- •1. Равномерное или прямоугольное распределение.
- •2. Нормальный закон распределения или распределение Гаусса.
- •Математическая статистика.
- •1. Схема предварительной обработки экспериментальных данных.
- •1). Сбор экспериментальных данных.
- •2).Составление вариационного ряда.
- •2. Статистические характеристики совокупности.
- •3. Ошибка среднего арифметического.
- •5. Распределение Стьюдента.
Лекция №2.
Основные законы распределения непрерывной случайной величины.
1. Равномерное или прямоугольное распределение.
Случайная величина называется равномерно распределённой на интервале [c,d], если функция плотности распределения её на этом интервале постоянна, а вне него равна нулю.
Из условия нормировки имеем: ,в нашем случае за пределами этого интервалаf(x)=0.
Вероятность того что X попадёт в интервал :
Это значит, что каждое своё значение случайная величина принимает с одинаковой вероятностью. На практике такой закон распределения встречается редко.
В реальности же с наибольшей вероятностью случайная величина принимает значения вблизи М[Х] (среднего значения), а по мере удаления от него вероятность принять такое значение уменьшается.
2. Нормальный закон распределения или распределение Гаусса.
Случайная величина распределена по нормальному закону, если функция плотности её распределения имеет вид:
где а,σ – параметры распределения.
a-3σ a-2σ a-σ a a+σ a+2σ a+3σ
Кривая симметрична относительно прямой х=а, в этой точкеf(x) имеет максимум: .По условию нормировки площадь под кривой не меняется, но с изменением параметраа, кривая смещается по оси х:
a1=2
a2=1
a3=0
С изменением параметра σ меняется форма кривой, но не площадь под ней:
Для распределения Гаусса (нормального распределения):
То есть, параметр -математическое ожидание,
параметр – среднее квадратическое отклонение.
Нормальный закон распределения можно задать функцией распределения:
Введём замену переменной:
это нормированная случайная величина, она – безразмерная,
Так как 99,7% всех значений случайной величины Х отличаются от М[Х] не больше, чем на 3·σ[Х], следовательно для любого значения x получим:
с вероятностью Р=0,997.
Ф(t) – функция Гаусса или нормальная функция распределения,
Значения функции Ф(t) для содержатся в таблице «Нормальная функция распределения».
Свойства функции Ф(t):
Вероятность попадания значений случайной величины в интервал [a.b]:
Правило трёх сигм:
Математическая статистика.
Основные понятия математической статистики.
Математическая статистика – это раздел математики о методах регистрации, систематизации и анализа статистических экспериментальных данных, полученных в результате наблюдения массовых случайных явлений.
Статистическая совокупность – это множество объектов, обладающих общими признаками, которые являются наиболее важными (типичными) для характеристики этих объектов.
Серия измерений какого либо признака совокупности – это совокупность значений случайной величины.
Объём совокупности n –это число членов совокупности.
Генеральная совокупность – это совокупность всех объектов, которые имеют типичную характеристику или признак. Это все возможные значения случайной величины. Объём генеральной совокупности (n →∞).
Изучить всю генеральную совокупность практически невозможно, поэтому изучают её часть – выборочную совокупность.
Выборочная совокупность (выборка) – это отобранная тем или иным способом часть генеральной совокупности (n конечно).
Из одной генеральной совокупности можно отбирать сколь угодно много выборок, главное, чтобы выборка была репрезентативной (представительной), а для этого элементы выборки должны отбираться случайным образом.
Пример: признак - рост мужчины в России.
Генеральная совокупность -- все мужчины в стране.
Выборка -- случайно отобранные мужчины из разных регионов страны (не в секции баскетбола).
Варианта – это числовое значение изучаемого признака( отдельные значения случайной величины).
Основные задачи, которые стоят перед математической статистикой:
Определение закона распределения случайной величины по имеющимся статистическим данным ( по выборке – закон распределения для всей генеральной совокупности).
Определение неизвестных параметров распределения ( по выборке оценить параметры генеральной совокупности).
Задача проверки правдоподобия выдвигаемых статистических гипотез.