Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie
.pdfx2 -1 |
= |
А |
+ |
Bx + C |
|
. |
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x(x2 + x +1) |
x |
x2 + x +1 |
|||||
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Имеем сумму дробей первого и третьего типа с неизвестными коэффициентами А,B,C.
Умножим это разложение на общий знаменатель, получим равенство
М.Ч.З.: x = 0; −1 = A, A = −1. |
-1 = A(x2 + x +1) + (Bx + C)x . |
АГНИ |
x2 |
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Неизвестные коэффициенты разложения можно найти двумя способами: методом частных значений и методом неопределенных коэффициентов. Применим оба метода.
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x2 |
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A + B = 1 |
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ка |
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М.Н.К.: x |
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A + C = |
0 . |
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е |
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x0 |
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A = -1 |
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т |
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о |
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Таким образом, сравнив коэффициенты |
ипри соответствующих степенях |
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переменной x, получим В=2,С=1. |
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л |
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Итак, |
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x2 |
-1 |
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-1 |
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2x +1 |
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б |
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d(x |
2 + x +1) |
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+ x +1) . |
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|||||||||||||||||||||||||||
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dx |
= |
|
( |
+ |
|
|
)dx = -ln |
|
x |
|
+ |
|
|
= -ln |
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x |
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+ ln(x |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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ò x3 |
+ x2 + x |
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ò |
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x |
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x2 + x +1 |
и |
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ò x |
2 |
+ x +1 |
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б |
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ò |
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x2 -1 |
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dx = ln |
x2 |
+ x +1 |
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+ C. |
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x3 + x2 + x |
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x |
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ая |
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III.Вычислить определе ные интегралы. |
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9 |
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xdx |
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нн |
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а) ò |
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. |
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ро |
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1 |
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2x + |
7 |
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т |
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t = |
2x + 7, |
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к |
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||||||||
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е |
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x = |
t 2 - 7 |
, |
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t 2 - 7 |
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л |
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xdx |
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2 |
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5 |
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×tdt |
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1 |
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5 |
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t3 |
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7 |
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28 |
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2 |
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2 |
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5 |
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ò |
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= ò |
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ò(t |
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Решение. |
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= |
dx = tdt, |
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- 7)dt = ( |
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- |
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t) |
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3 = |
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t |
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2 |
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6 |
2 |
3 |
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2x + 7 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Э |
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1 |
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если |
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x = 1,то |
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t = 3, |
3 |
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3 |
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если |
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x = 9, то |
t = 5 |
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81
π |
dx |
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б) ò2 |
dx . |
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3 + 2cos x |
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0 |
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Решение. Применим универсальную тригонометрическую подстановку.
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t = tg |
x |
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2 |
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АГНИ |
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x = 2arctgt, |
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||||||||||
π |
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dx = |
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2dt |
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, |
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2dt |
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2 |
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1 |
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dt |
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dt |
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2 |
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t |
2 |
+1 |
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ò |
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dx = |
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1- t |
2 |
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= ò |
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= 2ò |
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= 2ò |
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= |
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||||||||||||||||||||||
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+ 2cos x |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||
0 3 |
|
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cos x = |
|
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, |
|
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0 |
3 + 2 × |
1- t |
|
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0 3 |
+ 3t |
+ 2 - 2t |
|
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0 t |
+ |
5 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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1+ t |
2 |
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1+ t |
2 |
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||||||||||||
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если |
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x = 0,то |
t = 0, |
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ка |
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если |
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x = π |
|
, то |
t = 1 |
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2 |
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т |
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||
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||
= |
|
|
2 |
arctg |
t |
|
1 = |
|
2 |
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|
(arctg |
1 |
- 0) = |
2 |
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|
arctg |
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1 |
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о |
е |
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5 |
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5 |
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0 |
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5 |
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5 |
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|
5 |
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5 |
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и |
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IV. |
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л |
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б |
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x2 |
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2x2 |
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и |
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|||||||||||
а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = |
3 |
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и y = 4 - |
|
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3 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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б |
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||||||
Решение. Построим линии в одной системе координат. |
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x2 |
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ая |
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||||
y = |
|
|
-квадратичная пар бола с осью ОУ, |
|
ветви которой направлены вверх, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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3 |
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|
нн |
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вершина в точке (0,0). |
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|||||||||||||||||||||
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2x2 |
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|
ро |
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|||||||
y = 4 - |
|
3 |
- квадратичная парабола с осью ОУ, ветви которой направлены вниз, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
т |
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вершина в очке (0,4). |
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к |
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Найдем точ и пересечения линий: |
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л |
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2x2 |
|
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|
x2 |
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Э |
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е |
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4 - |
= |
|
|
. |
|
|
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3 |
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|
3 |
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x2 |
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= 4, |
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x = ±2 |
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|||||||
При − 2 ≤ x ≤ 2выполнено неравенство 4 - |
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2x2 |
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|
³ |
x2 |
. |
|
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3 |
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3 |
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|
82
С учетом симметрии фигуры относительно оси ОУ, вычислим половину площади с помощью определенного интеграла, а затем найденное значение умножим на 2.
