Техническая механика

Теоретическая часть

Если под действием нагрузки в поперечном сечении стержня возникает только одно внутреннее усилие – продольная сила N , то говорят, что стержень находится в условиях центрального растяжения или сжатия.

Условия центрального растяжения или сжатия реализуются при действии на стержень двух равных внешних сил, приложенных в центре тяжести поперечного сечения и направленных вдоль продольK ной оси стержня в противоположные стороны (рис. 2.2, а).

В этом случае произвольные поперечные сечения 1 и 2 (см. рис. 2.2, а), взятые в средней части стержня, перемещаются параллельно самим себе в положения 1 и 2 (рис. 2.2, в). При этом длина стержня увелиK чивается, а размеры поперечного сечения уменьшаются. Поскольку все волокна между выбранными сечениями изменяют свою длину на одну и ту же величину, все точки поперечного сечения будут испытывать одинаковую продольную деформацию, а следовательно, и одинаковые напряжения. Таким образом, при осевом растяжении или сжатии имеем равномерное распределение нормальных напряжений по поперечному сечению стержня: x, y сonst (рис. 2.2, б).

сечения,

N (x, y)dA

A

32

легко вычисляется, то есть

N z A .

Таким образом, при осевом растяжении (сжатии) нормальное наK пряжение, действующее в поперечном сечении стержня, определяются по формуле

Абсолютной продольной деформацией l называется разность между длиной стержня после деформации l и начальной длиной

внаправлении оси y связана с относительной продольной

деформацией с помощью коэффициента поперечной деформации (коэффициент Пуассона):

В пределах упругих деформаций 0 21 .

Нормальное напряжение z и относительная продольная деформаK ция z связаны между собой экспериментально установленным заK коном (законом Гука):

Здесь коэффициент пропорциональности E называется модулем упругости и является основной механической характеристикой маK териала при его деформировании в пределах упругих деформаций.

Величина абсолютной деформации l , на основании соотношений (2.3), (2.5) и (2.1), будет равна:

33

Формула (2.6) позволяет определить абсолютное удлинение или укорочение стержня длиной l , у которого ни продольная сила N , ни площадь поперечного сечения A, ни модуль упругости E не меняются по длине.

Условие безопасной работы (условие прочности) при растяжении (сжатии) имеет вид:

c – коэффициент условий работы;

y – предел текучести, то есть наименьшее напряK

жение, при котором образец деформируется без заметного увеличения растягивающей нагрузки;

u – предел прочности (временное сопротивление), то есть наибольшее напряжение, предшествующее разрушению образца.

Для выяснения положения опасного сечения, то есть сечения, в котором возникает напряжение maxz , строят график, показывающий изменение напряжения z по длине стержня, называемый эпюрой.

Практически при определении опасного сечения стержня, на коK торое действует несколько продольных сил и которое имеет ступенK чатоKпеременное по длине сечение, сначала, пользуясь методом сечеK ний, строят графики (эпюры) изменения продольного усилия по длине стержня, а затем уже выполняют построения эпюры нормальных напряжений.

При построении эпюры продольных сил следует придерживаться принятого правила знаков: продольную силу считают положительной, если она вызывает растяжение стержня, т.е. направлена от сечения.

Чтобы вычислить абсолютную деформацию стержня при перемеK нных внутренних усилиях, ступенчатоKпеременном сечении и модуле

34

упругости, необходимо определить отдельно абсолютную деформацию на каждом участке с постоянными усилием, сечением и модулем упругости по формуле (2.6), а затем результат алгебраически сложить.

Замечание: подбор сечения и проверку прочности выполняют для расчётных нагрузок, определение изменения длины – для нормативных нагрузок.

E200 ÃÏà (рис. 2.3). “ 1,0; f 1,1.

Ðå ø å í è å

1.Вычисление расчётных нагрузок.

