КТЗ_ЭРЗ_Спецглавы математики сем 3_
.pdf
(плотность простейшего потока событий). По условию задачи a = 3 · 2 = 6.
Следовательно:
1)Р(6) 66 e 6 0,161 (использована таблица 1)
6!
2)P(m 1) P(0) P(1) 60 e 6 6 e 6 0,01735.
0! |
1! |
|
Замечание. Используя таблицу 2 при a 6; |
k 1, получим |
|
P(m 1) 0,01735. |
|
|
3) P(m 1) 1 P(m 1) 1 P(m 0) 1 0,0248 0,9752.
Задача 5. Вероятность того, что изготовленная рабочим деталь отличного качества,
равна 0,8. Найти вероятность того, что среди ста деталей окажется отличного качества:
1)80 деталей;
2)не менее 70 и не более 85 деталей;
3)не менее 85 деталей.
Решение.
1) Вероятность того, что среди 100 отобранных деталей 80 деталей отличного
качества можно определить и по формуле Бернулли: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
P (80) C80 |
0,880(1 0,8)20 |
. Но из-за громоздкости вычислений по этой формуле и зная, |
||||||||||||||||||||||||
100 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что n 100 |
|
и пр = 80, а npq 16, лучше применить локальную формулу Муавра-Лапласа: |
||||||||||||||||||||||||
P (m) |
|
|
1 |
|
(x), где x |
m |
np |
|
. Значения функции (x) |
|
1 |
|
e |
x2 |
см. в табл. 3. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n |
|
|
npq |
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
80 100 0,8 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Итак, |
P100(80) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) 0,0997. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||
100 0,8 0,2 |
100 0,8 0,2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2) Для вычисления P(70 m 85) следует воспользоваться интегральной формулой Муавра–Лапласа:
|
|
m np |
|
m np |
|
|
|
|
1 |
|
х t2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
P(m m m ) Ф |
2 |
|
|
|
Ф |
|
1 |
|
|
|
, |
где |
Ф(x) |
|
|
|
e 2 |
dt табулирована (см. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
npq |
|
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||
таблицу 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85 80 |
|
70 |
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Итак, |
P(70 m 85) Ф |
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
Ф(1,25) Ф( 2,5) |
|||||||||||||||
4 |
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ф(1,25) Ф(2,5) 0,3944 0,4938 |
0,8882. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
100 80 |
85 80 |
|
|||||
3) |
P(70 m 100) Ф |
|
|
Ф |
|
|
Ф(5) Ф(1,25)= |
|
4 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
=0,5 0,3944 0,1056.
Задача 6. Сырье на завод поступает от трех независимо работающих поставщиков на автомашинах. Вероятность прибытия автомашины от первого поставщика равна p1 0,2; от второго – p2 0,3, от третьего – p3 0,1. Случайная величина Х – число прибывших автомашин. Составить: закон распределения; функцию распределения F(x)
данной случайной величины и построить ее график. Найти: M (X), D(X), (X).
Определить: P(1 X 2), M (Y) и D(Y), где Y 2X 5.
Решение. Закон распределения представим в виде таблицы значений случайной величины Х и соответствующих вероятностей. Заметим, что возможные значения дискретной случайной величины Х равны 0, 1, 2, 3. Определим соответствующие этим значениям вероятности:
p1 P(X 0) 0,8 0,7 0,9 0,504
p2 P(X 1) 0,2 0,7 0,9 0,8 0,3 0,9 0,8 0,7 0,1 0,398
p3 P(X 2) 0,2 0,3 0,9 0,2 0,7 0,1 0,8 0,3 0,1 0,092
p4 P(X 3) 0,2 0,3 0,1 0,006
Проверим условие нормировки:
p1 p2 p3 p4 0,504 0,398 0,092 0,006 1
Теперь можно записать закон распределения:
|
Х |
0 |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
0,504 |
0,398 |
0,092 |
|
0,006 |
|
|
|
|
|
|
|
Найдем функцию распределения вероятностей F(x) P(X |
x): |
|||||
1)если x 0, то F(x) 0;
2)если 0 x 1, то F(x) P(X 0) 0,504;
3) |
если 1 x 2, то F(x) P(X 0 X 1) 0,504 0,398 0,902; |
4) |
если 2 x 3, то |
|
F(x) P(X 0 X 1 X 2) 0,504 0,398 0,092 0,994; |
5) |
если x 3, то F(x) P(X 0 X 1 X 2 X 3) 1. |
Построим график этой функции:
Определим числовые характеристики заданной случайной величины, исходя из соответствующих формул:
n
M(X) xi pi
i 1
M(X) 0 0,504 1 0,398 2 0,092 3 0,006 0,6.
D(X) M(X2) M2(X)
D(X) 02 0,504 12 0,398 22 0,092 32 0,006 0,62 0,46.
(X) 
D(X) 0,678.
Далее, P(1 X 2) P(X 1 X 2) 0,398 0,092 0,490.
По условию задачи Y 2X 5. Следовательно:
M (Y) M(2X 5) M(2X) M(5) 2M(X) 5 2 0,6 5 6,2.
D(Y) D(2X 5) 22 D(X) D(5) 4D(X) 4 0,46 1,84.
Задача 7. Проекция Х радиус – вектора случайной точки окружности радиуса a на диаметр имеет функцию распределения
0, если x a,
|
x |
|
|
|
|
||
F(x) A B arcsin |
|
, |
если x ( a; a), |
|
|||
|
a |
если x a. |
|
|
1, |
||
|
|
|
|
Найти: 1) значения неопределенных коэффициентов А и В; плотность распределения
|
|
a |
; |
a |
; |
||
f (x); 2) вероятность того, что Х окажется в пределах промежутка |
|
|
|
||||
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
3) моду и медиану распределения.
Решение.
1) Для нахождения неопределенных коэффициентов А и В воспользуемся свойством
непрерывности функции F(x) P(X x):
lim F(x) |
lim F(x) F( a); |
lim F(x) |
lim F(x) F(a). |
x a 0 |
x a 0 |
x a 0 |
x a 0 |
Так как lim F(x) 0 и |
lim F(x) 1, то получаем: |
|
|
x a 0 |
x a 0 |
|
|
F( a) 0,
F(a) 1;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A Barcsin( 1) 0, |
A B |
|
|
0, |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
A |
|
; |
B |
|
. |
|
2 |
|
|||||||
A Barcsin(1) 1; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
A B |
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
если x a, |
||
|
1 |
1 |
|
x |
|
||
|
|
|
|||||
Следовательно, F(x) |
|
|
|
arcsin |
|
, |
если x ( a; a), |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
a |
если x a. |
|
|
|
|
|
1, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функция плотности f (x) F |
(x), значит |
|
|||||
0, если x a x a,
|
|
|
f |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
, |
если x ( a; |
a). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2) |
вероятность |
|
|
|
того, |
|
что |
|
Х |
окажется в промежутке |
|
|
a |
; |
a |
, равна |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
a |
|
|
a |
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
P |
|
|
|
|
X |
|
|
|
F |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3) Модой непрерывной случайной величины Х называется то ее значение, при
1
котором плотность распределения максимальна. Однако функция f (x) не
a2 x2
имеет максимума, следовательно, заданное распределение моды не имеет.
Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Me ,
для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше
Me , то есть P(X Me ) P(X Me) 0,5. Геометрически мода является абсциссой той точки кривой распределения, ордината которой максимальна. Исходя из этого, решим уравнение:
1 |
|
1 |
arcsin |
Me |
0,5. Следовательно, |
Me |
0. Медиана Me 0. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
2 |
a |
a |
|||||
Задача 8. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х:
f (x) ae2x x2 |
, |
где a 0. Найти моду этой случайной величины. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Определим максимум функции y f (x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x x2 |
|
|
|
|
2 |
e |
2x x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f (x) (2 2x)ae |
|
|
; f (x) 2ae |
4a(1 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) 0, то x 1 – критическая точка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Так |
как |
|
|
|
|
|
то |
|
в |
точке x 1 |
|
выполняется |
достаточное условие |
||||||||||||||||||||||||
f (1) 2ae 0, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
экстремума (по второй производной). Кроме того |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
значит, при x 1 функция |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
(1) 0, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) имеет максимум. Итак, мода заданного распределения |
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
M |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 9. Плотность вероятности случайной величины Х равна |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) Ax2e kx, где k 0 и |
0 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Найти: 1) коэффициент А; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2) |
функцию |
F(x) |
распределения случайной величины Х; |
3) |
вероятность |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
попадания случайной величины в интервал |
0; |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
1) |
|
|
Используя |
|
|
|
свойство |
функции |
|
|
|
|
плотности |
|
f (x)dx 1, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
получим |
ax2e kxdx 1. |
Дважды |
интегрируя |
по |
|
частям, |
|
получаем |
|
x2e kxdx |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
k |
|
Следовательно, a |
k2 |
и функция плотности имеет вид: |
|
f (x) |
k2 |
|
x2e kx. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
2) Функция распределения F(x) |
определяется по формуле |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
k |
2 |
x |
2 |
2kx 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
F(x) f (x)dx. Значит, F(x) |
|
k |
|
|
x2e kxdx 1 |
|
|
e kx. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) Вероятность |
|
P |
0 X |
|
|
|
|
|
|
попадания |
случайной |
|
величины |
Х |
в заданный |
||||||||||||||||||||||
|
|
k |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
промежуток вычисляется по формулам:
b
P(a X b) f (x)dx или P(a X b) F(b) F(a).
a
|
|
1 |
|
||
Значит, P |
0 X |
|
|
F |
|
k |
|||||
|
|
|
|
||
1 |
|
1 |
|
|
5 |
|
||
|
|
|
F(0) F |
|
|
1 |
|
0,086. |
|
|
2e |
||||||
k |
|
k |
|
|
|
|||
Литература
1. Гмурман В.Е. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. –
М.: Высшая школа