|
1 |
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|
2 |
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|
2 |
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x |
2 |
2 |
|
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x |
3 |
|
|
|
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02 = (8 - |
|
8 |
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16 |
. |
|
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S = ò(4 - |
|
x2 - |
|
)dx = ò(4 - x2 )dx = (4x - |
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) |
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) - (0 - 0) = |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
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3 |
3 |
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3 |
3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0 |
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0 |
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||||||||||||||||
Таким образом, искомая площадь равна |
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32 |
. |
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АГНИ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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б) Найти длину дуги развертки окружности |
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ìx = a(cost + t sin t), |
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при 0 ≤ t |
≤ π . |
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í |
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îy = a(sin t - t cost) |
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ка |
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Решение. Длину дуги определим по формуле |
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β |
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l = ò |
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(x¢)2 + (y¢)2 dt . |
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е |
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α |
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т |
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x′ = a(−sin t + sinоt + t cos t) = at cos t, |
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Определим частные производные: |
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y′ = a(cos t −иcos t + t sin t) = at sin t. |
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л |
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π |
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π |
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π |
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π |
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2 |
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2 |
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¢ 2 |
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¢ |
2 |
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|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
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2 |
|
б |
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|
2 |
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2 |
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|
|
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|
t |
|
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π |
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aπ |
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. |
|||||||||||||||
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l = ò |
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(x ) |
+ |
(y ) |
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dt |
= ò a |
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t |
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cos |
|
t + a |
t |
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sin |
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tdt |
= |
ò |
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a |
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t |
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dt = òatdt = a × |
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0 |
= |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
и |
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|
2 |
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|
|
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
0 |
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|
|
0 |
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||||||||||||
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б |
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+∞ |
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dx |
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|||||||||
V. Исследовать на сходимость несобственный интеграл ò |
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. |
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1 |
(1+ x) |
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|
x |
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|||||||||||
Решение. Дан несобствеаяный интеграл первого рода (на неограниченном |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
промежутке). Выпол им замену переменной. |
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нн |
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|||||
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x = t 2 , |
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|||||||
+∞ |
|
dx |
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|
dxро= 2tdt, |
|
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+∞ |
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2tdt |
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+∞ |
2dt |
+∞ |
2dt |
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|||||||||||||||||||||||||||||
ò |
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т= |
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x = 1,то |
|
t = 1, |
|
= |
|
ò |
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= |
ò |
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= lim |
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= |
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|||||||||||||
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2 |
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|
2 |
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|
2 |
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|||||||||||||||||||||||||
|
(1+ x) x |
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если |
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(1 |
+ t |
)t |
|
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t |
|
+1 |
b→+∞ ò |
|
t |
+1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
к |
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x = +¥,то t = +¥ |
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||||||||||||||||||
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|
е |
|
|
если |
|
|
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|
||||
|
л |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 × |
π |
|
|
= π |
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= |
|
lim 2arctgt |
|
0 = lim (2arctgb - 2arctg0) |
|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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b→+∞ |
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b→=∞ |
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|
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|
|||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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Интеграл сходится по определению.
83
Контрольные задания Тема 7: Дифференциальные уравнения
Вариант 1
1. |
(xy + x3 y) y¢ = 1 + y2 . |
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АГНИ |
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||||||||||||||||||||||||
2. |
|
y - xy¢ = x |
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1 |
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|||||||||||
|
cos |
y |
|
|
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|
|
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|
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|
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|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
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|||
3. |
|
xy¢ - 2y = -x2 , y(1) = 0 . |
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|
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|
|
|
ка |
|
|||||||||||||||||||||||||
5. |
2yy |
// |
= (y/ |
)2 , |
|
|
|
y(0) = y/ (0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||
4. xy // |
- y / |
|
|
= x2ex |
|
|
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|
|
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|
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е |
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|||||||||||||
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|
|
о |
|
|||
6. |
|
y// |
|
+ 5y / |
|
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||||||
|
|
= 39 cos 3x -105sin 3x |
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л |
|
т |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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æ π ö |
|
/ æ π |
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|||||||
7. |
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// |
|
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|
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4 |
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ö |
|
б |
и |
|
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|||||||||||
|
y + 4 y = |
|
|
|
|
|
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, yç |
|
|
÷ = 2, y |
ç ÷ = π |
|
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|||||||||||||||||||
|
|
sin 2x |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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è 4 |
ø |
|
è |
4 |
ø |
и |
|
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||||||||||||
|
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б |
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|||
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ая |
|
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Вариант 2 |
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|||
2. |
(y |
2 |
- 3x |
2 )dy + 2xydx = 0 . |
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||
1. y¢ |
/ 7 y−x |
= 10 . |
|
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|
нн |
|
|
|
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|
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||||||||||||||
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ро |
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||
3. |
(x + |
1)y |
¢ |
+ y = x |
3 |
+ x |
2 |
, y(0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
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т |
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||||||
4. y // |
|
|
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1 |
|
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|
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|
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|||||||||||||
+ |
к |
|
|
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|||||||||||||||
y / × tgx = |
|
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|||||||||||||||||
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|
е |
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||
5. |
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
y / (0) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4( y// |
)2 = 1+ ( y/ )2 , |
|
y(0) = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
6.лy - 6y |
/ |
+13y = 34 × e |
−3x |
× sin 2x |
|
|
|
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||
Э |
|
// |
|
|
|
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||||
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|
4e |
−2x |
|
, y(0)= 0, y / (0)= 0 |
|
|
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|||||||||||||
7. |
|
y |
// |
|
+ 6y/ + 8y = |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 + e2x |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
84
Вариант 3
1.y - xy¢ = 2(x + x2 y¢) .
2.(x + 2y)dx + (x + y)dy = 0.
3.y¢(sin 2 y + xctgy) = 1, y(0) = π2 .
4.y// - 2y / ctg x = sin3 x
5. |
|
2( y/ )2 |
= (y -1) × y // , |
|
y(0) = 2, |
y / (0) = 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
y// - 6y/ +10y = 51× e−4x |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||
7. |
|
y // |
|
- 6 y / + 8y = |
|
|
|
4 |
|
|
|
, |
|
y(0) = 1 + 3 × ln 3, y / (0) = 10 × ln 3 |
ека |
||||||||||||||||||||||
|
|
2 + e−2 x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||
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||||||||
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|
Вариант 4 |
|
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|
1. y - xy¢ = 1+ x2 y¢ . |
|
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|
т |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
(x − y)dx + (x + y)dy = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3. |
(x + y2 )dy = ydx, y(0) = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
бл |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4. 2xy / × y // = (y / )2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
5. |
|
y// (1 + y) = 5( y/ )2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
y(0) = 0, |
|
y/ (0) = 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
y// - 2 y/ = 6 +12x - 24x2 |
|
ая |
б |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
y // + 9 y = |
|
|
|
9 |
|
|
, y(0) = 1, y / (0) = 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1. |
(x + 4)dy − xydx = 0 . |
нн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
ро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
Вариант 5 |
|
|
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||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
2 dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(-2xy + y2 )dx + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
= 3x |
|
e |
− x |
, y(1) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
xy |
¢ |
+ (x |
+1) y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
л |
|
= y |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. y |
// |
|
×tgx |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (y |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
|
y |
// |
|
= y |
/ |
|
/ |
, |
|
|
y(0) = 0, y |
/ |
(0) = 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6. |
|
y// + y = 74e3x × x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7. |
|
y |
// |
|
+ 4 y = 4ctg 2x, |
|
|
|
æ π |
|
ö |
= 3, |
|
y |
/ |
æ π |
ö |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
yç |
|
÷ |
|
|
ç |
|
÷ = 2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 4 |
ø |
|
|
|
|
|
è 4 |
ø |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85 |
|
|
|
АГНИ
Вариант 6
1.y¢ + 2y + y2 = 0 .
2.y2 + x2 y¢ = xyy¢.
3.(2e y - x)y¢ = 1, y(0) = 0.
4. xy |
// |
= y |
/ |
|
æ y/ ö |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
lnç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
è |
x ø |
|
|
|
|
|
|||
5. |
y // |
= |
1 |
|
, |
y(0) = 1, |
y / (0) = 0 |
||||||||
y3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
y // |
+ 6y/ + 9y = (48x + 8)ex |
|||||||||||||
7. |
y// - 6y |
/ + 8y = |
|
|
4e2x |
|
, y(0) = 0, |
||||||||
1 |
+ e−2x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.y2 ln xdx - ( y -1)xdy = 0.
2.xy¢ - y = xtg xy .
3.(xy′ −1)ln x = 2y, y(e) = 0.
4.x2 × y // + xy/ = 1
5. |
|
y // |
= |
|
-1 |
, y(0) = 1 |
, y / (0)ая= 2 |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
// |
|
|
|
/ |
3 |
|
|
нн−2x |
||
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
2 |
|
|
||
7. |
|
y - 3y + 2 yро= |
|
, y(0) = 1 + |
|||||||||
6. |
|
y |
|
- |
4y |
|
+ 5y = |
24sin x × e |
|||||
|
|
|
// |
|
к |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
/ |
т |
|
|
|
|||
|
|
|
е |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + e− x |
|
||||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Э |
|
|
x + x)dy + ydx - y |
|
dx = 0 . |
||||||||
1. |
(y |
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
2.xy¢ = y - xe x .
3.y = x( y¢ - x cos x), y(π2 ) = 0.
|
|
|
|
|
|
|
ка |
АГНИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y / (0) = 0 |
|
|
о |
е |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
Вариант 7 |
|
|
|
|
||||
и |
т |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 × ln 3, y / (0) = 5 × ln 3
Вариант 8
86
4. |
y// |
|
= y / |
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
2yy// |
|
- (y / )2 +1 = 0, |
|
y(0) = 2, |
y/ (0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
6. |
y// -12y/ + 40y = 2e6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
7. |
y // |
|
+ 16 y = |
|
|
|
16 |
|
|
, |
|
y(0) = 3, y / (0) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
cos 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
||
1. y¢ + 4y - y2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2. |
xy |
′ − y = (x + y) ln |
x + y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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x |
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ка |
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4. |
xy |
// |
= y/ . |
|
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0 . |
|
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||||||||
3. |
x( y¢ |
- y) = ex , y(1) = |
|
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е |
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||
5. |
( y |
|
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|
|
= y |
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|
y(0) = |
|
|
|
y |
|
(0) = |
|
|
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|
|
и |
т |
|
||||||||||||
|
) |
|
|
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, |
|
|
3 , |
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1 |
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|||||||||||||||||||||
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// |
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2 |
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/ |
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2 |
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/ |
|
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л |
|
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|||
6. |
y// + 9y = 9x2 +12x - 27 |
|
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б |
б |
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4e |
−2x |
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|||||||
7. |
y // - 2y/ = |
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, y(0) = ln 4, y/ (0) = ln 4 - 2 . |
|
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||||||||||||||||||||||||||
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|
−2x |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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1+ e |
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и |
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ая |
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нн |
Вариант 10 |
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|||||||||||
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||||||||||
1. |
(x2 |
+ x) ydx + (y2 |
|
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+1)dy |
= 0 . |
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||||||||||||||||||||||||||||
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ро |
|
|
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|
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||||||||||
2. |
xy |
′ = y cos(ln( |
y |
)) . |
|
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x |
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3. |
(1− 2xy)y′ |
|
= y(y −1), y(0) = 1. |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
4. |
y |
|
|
+ |
|
|
к |
|
= 0 |
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||||||||||
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2x(y ) |
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|||||||||||||||
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// |
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т/ 2 |
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||||||||
л |
|
|
1- y × (y |
|
) |
|
= 0, |
|
|
y(0) = 0, |
y |
|
(0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5. |
y |
|
|
+ |
|
/ |
2 |
|
|
/ |
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//е2 |
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|||||||||
Э6. y// - |
6y/ +10y = 51e− x |
|
|
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||||||||||||||||||||||||
7. |
y// |
|
- y/ = |
|
|
|
|
|
e− x |
|
|
, |
|
|
y(0) = ln 27, |
y/ (0) = ln9 -1 |
|
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|||||||||||||||||||
|
2 |
+ e−x |
|
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|
87
АГНИ
Вариант 11
1.(xy3 + x)dx + (x2 y2 - y2 )dy = 0 .
