Материал на экзамен

«кратные дуги», т.е. допускает несколько разных дуг между одной и той же парой вершин). Даже комбинационная часть этой схемы не может быть уже названа схемой из функциональных элементов, так как в вершины, помеченные переменными заходят некоторые дуги. Это будет, говоря неформально, схема из функциональных элементов, «вставленная» в некий более общий «графовый объект».

Минимальная форма автомата

Минимальный автомат — это автомат, имеющий наименьшее возможное количество состояний и реализующий заданную функцию выходов. Задача минимизации автомата сводится к поиску его минимальной формы. Для произвольного конечного автомата может быть построен эквивалентный ему конечный автомат с наименьшим числом состояний.

Принцип построения

Минимальная форма автомата S (обозначается как Š) в теории автоматов представляет собой автомат с ň состояниями, образующими множество {σ1..σň}. Минимальный автомат из S строится следующим

образом. Характеристические функции автоматов S и Š обозначаются gs, gz и g's , g'z соответственно. Тогда, если

, то

.

Таким образом, при построении Š по данному условию не возникает никакой неопределенности.

Алгоритм нахождения минимального автомата был предложен Ауфенкампом и Хоном. Ими было показано, что для нахождения минимального автомата необходимо находить последовательные разбиения Pi

автомата S на классы 1, 2, …, k, (k+1) - эквивалентных между собой состояний, до тех пор пока на каком-то (k+1) шаге не окажется, что Pk

= Pk+1. Таким образом, разбиение Pk дает все классы эквивалентности

состояний автомата S. Всем состояниям S, принадлежащим классу эквивалентности Σl можно приписать общее обозначение, например, σl.

Матрица переходов

Если заданы матрица переходов и эквивалентное разбиение Σ1..Σň

автомата S, то матрица переходов Š может быть построена следующим образом:

1.Провести симметрическую перестановку и симметрическое разбиение [S] так, чтобы строки (и столбцы) группировались соответственно классам эквивалентности S (эту же матрицу можно получить при матричном методе эквивалентного разбиения).

2.Заменить все обозначения строк (и столбцов) каждой группы, представляющей класс эквивалентности, одним обозначением этого класса.

3.Заменить каждую подматрицу в разбитой матрице одной клеткой, содержащей все пары вход-выход, которые имеются в любой строке этой подматрицы (все строки в любой такой подматрице содержат одно и то же множество пар вход-выход).

Полученная в результате матрица является матрицей переходов Š.

Свойства минимальной формы

Если Š является минимальной формой автомата S, то:

1.Š является единственной минимальной формой с точностью до обозначения состояний

2.Š=S

3.Никакие два состояния Š не являются эквивалентными

4.Не существует автомата, эквивалентного S и меньшего (с меньшим числом состояний), чем Š.

Приведенная форма и предваренная нормальная форма предиката

Определение. Формула логики предикатов, в которой из операций логики высказываний имеются только конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, причем отрицание относится только к элементарным предикатам, называется приведенной формой предиката.

Теорема 1. Для всякого предиката существует равносильная ему приведенная нормальная форма.

Доказательство. Действительно, все операции в данной предикатной формуле можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание (например, в виде ДНФ). Если после этого некоторые отрицания будут относиться к частям формулы, содержащим кванторы, то отрицания можно «снять» с кванторов согласно равносильностям 1 и 2, а «снять» отрицания с конъюнкций и дизъюнкций можно, следуя законам де Моргана. После всех описанных преобразований предикат, очевидно, будет представлен в приведенной форме.

Определение. Предикатная формула вида , где Кi

– кванторы, хi – различные связанные переменные, а F – предикатная формула без кванторов, находящаяся в приведенной форме, называется предваренной нормальной формой предиката.

Теорема 2. Для всякого предиката существует равносильная ему предваренная нормальная форма.

Доказательство. Согласно теореме 1 можно считать, что предикат уже преобразован в приведенную форму. Если никакая операция навешивания квантора при этом не находится в области действия операций и , то приведенная форма уже является предваренной нормальной. Поэтому предположим, что описанные ситуации имеют место, и будем называть такие явления (когда какой–либо квантор находится в области действия данной операции или ) беспорядками.

Для данной формулы число беспорядков конечно, так как конечно число символов. Выберем какой-либо беспорядок (скажем, первый слева) и покажем, что путем тождественных преобразований его можно убрать. Возможны два случая:

1)Беспорядок имеет вид: x Р или х Р, где Р – не зависит от х. Тогдах или х можно просто отбросить, поскольку хР ≡ Р и хР ≡ Р.

2)Беспорядок имеет вид: хР(х) или хР(х). Если переменная х еще встречается в формуле, то предварительно сделав замену согласно формулам

xP(x) ≡ tP(t), xP(x) ≡ tP(t),

где t – переменная, не встречающаяся в формуле, беспорядок представляется в виде правой части одной из формул 10 – 13. Применяя эти формулы (т. е., заменяя правые части на левые), беспорядок устраняется.

Проделав такие преобразования конечное число раз, все беспорядки будут ликвидированы, что и требовалось доказать.

Пример. Привести к предваренной нормальной форме следующий предикат: