Signaly_1
.pdf11
Наиболее распространенными непрерывными модуляциями являются гармонические модуляции, в которых в качестве переносчика выступает гармоническое колебание
|
U (A,ω,ϕ ,t ) = A×cos(ω ×t +ϕ ), |
(1.4) |
где A – |
амплитуда гармонического колебания; |
|
ω – |
частота; |
|
ϕ – |
фаза; |
|
t – |
время или текущая пространственная координата; |
|
|
Сигнал-переносчик для такого вида модуляций называют несущим и, как видно |
|
из выражения (1.4), он является функцией трех параметров A, ω, ϕ, каждый из которых |
||
может быть выбран в качестве информационного. |
|
|
|
Если в качестве информационного параметра используется |
амплитуда А, то |
говорят об амплитудной модуляции, при которой модулированный по амплитуде
сигнал S A (t) можно описать выражением: |
|
S A (t ) = A[x(t)]×cos(ω ×t +ϕ ) , |
(1.5) |
где x(t ) – модулирующий сигнал, соответствующий передаваемому сообщению. |
|
Если в качестве информационного параметра используют частоту ω, то такой вид гармонической модуляции называют частотным. При этом виде модуляции частота
несущей является функцией модулирующего сигнала x(t ) |
и модулированный по |
частоте сигнал Sч (t) может быть представлен выражением: |
|
Sч (t ) = A×cos{ω[x(t )]×t +ϕ }. |
(1.6) |
В качестве информационного параметра может быть выбрана фаза сигнала- |
|
переносчика (ϕ). В этом случае говорят о фазовой модуляции и сигнал,
модулированный по фазе Sф (t) представляется в виде:
Sф (t ) = A×cos{ω ×t +ϕ [x(t )]} |
(1.7) |
Применяют и комбинированные виды гармонической модуляции, при которых в соответствии с изменением передаваемого сигнала одновременно меняются два параметра сигнала-переносчика, например, амплитуда и частота. Однако во всех случаях один из параметров не должен изменяться, чтобы играть роль параметра селекции, иначе модулированный сигнал нельзя будет выделить на фоне помех и множества иных подобных сигналов.
12
Часто в качестве сигнала-переносчика используют детерминированную последовательность импульсов, параметры которой меняются в зависимости от передаваемого сообщения. Такие виды модуляции называют импульсными, и они могут быть отнесены к классам 2, приведенной классификации (Таблица 1.1).
Детерминированная последовательность импульсов может быть описана выражением:
|
U (A,T ,τ ,t) = 0, при k ×t +τ < t < (k +1)×T ; |
(1.8) |
|
A, при k ×T £ t £ k ×T +τ , |
|
где A – |
амплитуда импульсов; |
|
T – |
период следования импульсов; |
|
τ – |
длительность импульсов; |
|
t – |
текущее время или текущая пространственная координата; |
|
k = 0,1,2,...
График детерминированной последовательности импульсов представлен на рис.1.2
U
τ
A
t
0 |
T |
2T |
3T |
Рис.1.2
Любой из параметров последовательности импульсов (A, T, τ) может быть использован в качестве информационного.
Если в качестве информационного параметра используют амплитуду А, то такая модуляция называется амплитудно-импульсной, при этом модулированный сигнал можно описать выражением:
|
13 |
|
S АИ |
(t) = A[x(t)], при k ×T £ t £ k ×T +τ ; |
(1.9) |
|
0, при k ×T +τ < t < (k +1)×T , |
|
где x(t ) – модулирующий сигнал, соответствующий передаваемому сообщению.
Если же в качестве информационного параметра выбран период следования импульсов Т, то такой вид импульсной модуляции называют частотно-импульсной.
При этом виде модуляции период следования импульсов (Т) является функцией
модулирующего сигнала |
x(t ), и модулированный сигнал может быть |
представлен |
выражением: |
|
|
SЧИ |
(t ) = A, при k × T [x(t )] £ t £ k × T [x(t )]+ τ ; |
(1.10) |
|
0, при k × T [x(t )]+ τ < t < (k + 1)× T [x(t )]. |
|
В качестве информационного параметра может быть выбрана |
длительность |
|
импульса (τ). В этом случае говорят о широтно-импульсной модуляции и сигнал,
полученный в результате этого вида модуляции может быть представлен в виде:
SШИ |
(t ) = A, |
при k × T £ t £ k × T + τ [x(t )]; |
(1.11) |
|
0, |
при k × T + τ [x(t )] < t < (k + 1)× T . |
|
Могут использоваться и комбинированные виды импульсной модуляции, при
которых в качестве информационных параметров используют сразу два параметра последовательности импульсов, например, амплитуда и частота. В этом случае один сигнал-переносчик может служить для передачи сразу двух сообщений, каждое из которых будет управлять своим информационным параметром.
§1.4. Цифровая модуляция
Цифровая модуляция широко используется при цифровой обработке сигналов с помощью ЭЦВМ.