F1p F1í f 50 1.1 55 êÍ;

сечений. Последовательно проводим сечения на каждом участке стержня: 1K1, 2K2, 3K3 (рис. 2.3, a). Рассматриваем равновесие нижних отсеченных частей стержня (рис. 2.4). Во всех сечениях за поK ложительное значение принята растягивающая сила, направленная от сечения.

На участке CD, в сечении 1K1 (рис. 2.4, а):

35

Сила N3 получилась отрицательной, значит, участок AB испыK тывает сжатие.

Рис. 2.4

По эпюре N (рис. 2.4, г) строим эпюру нормальных напряжений z

(рис. 2.4, д). На участке CD с площадью поперечного сечения стержня A напряжение 1 0 ñìêÍ2 .

36

На участке BC с площадью поперечного сечения стержня A:

2 N2 33 êÍ . A A ñì2

На участке AB c площадью поперечного сечения стержня 2A:

Из эпюры нормальных напряжений z (см. рис. 2.4, д) следует, что

все сечения на участке BC являются опасными, поскольку именно на этом участке возникает наибольшее по величине нормальное напряжение:

3. Подбор поперечного сечения. Из условия прочности (2.8) определяем требуемую площадь поперечного сечения:

Принимаем для участков CD и BC A 1,60 ñì , а для участка `b

–2` 3,2 ñì2 .

4.Проверка прочности сечения. Прочность сечения проверяем на

каждом участке стержня. Участок `b:

3 2NA3 3,222 êÍñì2 6,875 ñìêÍ2 68,75 ÌÏà R c 210 ÌÏà

Участок bq:

2 NA2 1,633 êÍñì2

20,625 ñìêÍ2 206,25 ÌÏà R c 210 ÌÏà.

Участок CD:

Таким образом, на всех участках условие прочности выполняется. Это означает, что площадь поперечного сечения подобрана верно.

37

5. Определение перемещения. Перемещение сечения D определяем относительно опорного неподвижного сечения, то есть находим абсолютную деформацию участка AD как алгебраическую сумму деформаций на каждом из трех участков:

lAD lAB lBC lCD .

Деформации на каждом участке вычисляем по формуле (2.6) с учетом знака продольной силы. При этом учтём понижающий коэфK фициент для продольной силы, обеспечивающий расчёт деформаций по нормативным нагрузкам.

lCD 0 .

Перемещение сечения D, равное полной деформации стержня составит:

lAD lAB lDC 0,625 1,87 1,245 ìì .

Вопросы для самоконтроля

1.Какие внутренние усилия возникают в поперечном сечении стержня при осевом растяжении (сжатии)?

2.Какие напряжения возникают в поперечном сечении стержня при осевом растяжении (сжатии)?

3.Как распределены напряжения по площади поперечного сечения?

4.По какой формуле определяются напряжения при осевом растяжении (сжатии)?

5.Как подобрать площадь поперечного сечения при растяжении?

6.Как формулируется закон Гука при осевом растяжении (сжатии)?

7.Сформулируйте условие прочности при осевом растяжении (сжатии).

8.Как строится эпюра продольных сил?

9.Сформулируйте правило знаков для продольных сил.

10.Как определить изменение длины стержня при осевом растяK жении (сжатии)?

38

Задача №3 РАСЧЕТ СТАЛЬНОГО СТЕРЖНЯ

НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ

Задание

К стальному стержню круглого поперечного сечения приложены

Рис. 3.1

Требуется:

1.Построить эпюру крутящих моментов.

2.При заданном значении расчётного сопротивления RS определить диаметр стержня и округлить его до ближайшего значения, соответственно равного 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм.

39

3.Построить эпюру углов закручивания.

4.Найти наибольший относительный угол закручивания (на 1 м

длины).

Данные взять из табл. 3.1. Для всех задач c 0,8 ; f 1,1.

Т а б л и ц а 3 . 1

Исходные данные

Теоретическая часть

При кручении в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент Mz , создаваемый касательными напряжениями

(рис. 3.2). В дальнейшем внутреннее усилие Mz , возникающее в сечении стержня от действия внешних нагрузок, будем обозначать через Т.

40