ekzamen_шпора

Відображення множин. Поняття образу та прообразу. Композиція відображень.

Аксіоматичне визначення множини дійсних чисел.

Індуктивні множини. Метод математичної індукції.

Полярна система координат.

Комплексні числа, різні форми запису, арифметичні операції з комплексними числами

Тригонометрична форма комплексного числа. Формулa Муавра, корені з комплексних чисел.

Обмежені множини. Точна верхня та нижня межі.

Лема про вкладені відрізки (принцип Коші-Кантора).

Принцип Бореля-Лебега (про скінченне підпокриття).

Принцип Больцано–Вейєрштраса (про граничну точку).

Границя числової послідовності. Обмеженість збіжної послідовності, єдиність границі.

Нескінченно малі послідовності. Арифметичні властивості нескінченно малих.

Границя числової послідовності. Арифметичні властивості границі.

Границя числової послідовності. Граничний перехід в нерівністях.

Перехід до границі у нерівностях, монотонні послідовності та їхні границі.

Монотонні послідовності. Число е.

Границя послідовності. Критерій Коші

Часткові границі послідовності, верхня та нижня границі.

Важливі границі (Lim(), Lim, Lim).

Границя функції. Означення за Коші та Гейне. Їх еквівалентність.

Границя функції, локальні властивості функції, що має границю.

Границя складної (композиції) функції.

Властивості нескінченно малих функцій. Арифметичні властивості границі функції.

Перша чудова границя.

Друга чудова границя (число е).

Відношення О-велике, о-мале. Еквівалентні нескінченно малі, теорема про заміну в границях.

Таблиця еквівалентних нескінченно малих.

Неперервні функції. Різні означення. Локальні властивості неперервних функцій.

Неперервність складної функції. Точки розриву.

Властивості неперервних функцій на відрізку: теорема Больцано-Коші.

Властивості неперервних функцій на відрізку: теорема Вейєрштрасса.

Рівномірно-неперервні функції. Теорема Кантора.

Диференціал та похідна. Неперервність диференційованої функції.

Арифметичні властивості похідної, диференціювання добутку та частки. Таблиця похідних.

Диференціювання складних функцій та функцій, заданих параметрично. Таблиця похідних.

Похідна складеної функції. Інваріантність форми першого диференціалу.

Диференціювання неявної та оберненої функцій.

Похідні та диференціали вищих порядків, формула Лейбниця.

Теореми Ферма та Ролля.

Теореми Ролля та Лагранжа.

Теорема Лагранжа та наслідки з неї.

Наслідки з теореми Лагранжа та теорема Коші.

Правилo Лопіталя (випадок {0/0}).

Правилo Лопіталя (випадок {∞/∞}).

Формула Тейлора. Теорема про остатковий член ряда Тейлора.

Теорема про остатковий член ряда Тейлора. Остатковий член в формі Коші та Лагранжа.

Локальна теорема Тейлора (з залишковим членом у формі Пеано).

Формула Тейлора для головних елементарних функцій.

Необхідні та достатні умови локального екстремуму функції в термінах першої похідної.

Інтервали монотонності, екстремум функції, необхідні умови екстремуму.

Достатні умови локального екстремуму функції за першою похідною.

Достатні умови локального екстремуму функції в термінах вищих похідних.

Опуклі функції, різновиди означення опуклості.

Критерій опуклості диференційованих функцій.

Опуклі функції, точки перегину. Умови існування точки перегину.

Нерівність Йенсена, наслідок з неї.

Асимптоти графіка функції. Схема дослідження функції та побудова її графіка.

Первісна та невизначений інтеграл. Таблиця інтегралів.

Властивості невизначеного інтегралу.

Інтегрування раціональних дробів.

Інтегрування тригонометричних виразів.

Інтегрування ірраціональних функцій.