Лекция дискрет 07

Алгебра – множество М с заданной на нём совокупностью операций Ω = { φ1, φ2, … , φm, … }, т.е. структура

A = [ M; φ1, φ2, … , φm, … ]

М– основное множество (носитель) алгебры А

Ω= { φ1, φ2, … , φm, … } – сигнатура алгебры А

Тип алгебры А – вектор арностей её операций

Множество М М называется замкнутым относительно n-арной операции φ, если значения φ на аргументах из М принадлежат М

Если множество М М замкнуто относительно всех операций

φ1, φ2, … , φm, … алгебры A = [ M; φ1, φ2, … , φm, … ], то алгебра

A = [ M ; φ1, φ2, … , φm, … ] называется подалгеброй алгебры А

Примеры:

Структура [ N; + ] с операцией сложения натуральных чисел есть алгебра типа (2); её сигнатура Ω = { + }, носитель – множество натуральных чисел N

Структура [ R; +, ] с операциями сложения и умножения действительных чисел есть алгебра типа (2, 2) с сигнатурой Ω = { +, } и множеством действительных чисел R в качестве носителя

Структура [ R; +, , -, / , ↑1, ↑2, …, ↑n, ... ] с операциями сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень 1,…,n,… есть алгебра типа (2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, …) с бесконечной (!) счётной сигнатурой Ω = { +, , -, / , ↑1, ↑2, …, ↑n, ... } и носителем R

Примеры (2):

Структура B = [ B (M); , , ] с булеаном B (M) в

качестве носителя и операциями объединения, пересечения и дополнения множеств называется булевой алгеброй множеств над множеством М, имеет тип (2, 2, 1) и сигнатуру Ω = { , , }

Для любого М М алгебра B = [ B (M ); , , ]

является подалгеброй алгебры В

2) Изоморфизм алгебр

Заданы две алгебры одинакового типа (l1, l2, … , lp)

Гомоморфизм алгебры А в алгебру В – отображение Г: К М, удовлетворяющее условию

Г ( φi ( kj1, kj2, … , kjli ) ) = ψi ( Г(kj1), Г(kj2), … , Г(kjli) ) ( )

Отображение множества К в множество М (см. § 1.2) – всюду определённое соответствие Г К М

Смысл условия гомоморфности ( ):

Г ( φi ( kj1, kj2, … , kjli ) ) = ψi ( Г(kj1), Г(kj2), … , Г(kjli) ) ( )

независимо от того, выполнена ли сначала операция φi в алгебре А и затем произведено отображение Г, либо сначала произведено отображение Г и затем в алгебре В выполнена соответствующая операция ψi, результат должен быть одинаков

Изоморфизм алгебры А на алгебру В – взаимно однозначный гомоморфизм

Автоморфизм – изоморфизм алгебры на себя

Из словарей:

Изоморфизм и гомоморфизм (греч. isos - одинаковый, homoios - подобный и morphe - форма) - понятия, характеризующие соответствие между структурами объектов. Две системы, рассматриваемые отвлечённо от природы составляющих их элементов, являются изоморфными друг другу, если каждому элементу первой системы соответствует ровно один элемент второй системы и каждой связи в одной системе соответствует связь в другой.

Если алгебра А изоморфна алгебре В, то элементы и операции В можно переименовать так, что В совпадёт с А

Изоморфизм - сходство свойств элементов или их совокупностей, определяющее их способность замещать друг друга в каких-либо целях; соответствие объектов, тождественных по своей структуре.

Распространённое в математике выражение «рассматривать объекты с точностью до изоморфизма» означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, т.е. являются общими для всех изоморфных объектов.

В частности, изоморфизм сохраняет такие свойства операций, как ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность.