metod_noi
.pdf11
|
|
|
|
|
2 |
|
p 2 |
p2 |
|
||
Выделим в знаменателе полный квадрат: |
x |
|
+ px + q = x + |
|
|
+ q − |
|
, |
|||
|
|
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d x + |
|
|
= dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда полученный интеграл вычисляется по схеме:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
d x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
p |
2 |
|
p |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
x + |
|
|
|
+ |
x + |
|
|
|
|
+ q − |
|
|
|
|
|
= |
||
∫ |
|
|
|
|
∫ |
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||
x2 + px + q |
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
+ q |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
p |
+ x2 |
+ px + q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= ln |
x + |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Мы воспользовались табличным интегралом ∫ |
|
|
dx |
|
|
x2 + A |
|
+C ) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= ln |
x + |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случай 2. a < 0 .
Преобразуем его к виду
∫ |
|
dx |
|
= ∫ |
|
|
dx |
|
|
= |
1 |
∫ |
dx |
, где |
||
ax |
2 |
|
|
|
−x2 − b x − |
c |
|
−a |
(−x2 + px + q) |
|||||||
|
|
+bx +c |
|
−a |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
p = −b |
, q = − |
c |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выделим в знаменателе полный квадрат:
|
2 |
|
|
|
|
p 2 |
p2 |
|
2 |
|
p 2 |
2 |
|
p2 |
||||
−x |
|
+ px + q = − x − |
|
|
+ q + |
|
= m |
|
− x − |
|
|
, где m |
|
= q + |
|
|||
|
|
4 |
|
|
|
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d x − |
|
|
= dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда полученный интеграл вычисляется по схеме:
12
∫ |
|
|
1 |
dx = ∫ |
−x |
2 |
+ px + q |
||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
d x |
− |
|
|
|
||
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
p 2 |
|
m |
|
− x − |
|
|
||
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x − |
p |
|
|
|
|
|||
= arcsin |
2 |
. |
||
|
||||
|
m |
(Мы воспользовались табличным интегралом ∫ |
|
|
dx |
|
|
= arcsin |
x |
+C ) |
|
|||||||||||||||
|
a |
2 |
2 |
|
a |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Задача 6.Найти ∫ |
|
|
5x + 2 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
+ 2x −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выделим в числителе производную знаменателя. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
5x + 2 |
dx = ∫ |
2 (2x + 2) + 2 −5 |
dx = |
5 ∫ |
(2 |
|
x + 2) |
|
|
|
dx −3∫ |
|
|
|
1 |
dx |
||||||
x |
2 |
2 |
2 |
|
+ 2x − |
5 |
|
x |
2 |
+ 2x −5 |
||||||||||||||
|
+ 2x −5 |
|
x |
+ 2x −5 |
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Заметим, что, |
d(x2 + 2x −5) = (2x + 2)dx . Во втором интеграле выделим |
|
полный квадрат в знаменателе x2 + 2x −5 = (x +1)2 −5 −1 = (x +1)2 −6 , тогда d(x +1) = dx .
