Математические основы моделирования сложных физических систем

n

u

x,t

y

,t

xi

i

xi

i

y

i

,t

i

xi

y

,t

. (4.53)

i=1

i

Тогда для частных производных

u

x,t

y

,t

x

y

,t

x

(4.54)

i

i

xi

i

i

i

i

Здесь

(x) - функции Хэвисайда.

Введем новые обозначения. Любой функции

F

x,t

сопоставим

следующие сеточные функции:

det

F

,t

=T

F

x,t

,

(4.55)

det

F

,t

=Ti

F

x,t

,

(4.56)

det

F i

,t

=Si

F

x,t

,

(4.57)

def

F

,t =T

x

i

F

x,t .

(4.58)

i

i

i

Легко убедиться, что 1

=

1

h

.

i

3

i

i

Из (4.44) получаем правило сдвига:

(4.59)

Fi

,t

= Fi

hi

i

,t ;

Fi

,t

= Fi

hi

i

,t .

Из (4.16), (4.18), (4.19) имеем:

2

xi

, xi

, i

hi

i

i

i

hi

2

i

i

h

i

, x

=

i

(4.60)

i

i

0, xi

i ,

i

hi

i

,

n

T

G x,t u

H

i

,t

y

,t

G

,t y ,t ,

(4.68)

i=1

где оператор

H

определен в интервале

i

i

по правилу:

H i

,t

y

,t

=

Gi

hi

i

,t y

,t ,

, i = xi

i

Gi

,t

y

,t

,

,

i

= xi

(4.69)

i

1

hi

i Gi

hi

i

,t y

hi

i

Gi

,t y

,

2

i

i

i

i

Определим сеточную функцию:

1

A

,t

h

G

,t ,

,

x .

(4.70)

2

i

i

i

i

i

i

n

u

T

G x,t u x,t

S

A x,t

x,t

i

i

xi

i=1

(4.71)

n

G

,t y ,t

Li

,t y ,t ,

i=1

где оператор L определен по правилу:

i

2

zi

hi

i

,t y

,t ,

, i = xi

hi i

i

L ,t

=

2

zi

,t

y

,t ,

, i

= xi

(4.72)

hi

i

i

i

zi

,t y

,t

,

, i

i

i

i

y

=

1

y

hi

y

.

(4.73)

i

i

i

i

Если для производной

u

использовать аппроксимацию вида (4.53), то

t

для сеточной функции T

K

x,t

u

получим аппроксимацию:

t

u

n

y

,t

y

T

K

x,t

x,t

Ki

,t

K

,t

,t ,

(4.74)

t

t

t

i=1

где оператор

K

определяется аналогично

оператору

(4.69),

с

заменой

i

обозначения функции G на функцию K .

При использовании

аппроксимации

(4.74)

в

левой

части

уравнения

T

K

x,t

u

x,t

K ,t

y

,t .

(4.75)

t

t

Используя (4.45), (4.54), (4.56), получим аппроксимацию

T

B

x,t

u

x,t

,t

y

,t ,

(4.76)

i

t

i

где оператор определен по правилу:

i

,t

y

,t =

i

Bi

,t y ,t ,

, i = xi

i

Bi

,t

y

,t ,

, i

= xi

(4.77)

i

1

hi i

Bi

,t y

hi

i Bi

,t y

,

þ

2

i i

i

i

qi

,t

= S

Ai

x,t

Ei

x

,t

/ Di

x

,t

,

(4.78)

i

i

i

i

i

,t

= S

Ai

x,t

Gi

x

,t

/ Di

x

,t .

(4.79)

i

i

i

i

Для аппроксимации граничных операторов в (4.52) необходимо

использовать аппроксимацию

следа функции

u

x,t

на гранях

параллелепипеда. Из (4.53) получаем:

n

u

x,t

y

,t

x j

j

y

,t

,

ji

,

(4.80)

i

j=1

j

j

i

n

u

x,t

y

,t

x j

j

y

,t

,

ji .

(4.81)

j

i

j=1

j

i

u x,t

y ,t ,

ji .

(4.82)

i

64

2

2

(4.83)

ri

,t

=

i

qi

,t

i

qi

,t

,

,

hi

hi

i

i

2

2

(4.84)

ti

,t

=

i

pi

,t

i

pi

,t

,

.

hi

hi

i

i