на слу- чай, когда истинность рассматривается как лингвистическая переменная, принимающая значения, например, «очень истинно», «более-ме- нее истинно», «не очень истинно» и т. д. Эти нечеткие значения представляются нечеткими множествами.

Введем формальное определение лингвистической переменной.

Лингвистическая переменная определяется пятеркой (x, T, U, G, M), ãäå:

x — имя лингвистической переменной;

T — терм-множество, каждый элемент которого представляется как нечеткое множество на универсальном множестве U;

G — синтаксические правила (грамматика), порождающие названия термов при помощи квантификаторов «не очень», «более-менее», «очень» и т. д.;

173

M — семантические правила, задающие функции принадлежности термов, например, как показано в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Семантические правила

Истинность в нечеткой логике рассматривается как лингвисти- ческая переменная. В отличие от классической логики, где переменная «истинность» принимает только два значения: «истинно» или «ложно», нечеткая истинность носит «размытый характер». Она определяется аксиоматически разными авторами по-разному.

Пусть — универсальное множество для задания лингви-

стической переменной «истинность». Классическая истинность может быть представлена нечеткими множествами со следующими функциями принадлежности:

Л. Заде ввел следующее определение нечеткой истинности:

174

,

ãäå — параметр, определяющий носители нечетких множеств «истинно» и «ложно». Графики функций принадлежности термов «истин-

но» и «ложно» со значением параметра приведены на рис. 4.10.

Ðèñ. 4.10. Функции принадлежности термов «истинно» и «ложно» с параметром

Операции квантификаторов — это операции концентрации (возведение в квадрат) и растяжения (возведения в корень), применяемые в теории нечетких множеств «истинно» и «ложно».

Степени принадлежности термов могут быть выражены следующими функциями с квантификаторами:

;

;

;

;

175

;

.

Нечеткие логические операции определяются следующим обра-

çîì. Åñëè — лингвистические переменные, , òî:

;

;

;

.

4.3.2. Метод оценки информационного риска на основе произвольного количества входных параметров с произвольным количеством термов

В [9-10] приведено описание двухпараметрического (с двумя входными параметрами) и трехпараметрического (с тремя входными параметрами) алгоритма оценки информационного риска на основе нечеткой логики. В качестве входных параметров в первом случае рассматривались возможный ущерб от инцидента с информационной безопасностью и вероятность возникновения этого ущерба. Во втором случае входными параметрами были возможный ущерб, эффективность защиты и потенциал угрозы. В первом случае все параметры имели по 3 возможных значения, во втором — по 5. Приведем возможное развитие данного подхода, предполагая наличие произвольного количества входных параметров с произвольным количеством термов. В качестве выходного параметра по-прежнему будет выступать значение информационного риска.

Рассмотрим систему, состоящую из M+1 лингвистических переменных, M из которых являются входными параметрами системы, и одна — выходным параметром. Входные параметры обозначим yi, i=1, 2, …, M. Выходной параметр обозначим r.

Задача состоит в получении количественной оценки выходного параметра системы на основе имеющихся оценок входных параметров.

176

При построении алгоритма оценки будем учитывать следующие предположения:

1.Имеются количественные оценки входных параметров, полу- ченные теми или иными методами.

2.Для входных параметров заданы дискретные шкалы значений с произвольным количеством термов (Ni äëÿ yi).

3.Для выходного параметра задана дискретная шкала с произ-

вольным количеством термов N, причем .

4. Значимость всех продукционных правил нечеткой базы знаний одинакова.

Создадим нечеткую базу знаний — набор продукционных правил вида «если…, то…». Для этого введем обозначения терм-множеств для входных параметров:

— терм-множество для yi,

— терм-множество для r.

Причем в качестве термов и для входных, и для выходного параметра будут выступать качественные выражения, например «низкий», «приемлемый», «высокий», «неприемлемый». То есть продукционные правила будут представлять собой лингвистические высказывания вида:

«Åñëè y1 = низкий è y2 = низкий è … è yM = приемлемый, òî r = низкий».

Нечеткую базу знаний представим в виде дискретной функции вида:

.

Äëÿ âñåõ M+1 терм-множеств зададим функции принадлежности

( ). Для простоты изложения будем использовать трапециевидные функции вида:

177

ãäå a<b<c<d. Параметры a, b, c, d, k1, k2 могут быть рассчитаны исходя из количества термов и весов продукционных правил. В силу равнозначности продукционных правил для нашей системы мы будем рассматривать трапециевидные функции с одинаковыми параметрами (рис. 4.11).

Ðèñ. 4.11. Функции принадлежности для параметра

Введем обозначения функций принадлежности:

для параметров yi: ;

Далее предположим, что имеются оценки входных параметров, способ получения которых на данном этапе не имеет значения. Обозначим эти оценки . Проведем фаззификацию оценок входных параметров, то есть найдем значения функций принадлежности, соответствующие этим оценкам. Эти значения определяются как:

.

Графически пример определения значений функций принадлежности для параметра yi показан на рис. 4.12.

178

Ðèñ. 4.12. Значения функций принадлежности для параметра yi

Полученные в результате фаззификации нечеткие множества обозначим:

.

Найдем степени истинности для выходного параметра по каждому из продукционных правил нечеткой базы знаний. Этот процесс носит название агрегирования.

В продукционных правилах присутствует логическая связка «и», поэтому в качестве операции агрегирования используем операцию

пересечения нечетких множеств. Для каждого набора ,

,

179