Получаем
5 |
|
∫ |
|
|
(2x + 2) |
|
|
|
dx |
−3∫ |
|
|
|
|
1 |
|
dx = |
5 |
∫ |
d(x2 + 2x −5) |
−3∫ |
d(x +1) |
= |
||||||||||||||||||
2 |
|
|
x |
2 |
+ 2x − |
5 |
|
|
x |
2 |
+ 2x − |
5 |
2 |
x |
2 |
+ 2x −5 |
(x +1) |
2 |
−6 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
=5 |
|
x2 + 2x −5 −3ln |
x +1 + |
(x +1)2 −6 |
|
+C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2x −5 |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
=5 |
|
|
x2 + 2x −5 −3ln |
x +1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Ответ: ∫ |
|
|
5x + 2 |
|
dx =5 |
|
|
x2 + 2x −5 |
|
+C . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 + 2x −5 −3ln |
x +1 + |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ 2x −5 |
|
|
|
|
x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Задача 7.Найти ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 −6x − |
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Выделим в числителе производную знаменателя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
(−4x −6) −3 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
−6x − |
2x |
2 |
|
|
|
1 −6x − |
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= − |
1 |
∫ |
|
|
(−4x −6) |
|
dx − |
9 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4 |
|
|
1 −6x − 2x |
2 |
2 |
1 −6x −2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Заметим, что, |
|
d(1 −6x −2x2 ) = (−4x −6)dx . Во втором интеграле выделим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полный квадрат в знаменателе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 −6x − |
2x |
2 |
= −(2x |
2 |
+6x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+3x |
− |
1 |
|
|
3 2 |
11 |
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= −2 x |
|
|
2 |
= −2 x + |
|
|
− |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
11 |
− |
|
|
|
+ |
3 |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тогда d(x + |
3) = dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
− |
1 |
∫ |
|
|
(−4x −6) |
|
|
|
dx − |
9 |
∫ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
1 −6x −2x |
2 |
|
2 |
|
|
1 −6x −2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
d(1 −6x − |
2x |
2 |
) |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= − |
∫ |
|
|
− |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
1 −6x − |
2x |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
− x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= − |
|
1 −6x −2x2 − |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
11 |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
1 |
|
1 −6x − 2x2 |
− |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
arcsin |
x + 2 |
|
+C = |
|
= − |
1 |
1 −6x −2x2 |
− |
|
9 |
arcsin |
2x +3 |
+C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
11 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ∫ |
|
|
|
|
x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = − |
1 |
|
|
1 − |
6x −2x2 |
|
− |
|
9 |
arcsin 2x +3 |
+C . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
−6x −2x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
11 |
|
|
|
|
|
14
Применение формулы интегрирования по частям для вычисления неопределенных интегралов.
Формула интегрирования по частям имеет вид
∫udv =uv − ∫vdu
Вэтой формуле за du и dv обозначены дифференциалы некоторых функций.
На всякий случай еще раз напомним определение дифференциала функции dy = y′dx , а так же формулу восстановления функции по ее
дифференциалу ∫dy = y +C .
В начале рассмотрим один пример.
Задача 8.Найти∫xarctgxdx .
При использовании формулы интегрирования по частям важно правильно на первом этапе разбить подынтегральное выражение на два множителя u и dv . Неудачное разбиение может привести не к упрощению, а, наоборот, к усложнению примера. В указанном примере обозначим u = arctgx . Всю
оставшуюся часть подынтегрального выражения мы обозначим dv , то есть dv = xdx .
Тогда имеем:
u = arctgx, du = (arctgx)′dx =1 +dxx2 ;
x2 |
|
|
|
|
dv = xdx, v = ∫xdx = 2 . |
|
|
|
|
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем |
||||
∫xarctgxdx = ∫arctgx(xdx) = |
x2 |
x2 |
|
dx |
2 arctgx − ∫ |
2 |
|
(1 + x2 ) . |
Для вычисления последнего интеграла подынтегральное выражение преобразуем к виду
x2 |
|
1 |
|
= |
1 |
x2 |
+1 −1 |
|
= |
1 |
− |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
2 |
1 + x |
2 |
2 |
x |
2 |
+1 |
|
2 |
1 + x |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
∫ |
x2 |
|
|
dx |
|
|
|
x2 |
|
1 |
∫ |
|
|
1 |
|
|
||
xarctgxdx = |
|
|
|
|
arctgx − |
|
|
|
|
|
|
= |
|
arctgx − |
|
1 |
− |
|
|
dx = |
|||||||
2 |
|
2 |
(1 |
+ x |
2 |
) |
2 |
2 |
1 + x |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
x2 |
arctgx − |
1 |
x + |
1 |
arctgx +C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
Ответ: ∫xarctgxdx = |
x2 |
1 |
1 |
|
|
arctgx − |
2 x + |
2 arctgx +C . |
|
2 |
Данная формула применяется для вычисления ряда типов неопределенных интегралов. Мы разберем некоторые из них.
Интегралы вида: ∫Pn (x)ekxdx ; ∫Pn (x)sin kxdx ; ∫Pn (x)cos kxdx .
Где Pn (x) - многочлен степени n . При вычислении таких интегралов
принимается u = Pn (x) . Отметим, что тогда:
1) dv = ekxdx; v = ∫ekxdx = 1k ∫ekxd(kx) = 1k ekx , то есть ekxdx = 1k d (ekx ); 2) dv =sin kxdx; v = ∫sin kxdx = 1k ∫sin kxd(kx) = −1k cos kx , то есть
sin kxdx = −1k d (cos kx);
3) dv = cos kxdx; v = ∫cos kxdx = 1k ∫cos kxd(kx) = 1k sin kx , то есть cos kxdx = 1k d (sin kx).
Задача 9.Найти ∫(5x + 7)e−2 xdx .
Полагаем u =5x + 7 , следовательно du =5dx . Тогда
|
|
|
−2 x |
dx, v = ∫e |
−2 x |
|
1 |
|
−2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dv = e |
|
|
dx = − |
2 e |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∫ |
(5x |
+7)e |
−2 x |
|
|
|
− |
1 |
e |
−2 x |
− |
∫ |
|
− |
1 |
e |
−2 x |
5dx = − |
1 |
(5x +7)e |
−2 x |
+ |
5 |
∫ |
e |
−2 x |
dx = |
|||
|
dx = (5x +7) |
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= −1 |
(5x +7)e−2 x − 5 e−2 x +С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы не будем проводить дальнейшее алгебраическое упрощение данного выражения. (Надеемся, что читатели не обидятся на авторов за столь подробное изложение всех преобразований, в следующих примерах мы будем некоторые промежуточные моменты опускать.)
Задача 10.Найти ∫(3x2 +5x +3)cos 4xdx . Пусть u = (3x2 +5x +3), du = (6x +5)dx .
Тогда dv = cos 4xdx, v = ∫cos 4xdx = 14 sin 4x .
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
16
∫(3x2 +5x +3) cos 4xdx = 14 (3x2 +5x +3)sin 4x − 14 ∫(6x +5)sin 4xdx .
Мы получили интеграл подобного типа, только степень многочлена стала |
|||||||||||
меньше. Применим еще раз метод интегрирования по частям. |
|||||||||||
Пусть u = 6x +5, du = 6dx . |
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
dv =sin 4xdx, v = ∫sin 4xdx = −1 cos 4x . |
|
|
||||||||
Получаем |
|
|
|
|
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 ∫(6x +5)sin 4xdx = |
|||||
∫(3x2 +5x +3)cos 4xdx = 1 (3x2 |
+5x +3)sin 4x − |
||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
= |
1 |
(3x |
2 |
+5x +3)sin 4x − |
1 |
|
1 |
(6x +5)cos 4x + |
6 |
|
|
4 |
|
4 |
− |
4 |
4 |
∫cos 4xdx = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 (3x2 +5x +3)sin 4x + |
|
1 |
(6x +5)cos 4x − |
|
3 |
sin 4x +C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
16 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (3x2 +5x +3)sin 4x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||
∫(3x2 +5x +3)cos 4xdx = |
|
(6x +5)cos 4x − |
sin 4x +C |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
32 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если вы хорошо овладели навыками интегрирования, то можно явно не |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
выписывать чему равно u и du , dv и v , проделывая промежуточные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
выкладки в уме. Покажем это на примере. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Задача 11.Найти∫(7x +1)sin |
x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
x |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
∫ |
|
x |
|
|
||||
(7x + |
1)sin |
|
dx |
= −2 |
(7x +1)d cos |
|
|
|
= −2(7x +1)cos |
|
|
+14 |
cos |
|
|
dx = |
||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= −2(7x +1)cos |
+ 28sin |
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: ∫(7x +1)sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dx = −2(7x +1)cos |
|
+ 28sin |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Следующий тип интегралов, для которых применяется формула |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
интегрирования по частям – это интегралы вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∫Pn (x)lnk xdx , где |
Pn (x) |
|
- многочлен степени n , k целое положительное |
|||||||||||||||||||||||||||||||
число. В этом случае принимается u = lnk |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Задача 12.Найти ∫(4x +9)ln2 xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пусть |
u = ln2 x , значит |
du = 2ln x |
1 dx . Тогда dv = (4x +9)dx , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = ∫(4x +9)dx = (2x2 +9x) .
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
||
Получаем ∫(4x +9) ln2 xdx = (2x2 +9x)ln2 x − ∫ |
(2x2 +9x)2ln x |
1 dx = |
||||||||||
= (2x2 +9x) ln2 x − 2∫(2x +9)ln xdx |
|
|
|
|
|
x |
||||||
|
|
1 dx . Тогда dv = (2x +9)dx , |
||||||||||
Теперь обозначим u = ln x , значит du = |
||||||||||||
v = ∫(2x +9)dx = (x2 +9x) . |
|
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Получаем ∫(4x +9) ln2 xdx = (2x2 +9x) ln2 x − 2∫(2x +9)ln xdx = |
||||||||||||
= (2x |
2 |
+9x)ln |
2 |
|
2 |
+9x)ln x − ∫(x |
2 |
+9x) |
1 |
|
|
|
|
|
x − 2 (x |
|
|
x |
dx = |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=(2x2 +9x) ln2 x − 2 (x2 +9x) ln x − ∫(x +9)dx =
=(2x2 +9x)ln2 x −2(x2 +9x)ln x +(x2 +18x) +C .
Ответ: ∫(4x +9)ln2 xdx = (2x2 +9x)ln2 x −2(x2 +9x)ln x +(x2 +18x) +C .
Существует еще один класс интегралов, при вычислении которых полезно применить формулу интегрирования по частям. Применяемый прием называется «интегрирование с возвратом». Суть его состоит в том, что в результате применения формулы интегрирования по частям мы получаем уравнение для искомого интеграла.
Приведем пример вычисления интегралов вида ∫eax cosbxdx и
∫eax sin bxdx .
Задача 13.Найти ∫eax cosbxdx .
Пусть u = cosbx . Значит du = −bsin bxdx . Тогда dv = eaxdx, v = ∫eaxdx = 1a eax .
Получаем
∫eax cosbxdx = 1a eax cosbx + ba ∫eax sin bxdx .
Далее обозначим u =sin bx . Значит du =bcosbxdx . Тогда, как и ранее
dv = eaxdx, v = ∫eaxdx = 1a eax . Применяя еще раз формулу интегрирования по частям, получаем
∫eax cosbxdx = 1a eax cosbx + ba ∫eax sin bxdx =
= |
1 |
e |
ax |
cosbx + |
b |
1 |
e |
ax |
sin bx − |
b |
∫e |
ax |
|
a |
|
|
|
|
a |
|
cosbxdx |
||||||
|
|
|
|
a a |
|
|
|
|
|
|
18
Раскрываем скобки
∫e |
ax |
1 |
ax |
|
b |
|
ax |
b2 |
∫e |
ax |
|
|
cosbxdx = a e |
|
cosbx + |
|
e |
|
sin bx − a2 |
|
cosbxdx . |
||
|
|
a2 |
|
|
Фактически мы получили уравнение для определения искомого интеграла
∫eax cosbxdx .
Переносим интеграл из правой части соотношения в левую
|
+ |
b2 |
|
∫ |
e |
ax |
cosbxdx = |
1 |
e |
ax |
cosbx + |
b |
e |
ax |
sin bx . |
||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
|
a |
|
a |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫eax cosbxdx = |
|
|
|
|
|
eax cosbx + |
|
|
|
|
|
|
eax sin bx +C . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
a |
2 |
+b |
2 |
a |
2 |
+b |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Задача 14.Найти ∫e3x sin 4xdx . |
|
|
|
|
|
|
1 e3x . |
||||||||||||||||||||||||||||
Пусть u =sin 4x . Значит |
du = 4cos 4xdx . Тогда dv = e3xdx, v = ∫e3xdx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫e |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
sin 4xdx = |
3 e |
|
sin 4x − |
3 ∫e |
|
|
cos 4xdx . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Далее обозначим u = cos 4x . Значит |
|
du = −4sin 4xdx . Тогда, как и ранее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dv = e3xdx, v = ∫e3xdx = |
1 e3x . Применяя еще раз формулу интегрирования по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частям, получаем |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ∫e3x cos 4xdx = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
∫e3x sin 4xdx = |
1 e3x sin 4x − |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
1 |
e |
3x |
sin 4x − |
4 |
1 |
e |
3x |
cos4x + |
4 |
∫e |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
sin 4xdx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Раскрываем скобки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∫e |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
3x |
|
|
||||||
|
|
sin 4xdx = |
3 e |
|
sin 4x − |
9 e |
|
|
cos 4x |
− |
9 ∫e |
|
sin 4xdx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Переносим интеграл из правой части соотношения в левую |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+ |
16 |
∫ |
e |
3x |
sin 4xdx = |
1 |
e |
3x |
sin 4x − |
4 |
e |
3x |
cos 4x . |
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
3 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫e3x sin 4xdx = |
3 |
e3x sin 4x − |
4 |
|
e3x cos 4x +C . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
25 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
Аналогичным образом могут быть вычислены интегралы вида:
∫ x2 + Adx и ∫ a2 − x2 dx .
|
|
|
Задача 15.Найти ∫ |
x2 + Adx . |
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Обозначим u = |
x |
2 |
+ A , dv = dx . Тогда du = |
, |
|
v = ∫dx = x . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
2 |
+ A |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∫ |
x2 + Adx = x |
x2 + A − ∫ |
|
x2 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Преобразуем данное равенство к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ |
x |
2 |
+ Adx = x |
|
2 |
+ A − ∫ |
x2 + A − A |
|
|
2 |
+ A − ∫ |
|
2 |
+ Adx + ∫ |
|
|
A |
|
|||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
dx |
= x |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ A |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последний из интегралов в правой части является табличным. Вычисляя его, имеем
∫ |
x2 + Adx = x |
|
x2 + A − ∫ |
|
|
x2 + Adx + Aln |
x + |
|
x2 + A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Из полученного выражения следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2∫ |
x2 + Adx = x |
x2 + A + Aln |
x + |
x2 + A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ |
x2 + Adx = |
|
x2 + A + |
|
|
x2 + A |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
ln |
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Задача 16.Найти ∫ |
|
a2 − x2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
−xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Обозначим u = |
a |
2 |
− x |
2 |
, |
|
dv = dx . Тогда |
|
|
|
du = |
|
|
|
|
, |
v = ∫dx = x . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
− x |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ a2 − x2 dx = x a2 − x2 + ∫ |
|
|
|
|
x2 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
a |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Преобразуем данное равенство к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∫ |
a2 − x2 dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= x a |
2 |
− x |
2 |
− ∫ |
a2 − x2 −a2 |
dx = x a |
2 |
− x |
2 |
− ∫ a |
2 |
− x |
2 |
dx |
+ ∫ |
|
a2 |
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
2 |
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
− x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последний из интегралов в правой части является табличным. Вычисляя его, получаем
∫ a2 − x2 dx = x a2 − x2 − ∫ |
a2 − x2 dx + a2 arcsin |
x |
|
a |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
Из полученного выражения следует |
|
|||||||||
2∫ |
a2 − x2 dx = x |
a2 − x2 |
+ a2 arcsin |
x |
|
|||||
a |
|
|||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|||||
|
+ a2 |
|
|
|
|
|
||||
∫ |
a2 − x2 dx = |
x |
|
a2 − x2 |
arcsin |
x |
|
+C . |
||
|
a |
|||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
Интегрирование рациональных дробей.
Напомним, что рациональной дробью называется выражение вида:
R(x) = Pn (x) , где Pn (x), Qm (x) - многочлены степени n и m соответственно.
Qm (x)
Дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе строго меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.
Известно, что всякая неправильная ( n ≥ m )дробь может быть представлена в виде
R(x) = Pn (x) = Pn−m (x) + R1 (x) , где Pn−m (x) - многочлен соответствующей
Qm (x)
степени, а R1 (x) - правильная рациональная дробь.
Поскольку проблема интегрирования многочлена не представляет серьезных трудностей, то основной вопрос – это интегрирование правильных рациональных дробей.
Простейшими рациональными дробями называются следующие выражения:
1) |
A |
; 2) |
A |
; 3) |
Mx + N |
; 4) |
|
Mx + N |
, |
x − a |
(x − a)n |
x2 + px + q |
|
(x2 + px + q)n |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
где в последних двух выражениях |
p2 − 4q < 0 . |
|
Известна теорема о том, что всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей. Поясним вид такого представления.
Пусть имеется правильная рациональная дробь R(x) = Pn (x) .
Qm (x)
Любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения линейных и квадратных множителей. Предположим, что
Qm (x) = (x − a)l ... (x −b)r (x2 + px + q)k ... (x2 + sx + g)i
Где l,..., r, k,...,i - целые числа, l +... + r + 2k +... + 2i = m p2 − 4q < 0,...., s2 −4g < 0.
Тогда дробь R(x) может быть представлена в виде