all
.pdf
6
28.Статистичніхарактеристикинормальнвипадковогопроцесуі . ля |
|
|
Случайныйпроцессилиполезадаютсявбесконечныхпределахзначений |
|
|
аргуме.Ихнтовевозможпредставниграф,наналиточескить,можночески |
реализацией.Чембольше |
|
полишьучитьопределеннчастьих,которименуют |
|
|
реализаций,темболееполноепредставлеслучайпроцессеможноиеставить.м |
|
|
Совокупностьреализаций |
бразует ансамбльреализаций. |
Дляописанияслучайных |
сигналовиспользуютсяиныемето,неждлядеылитерминированных.
значение сигнала в момент времени t1 – сечение ансамбля. N1 – к-во реализаций,
попавших в промежуток dn1. N2 – к-во реализаций,
попавших в промежуток dn2. Р – вероятность события.
P = |
N1 |
общее _ колич._ реализаций |
Кстатистическхарактеристикамнормальнслучайногопроцессаможно
отнестиследующие:
-Плотносвероятности; ь
-Математическоеожидание;
-Дисперсия.
Ф-цияплотнвероятностии
p(t, n) = |
dP(t, n) |
|
(1) |
|
|
|
|
|
|||
dn |
|
|
|||
|
|
|
|||
∞ |
|
(2) |
|
|
|
∫ p(t, n)dn = 1 |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
Даннаяф |
-цияблизканормальномузакону |
|
|||
распределения.Вобщемслучаеф |
|
-цииплотности |
|||
вероятностимогутбытьблизтаккжеими |
|
|
|||
Релеевкомуз |
-нураспределеният.. |
|
|||
Ф-цияплотнвердолжнасяудовлетностиуслновиюрмировкиорять(2).
Плотнвероятностиь |
|
– такаяфункция,котораябудучиумноженнаямалую |
|
величину |
n даетзначениевероятого, случайнаяностивел чина |
|
|
определзначениеное |
n1всечении |
t1. |
|
|
|
|
P(t1, n) = p(t1, n1) n |
Двумернаяф |
-цияплотнвер:осятности |
p(t1, n1;t2, n2) = |
|
ДвумернаяФПВдаетзначениевероятого, вмомностиврентмени |
|
|
|
случайнаяф |
-цияприметзначения |
n1и n2сточностью± |
|
n примет
d 2 P(t1, n1;t2, n2)
dn1 dn2
t1и t2
n /2.
|
|
|
6 |
Чемвышеерностьф |
-цииплотнвер,темоточнеестисями жнописать |
|
|
произвольслучайпроценый |
сс. |
|
|
Математическоеожидание, |
илиодномермомего1порядкаслучайнойтыйф |
-ции m |
|
всечении t2называют: |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
< n(t2) >= ∫ n(t2) p(t2, n)dn |
||
Математическоеожиданиеявлсреднеарифметичезначениемсовокупноскимтей |
−∞ |
|
|
|
|
||
напряженийдлязначений |
t2. |
|
|
|
Дляпредставленногонари |
с.Ансмамблятематическое |
|
|
ожидбудетрадлязноениеразныхс чений |
t1, t2.. |
|
|
Математическоеожидание |
Mn =< n(t) > |
|
|
<…усреднение>поансамбреализаций.С юучайный |
|
|
|
проц, едсснагртнарастающий, вленныйфике |
– |
|
|
нестационарный. |
|
|
|
Стационарный процессявляетсяненарастающим. |
||
Нанижепреведеннграфикепредставленстаципроцесс: нарныйм |
|
|
|
|
дляэтогографика |
Mn=const |
|
|
Награфикетакжотобр,чтоматоЖИДнеженотолько |
|
|
|
коно, станта |
< n(t2) >= 0 |
центрированным. |
|
Такойслучайныпроцессназ вают |
||
|
|
∞ |
|
Дисперсия Dn (t2) = m2(t2) =< n2 (t2) >= ∫ n2 (t2) p(t2, n)dn |
(1) |
||
|
|
−∞ |
|
Дисперсиейназываютодномермомепорядкаорогон.тый |
|
||
Вобщемвидедлямножествасеченийопределдисппринеследрсниев: маети |
|
||
|
|
∞ |
|
Dn (t) = m2(t) =< n2 (t) >= ∫ n2 (t) p(t, n)dn |
|
||
|
|
−∞ |
|
Т.е.дисперсия, |
– ф-циявремени,усреднениепоансамб |
лю. |
|
Если Dn (t) = const ,этоещеднооказатестационарностильствоучайного |
|
||
процесса. |
|
|
|
Есливф |
-ле(1) |
n(t) – нецентрирпроцесс,тоимгдаванныйдисперсиюем, |
среднийквадрат |
< n2 (t) > - среднийквадратзначенийслучавеличины,илиной |
|||
флуктуации. |
|
|
|
Принормальномслучайномпроцесквадпаралучайногоеметрапроцесса |
|
||
тождественноравендисперсии. |
|
|
|
Следуотмет,чтопристатистическихтьведенныххарактеристикобщемслучае |
|
||
недостатдляисчеропчнослучайисанияывающего |
ногопр. цесса |
||
6
29Эргоди. случайныепроцессыескиеиххарактеристики.
Случайнфункциейилипроцессом назывтакфункцияа,вкоторойется значеннапеирдзвестнолдюбогя извыбаранныхгументов.Случайная функцияназываетсястационарной узкомсмы,есливселе законыраспределенийнезависятот аргумента.Этоозначпостоянствоет всехмоментныхикорреляционных функций.Случайнаяфункция
называетстационарнойширокомямысле,еслиматожиданиедисперсияне зависятотаргумент аявляются( числами),корреляцфункциязавтолькооннаясит отразностиаргументов.Эргодислучайпротесцесснкклассуыийоится нораспредемальностациолучпроцессовныхна.Характеризуетсяйныхтем,
чтоматож,дисперсиякорреляциодан нныемоменты,найденныеосреднпо нием аргументуиосреденпоансамблюениемализацийсовпадают.
lim |
|
1 |
n(t)dt |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
T →∞ T |
|
|
|
|||||
Dn = limT →2 |
1 |
π |
n2 (t)dt |
||||||
∫0 |
|||||||||
T |
|||||||||
Kn (τ ) = limT →∞ |
1 |
T |
n(t)n(t ±τ )dt |
||||||
∫0 |
|||||||||
T |
|||||||||
энергетическийспектрэргодислупроцессаескогоайного
|
U 2 = |
K |
n |
(0) |
= |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Максимумнаходитсявцентре |
|
10 |
2 |
(t) |
|
10 |
||||||
2. |
Асимптотприблк0ическижается |
Dn = n2 (t) = ∑ |
nk |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
10 |
11 |
||||||||||||
3. |
Всегдачетные |
|
|
|
k =0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n-мерные
АКФи
6
ТаккакнаиболеенформативнаяхарактеслучайногопроцессистикаАКФ() предестерминировавлефу,топреставляетсякциейзамапредставитьннчивымой этуфункцспектФуивыяюрьеомчтособойнпредставляетитьфизически.
Kn (ν ) = ∫ Kn (τ)e− j 2πντ dτ
K |
|
(ν ) = lim |
|
|
|
|
1 |
|
n(ν ) |
|
2 |
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n |
T →∞ T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Kn (τ ) = limT →∞ |
1 |
∫n(t) |
n(t −τ )dt =limT →∞ |
1 |
ν∫' |
|
n(ν ') |
|
2 e j 2πντ dν ' |
|
(3) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
T |
T |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
− j 2πντ |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
K n (ν ) = ∫ limT →∞ |
|
∫ n(t)n(t − τ )dt |
|
e |
|
|
dτ = ∫ limT →∞ |
|
|
n(ν ' ) |
|
δ (ν '−ν )dν ' = |
|||||||||||||||||
T |
|
|
T |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν ' |
|
|
|
|
|||||||
= lim |
1 |
|
n(ν ' ) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
T →∞ T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.СпектрАКФнаходитсяпреобразованиемФурье
2.Поматематическойзаписиспектрявляреосреднениятсяделомспектров квадратамодшукомпонентымовойля.
Наосновании1
Kn (τ) = ∫ Kn (ν )e j 2πντ dν |
(5) |
Соотношения(1)(5)являютсяформатематическимильнымизапрямогоисями обратногопреобразоФурьес от.ОригиналомветственноанияявляетсяАКФявляется
Фурье-образомспектраоригинала.Фурье -образсогласно(2)определяетсясредство квадратамодуляспектраоднойдостаточнодлиннойреализациислучайногопроц.Всесса выражениясправедлислучайныйтолькоприусловии,что процессявляется стационарны,эргодич,центриоымраспределеннымованмаль.Еслифункцияо детерминирована,топреобразованиеФу киводитьеполучениюспектральной плотностиамплитуд.
Всвязитем,чтослучайнуюфу ельзякциюдетерминированоопределить, невозможнодетерминнайтееспектрамплитудрованно.Втожевремяранеебыло
показано,чтоисчерпыв аящимобразомслучайныйпрцессожбытьдетерминировано опредеАКФ.ПоспектрленАКФучив,формальноассматриваяеекакновую детерминированнуюфункцию,мытемсамымдетерминированоопределяемслучайный
(1)
м
6
прцечастотномв простран.Сущея ственным |
вляетсято,чтоприэтоммыполучаем |
неспектрамплитудразмерносВ/Гц,спектрмощностиью |
– В2/Гц.Спектрмощности |
обозначаетсяновойбуквой |
W |
Wn (ν ) = ∫ Kn (τ)e− j 2πντ dτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
W (ν ) = lim |
1 |
|
n(ν ) |
|
2 |
(7) |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
(8) |
||||||||||
K |
n |
(τ) = |
|
|
T →∞ T |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
∫ |
W (ν )e j 2πντ dν |
(6)-(8) – преобразованияВинера - |
|||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
Хинчина |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6
31Автокорреляционная. функцияеесвойства.
∞ |
(1) |
Kn1,n2 (t1,t2) = ∫ ∫ n(t1) n(t2) p{n1 , n2 ;t1 ,t2 }dn1dn2 |
−∞
(1)-корреляционнаяфункция
Kn1,n2 (t1,t2) = ∫∫ - автокорреляционнаяфункция.
Автокорреляционнаяфункцияустанавливаетсвязьзначенияслучайнойфункции сечен,напрt0иt1,разделимеринтτ.енныхрвалом
Корреляциюкосвеможнтерпретироватьнопроцеугадзначеуройывания |
|
|
случайнойфункциичерезинтервалτ= t2 |
-t1приусловииуказаниязн |
ачениявмомент |
времениеслиt1,характерповеденияслучайнойфункции,предшествующийбылt1 |
|
|
известен.Очев,прменьшзначдноτибоеплавномиеезменениислучайной |
|
|
функциивероятностьугадываниябудетбол. ше |
|
|
Графикавто функцииорреляционной
Kn = ∫∫n(t1) n(t2) p{n(t1),n(t2)}dn(t1)dn |
(2) |
||
Ï 1 (t1, t2) = n1 (t1) n1 (t2).Индексыпри |
n – номерреализации. |
|
|
Сувеличениемчастотыфлукав уацийокорреляционнаяфункциясжимается,при |
|
|
|
этомэкстремумсохраняетсвоез |
|
начение. |
|
Всеизложенноевышеотноситсякцентрироваслучайпроцесс.Еслинному |
|
|
|
случайныйпроцесснецентрир,имеющиймат.ожиданиеванныйсоответственно |
|
|
|
указанныхзначенияхM( |
t1)и |
M(t2),тоформуладолжна(2)бытьвидоизменена |
|
введениемследующих |
омножителей. |
n(t2) = [n(t2) - M(t2)] |
|
n(t1) = [n(t1) - M(t1)] |
|
||
Свойства: 1)АКФвсегдачетная
2)Длястационпроцессаслучайного
6
P{[n(t1),n(t2)]}= p{n(t1)}
приn( t1) = n(t2) Kn(τ) = Kn(0)
приэтомфункцияплотнверосятности
P{[n(t1),n(t2)]}= p{n(t1)}
томыприхкзаписиодномериммомевторпорядкан,тогосамымем определяядисперсию.ИнымислоАКФвамиключаетвсебяинформацию
дисперсииот ельноисперсиюне |
меетсмвычисла,досτпринятьлятаточно |
|
рав0АКФное,какмысразуполучимдисперсию. |
||
3) Mn = |
|
изАКВФможнанайтиматожиданизвестна,еслидисперсия |
Rn(0) − Dn |
||
случайногопроцесса Такимобразеслипрстационарныймцессто:
а)для центрироваслучайногопроцецельюисчерпывногосаегоописанияющего достаточнозадатьвсеголишьоднухарактеристикуАКФ.Дисперсияавтоматически находитьсяприτ= 0
б)Вслучаенецентрислучайногопроцессанеобходимованногозадавать дополнительноматожидание.
4)Kn(0) >Kn(τ)
5)Kn(∞) = 0
6)∞)Rn(= |
Mn)2 |
|
7)ПроявлениетрицзназатухающихльныхчколебанийАКФ |
|
|
свидетельствуетопри лучайнутствиипроцессекак мго |
-тогармонического |
|
колебания,кото,какпр,замаскированоавилоое шумом |
. |
|
6
32Понятиепространственной. гармоники.Еепараметрыособенности посрасовременнойнгармоникойнию.
|
Acos(2πν |
−ϕ0 ) |
ν = |
1 |
, mm−1 |
L – период |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
L |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
τ (x) = |
+ |
cos(2πν x −ϕ0 ) |
|
ν x' |
= |
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
L |
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||
|
h(x) = Acos(2πνx' |
x ±ϕx ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
E(x) = E + E cos(2πνx' |
x) |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
τ (x') = |
+ |
cos(2πνx x'−ϕ |
||||||||
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространствегармоникапередкакфу етсргументовнаякцияx, |
ПривыборедругойсистемыкоординатXY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y.Из |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
аналитгеометрииАческой |
еющаякоординатыx', y'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x'= x cosΘ + y sin Θ |
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПослеподстановкиточкиСналинииимеемкоординаты1, L, 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ(x', y') = 12 + 12 cos[2πνx cosΘ + 2πνy sin Θ −ϕ]=
=1 + 1 cos 2π cosΘ x + 2π sin Θ y −ϕ =τ (x, y) 2 2 L L
νx =ν cos Θ
νy =ν sin Θ
τ (x, y) = 12 + 12 cos(2π (ν x x +ν y y)−ϕ)
ν= 
ν x 2 +ν y 2
Θ= arctg ν y
νx
ν x x +ν y y = 1 |
ν x x +ν y y = n - уравненвершдлиниияnные |
Есливыделитьгармсоничеставляющую5использоватькуюформулуЭйлера,то косинусоида
(3)
(4)
(5)
(6)
-гономера.
cos(2π (ν x x +ν y y)−ϕ) = |
1 |
(e j 2π (νx x+ν y y) |
e jϕ + e− j 2π (νx x+ν y y) |
e− jϕ ) называетсяядромвключающим |
|
2 |
|||||
гармоническуюфункцию |
. |
|
|
||
|
|
|
6
33Интеграль. преобразованиеФурье( Фурьетеграл) |
|
|
ИнтегральноепреобразованиеФурь |
|
–обобщениерядаФурье,котм роежно |
использоватьприаналод неночных(зепериодич)сигналов,имдажеющихских |
|
|
бесконечнуюдлительность. |
|
|
Обязательноеусловие |
применениерядаФурье |
– удовлетворение: |
1)условияДирихле
2)абсолютнаяинтегрируемость
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ S (t) dt < ∞ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если →T то∞ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν |
ν= |
ν − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k −1 |
Втакомслучаеспектриздискретнпереходитвсплошной.Математическиго |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
S(ν ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sk |
|
|
|
|
|
показывается,чтоформулы(13)превращается(14) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
∞ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
S(ν ) = ∫ S(t)e−i 2πνt dt |
|||||
. |
|
1 |
|
2 |
|
|
−ik 2πνt |
|
|
||||
S k = |
|
∫ |
S (t) e |
dt |
(13) |
−∞ |
|
|
|||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
T |
|
|
|
∞ . |
k |
|
||||||
|
|
|
− |
|
|
|
S(t) = ∑ Sk e−ik 2πν1t = ∑ Sk e−ik 2πν1t |
||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||
А формула(11) |
|
|
|
k = ∞ = −∞ |
k |
|
|
||||||
выгслеяобразомдующимит: |
|
|
|
||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S (t) = ∫ S (ν )ei 2πνt dν |
|
(15) |
|
|
|
||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πν = ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
S (ω) = ∫ S (t)e−iωt dt |
|
(16) |
|
|
|
||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S (t) = ∫ S (ω)e−iωt dt |
|
(17) |
|
|
|
||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν1 → 0 0→
(14)
(11)
(14)-(15)и(16) |
-(17)-парыинтегральногопреобразованияФурье. |
|
|
(15) – обратноепреобразованиеФурье, (14) |
–прямпреобразованиеФурье |
||
e±i 2πνt − этобазисили(ядро)преобразования |
; |
|
|
S(v)- этоспектральнаяплотностьсигналаS( |
t),(илиФурье |
-образисходсиг).ногоала |
|
|
|
|
|
τ |
|
τ |
|
|
U |
0 |
при |
t − |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
S (t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
7
|
|
∞ |
−i 2πνt |
|
|
τ 2 |
−i 2πνt |
|
U0 |
τ 2 |
−i 2πνt |
|
|
|||||||
S (ν ) = ∫ S (t) e |
dt = U |
0 ∫ e |
dt = |
∫ e |
d ( i2πνt) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−i2πν |
|
|||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
τ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
− 2 |
|
|
|
||
|
U |
0 |
e−i 2πνt |
τ 2 |
|
U0 |
|
(e−i 2πν τ 2 |
e−i 2πν (−τ 2 ) ) |
|
U0 |
(e−iπντ |
eiπντ ) |
|||||||
= |
|
|
= |
|
|
− |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
−i2πν |
|
|
τ |
|
−i2πν |
|
|
|
|
|
−i2πν |
|
|
||||||
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
=U0
−i2πν
=U0
−i2πν
πvk = kπ
v = k
τ
cos (πvt ) |
i sin (πvt− ) |
(cos (πvt−) |
i sin (πvt )) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2i sin− |
(πvt ) = U |
sin ((πvt )) |
|
||||
0 τ |
|
|
|
|
|||
|
(πvt ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Такжеинтпреобразовгральноеможнозаписвиде: атьние - прямое
S(v) = F {S(t)}
- обратное
S(t) = F −1 {S(v)}