221010-тервер - решение
.pdf
Задача 5: Случайная величина Х задана дифференциальной функцией
распределения ( ) {
1) Определить вероятность попадания значения случайной величины Х в интервал [ ]; 2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Решение:
Плотность распределения:
( ) {
Вероятность попадания случайной величины Х в интервал [ |
|
|
|
]: |
|
|
[ |
|
|
|
] ∫ ( ) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
( |
|
( |
|
)) |
|||||
|
|
| |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(√ √ ) √
Математическое ожидание случайной величины:
( ) ∫ ( ) |
∫ |
∫ |
|
∫ |
|
|
∫ |
|||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
|
|
|
|
∫ |
| |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
] | |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
[ |
|
( |
|
) |
|
( |
|
)] |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Дисперсия случайной величины:
( ) ∫ |
( ) ( ( )) |
|
∫ |
|
| |
| |
|
|
|
∫ |
|
| |
||||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
( |
|
)] |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
| |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Р =√ М(Х) = 0; D(Х) = .
Задача 6: Вероятность того, что произвольная деталь из данной партии подойдет к собираемому узлу, равна 0,85. Найти вероятность того, что при сборке узла, состоящего из 200 деталей не подойдут к собираемому узлу: а) 40 деталей, б) от 35 до 45 деталей.
Решение:
Имеем схему Бернулли, где:
n = 200 – число испытаний (общее число деталей в узле),
q= 0,85 – вероятность, что произвольная деталь подойдёт к узлу,
p=1-q = 0,15 – вероятность, что произвольная деталь не подойдёт к узлу.
Найдём следующие вероятности:
а) не подойдёт 40 деталей:
используем локальную теорему Лапласа:
√√
( ) |
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
√ |
|
|
√ |
√ |
|
||||||||
б) не подойдут от 35 до 45 деталей:
воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
||
( |
) ( ) |
( ) |
|
||||||
Ответ: а) Р = 0,0111; б) Р = 0,1597.