2.(y + xy)dx = xdy.
3. |
|
y¢ |
= |
|
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y |
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|
, y(0) = 1. |
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|||||||
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3x - y 2 |
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4. 2xy/ y// = (y/ )2 -1 |
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5. |
(y/ )2 + 2yy// |
= 0, |
y(0) = 1, |
|
y/ (0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6. |
|
y// |
+ 36y = 36 + 66x - 36x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
||||||||||||||||||
7. |
|
y // - 3y / + 2 y = |
|
1 |
|
|
, y(0) = 1 + 2 × ln 2, y / (0) = 3 × ln 2 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
е |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 + e−x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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т |
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|||||
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Вариант 12 |
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|
о |
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|||||||
1. |
(1+ y2 )dx - ( y + yx2 )dy = |
0 . |
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л |
|
|
|||||||||||||||||||||||
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2. |
|
xy¢ = x2 - y2 + y . |
|
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|
|
|
и |
|
и |
|
|
|
||||||||||||||||||
3. |
(2x + y)dy = ydx + 4ln ydy, y(0) = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
б |
б |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
y // - |
y / |
|
|
= x(x -1) |
|
|
|
|
|
ая |
|
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||||||||||||||||
|
x -1 |
нн |
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||||||||||
5. |
|
y// (2 y + 3) - |
2(y/ )2 |
|
|
|
/ (0) = 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
= |
0, |
y(0) = 0, |
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6. |
|
y// - 2y/ = (4x + 4)e |
2x |
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||
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ро |
π ö |
|
|
|
/ æ π |
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
|
|
// |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
æ |
|
|
|
ö |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
y |
|
+ 9y |
= |
|
|
|
|
|
|
, yç ÷ |
= |
4, y |
ç ÷ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
è 6 ø |
|
|
|
è 6 ø |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
sin 3x |
|
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|||||||||||
л |
|
к |
|
|
|
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Вариант 13 |
|
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||||||||||||||
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|||||||||||
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|||||
1. y′ =е2xy + x . |
|
|
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Э |
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¢ |
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|
y |
|
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|||
2. |
|
y = x( y |
- e |
x |
) . |
|
|
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||||||||||||
3. |
|
yx¢ + x = 4y3 + 3y2 , y(2) = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4. |
|
y // × x ln x = y/ . |
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
88
АГНИ
5. |
|
y // × tgy = 2( y / )2 , |
y(1) = π , |
|
|
y / (1) = 2 . |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
|
|
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|
2 |
|
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|
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|
6. |
|
y // + 6y/ |
|
+13y = -75sin 2x . |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7. |
|
y // + 4 y = |
|
|
4 |
|
|
|
, y(0) = 2, y / (0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
|
cos 2x |
|
|
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||||||||||||||||||||||
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|||||||
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|
Вариант 14 |
|
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|
|||
1. y - xy |
¢ |
= |
5(1+ x |
2 |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
|
y |
¢ = |
3y − x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
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|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
3. |
|
x2 y¢ + xy +1 = 0, y(1) = 0. |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||
4. |
|
y // + 4y / = 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
||||||||||||
5. |
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
||
1+ (y / )2 |
= yy // , |
|
|
y(0) = 1, |
y/ (0) = |
0 |
|
|
и |
|
е |
|||||||||||||||||||
6. |
|
y// - 2y/ + y = 4x3 + 24x2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
22x - |
4 |
|
|
л |
о |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||
7. |
|
y |
// |
+ y |
= |
|
4ctgx, |
|
|
|
æ π |
ö |
y |
/ æ π ö |
= 4 . |
б |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
yç |
÷ = 4, |
ç |
÷ |
|
|
|
|
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||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
è 2 ø |
|
|
è 2 ø |
и |
|
|
|
|
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|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
ая |
б |
|
|
|
|
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|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
Вариант 15 |
|
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|||||||
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|
||||
1. 2xyy¢ = 4 - x2 . |
|
|
|
нн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. |
|
y′x + x + y = 0. |
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
3. |
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|
|
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|
|
ро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||
cos ydx = (x + |
2cos y)sin ydy, y(0) = π . |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
|
x |
|
× y |
к |
× y |
|
|
= 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
// |
+ x |
2 |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
|
|||||
л |
|
|
|
) |
|
|
= 0, |
|
y(0) = 1, |
y |
|
(0) = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
|
yyе+ (y |
/ |
2 |
|
/ |
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||
Э |
|
|
// |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||
y// + y = -4 cos x - 2sin x . |
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
7. |
|
y |
// |
+ y |
= |
|
2ctgx, |
|
|
|
æ π |
ö |
y |
/ æ π |
ö |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
yç |
÷ = 1, |
|
ç |
÷ |
|
|
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|
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|
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|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
è 2 |
ø |
|
|
è 2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 16
89
АГНИ
1.(x3 −1)dy − xydx = 0 .
2.ydx+ (2xy − x)dy = 0.
3.xy¢ + y + xe− x2 = 0, y(1) = 21e .
4.xy// = y/ + x2 .
5. |
y// |
|
= 2 − y, |
|
y(0) = 2, |
|
|
y/ |
(0) = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6. |
y// − 8y / +12y = 36x2 − x + 2 |
|
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|||||||||||||||||||||||
7. |
|
// |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
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|
æ |
π |
ö |
|
|
|
/ |
æ |
π ö |
= 2π . |
|
|
|
|
|
||||
y |
|
|
+16 y = |
|
|
|
|
|
, yç |
|
÷ |
= 3, y |
|
ç ÷ |
|
|
|
|
ка |
||||||||||||||
|
|
sin 4x |
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
è 8 ø |
|
|
|
|
è |
8 ø |
|
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|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
е |
||||||||||||||
|
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|
Вариант 17 |
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|||||
|
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|
|
|
|
|
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|
|
т |
|
|||||
1. |
(y2 x + y2 )dy + xdx = 0 . |
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
о |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
xdy − ydx = |
|
x2 |
|
+ y2 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
||||||||||||||
3. |
y′ − y = ex , y(0) = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иб |
|
|
|
||||||||||||||||||
4. |
xy // + y/ |
|
= ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5. |
yy// − 2( y/ )2 |
= 0, |
y(0) = 1, |
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
y / (0) = 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
// |
|
|
|
/ |
|
= 72уe |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
/ |
|
|
|
|
||||||
y// |
|
+ 5y/ |
|
2x |
нн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7. |
y - 3y + 2 y = |
|
|
, y |
(0) = 1 |
+ 8 × ln 2, y (0) = 14 × ln 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3 + e− x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
(1+ x |
|
) y dx −ро( y −1)x dy = 0 . |
|
|
Вариант 18 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
т |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(y |
|
+ |
3xy + 4x )dx + (4y + 3xy + x )dy = 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
л |
|
к |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
y′ = 2x(x2 + y), y(0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Э4. xy// − y/ = 2x2ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. 1+ (y / )2 |
|
|
= yy/ , |
|
|
y(0) = 1, |
|
y/ (0) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6. |
y// + y/ − 6y = (6x +1)e3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
АГНИ