Сущность цифровой модуляции заключается в том, что сигнал,
соответствующий передаваемому сообщению, подвергается дискретной модуляции по амплитуде и (или) текущему параметру, а полученные отсчеты представляются в виде цифр в какой-либо системе счисления. Цифровые виды модуляции относятся к классам
G1-G4 классификации различных видов модуляции (Таблица 1.1).
Цифровые виды модуляции находят широкое применение при передаче и обработке сигналов и сообщений, так как обладают важными достоинствами:
14
−слабое влияние неидеальности и нестабильности аппаратуры на качество передачи информации;
−высокая помехоустойчивость;
−универсальная форма представления сигналов;
−простое согласование с ЦВМ;
−возможность унификации и стандартизации элементов и устройств
обработки и передачи сигналов.
Из недостатков цифровых видов модуляции следует отметить значительное расширение полосы частот, которое требуется для их передачи, и необходимость точной синхронизации сигналов.
Из различного вид цифровых модуляций при обработке сигналов с помощью ЦВМ наиболее широко применяется так называемое аналого-цифровое преобразование, включающее в себя следующие необходимые преобразования непрерывного сигнала:
−дискредитацию (квантование) по уровню;
−дискредитацию (квантование) по времени или по пространственной координате;
−представление полученных отсчетов в какой-либо системе счисления и
кодирование.
Очередность выполнения операций дискредитации по уровню и дискредитации по времени не существенна. Однако обе эти операции имеют свои специфические особенности, которые влияют на точность и достоверность аналого-цифрового преобразования, что требует их детального рассмотрения.
§1.5. Дискретизация по уровню (квантование по уровню)
Сущность дискретизации (квантовании) по |
уровню, как |
нелинейного |
|||
преобразования, заключается в том, что |
все |
отсчеты |
непрерывного |
сигнала |
x(t ), |
попадающие в интервал дискретизации |
xk , |
представляются одним значением |
xk , |
||
которое называется квантованным. Таким образом, происходит преобразование непрерывного сигнала в дискретный. Процесс дискретизации по уровню определен,
если задана характеристика дискретизации или квантования (рис.1.3), которая связывает интервалы дискретизации и квантованные значения, то есть каждому
15
интервалу дискретизации ставится в соответствие квантованное значение xk . Часто интервалы квантования выбирают одинаковыми и тогда говорят, что квантование происходит с постоянным шагом.
xk
x4
x3
x2
x1
-x5 -x4 -x3 -x2 -x1 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x(t) |
-x1
-x2
-x3
-x4
Рис. 1.3
Характерной особенностью операции квантования по уровню является то, что квантованный сигнал отличается от оригинала даже при полном отсутствии шумов.
Действительно, если на вход устройства квантования подается сигнал x(t ), а на выходе получаем квантованный сигнал xk (t ), то они будут отличаться друг от друга на величину ε (рис.1.4а).
ε (t) = x(t) − xk (t) .
xk
x5
x4
x3
x2
x1
ε(t)
x
2
α
− x
2
16
x(t)
xk(t)
а) |
t |
t
б)
Рис. 1.4
Величину ε (t) называют шумом квантования, так как искажения, вызываемые квантованием по уровню равносильны искажениям, вызванные источником шума, то есть искажения рассматриваются как шум, вводимый в систему при квантовании.
Частота этого шума зависит от частоты квантуемого сигнала и превышает его.
Максимальная амплитуда шума равна шагу квантования, и поэтому для
уменьшения шума необходимо уменьшать шаг квантования.
Для определения среднеквадратического значения ошибки квантования по
уровню предположим, что непрерывный сигнал x(t ) |
имеет равномерную плотность |
||
распределения, |
интервалы дискретизации |
xk одинаковы по величине и в качестве |
|
квантованных |
значений xk выбираются |
середины |
соответствующих интервалов |
дискретизации. В этом случае, при достаточно большом числе интервалов дискретизации, ошибка квантования ε (t) может быть приближенно представлена в виде графика, состоящего из отрезков прямых линий с различными наклонами
17
(рис.1.4б). Эти отрезки ограничены снизу и сверху половиной шага квантования,
исключения составляют шаги, в которых сигнал либо минимален, либо максимален.
Если шаги квантования малы, то среднеквадратическая ошибка приближенно определяется среднеквадратическим значением типичного линейного отрезка.
Для интервалов времени, заключенных между - |
Dx |
|
|
и |
Dx |
, то есть |
|
|||||||||||||||||
2m |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
||||||
|
|
|
- |
Dx |
< t < |
Dx |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.12) |
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
можно записать уравнение, определяющее типичный линейный отрезок ошибки |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ε (t) = m × t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.13) |
|||
где m = tgα - наклон отрезка; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t - время отсчитывается от точки пересечения отрезком оси t. |
|
|||||||||||||||||||||||
Тогда среднеквадратическая ошибка квантования |
ε |
2 |
может быть определена |
|||||||||||||||||||||
следующим выражением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Dx |
|
|
|
||||
|
|
1 |
2m |
|
|
m |
3 |
|
t |
3 |
2m |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
ε |
2 = |
∫ (m × t)2 dt = |
|
× |
|
= |
|
. |
|
(1.14) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Dx |
Dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
− x |
|
|
|
3 |
− |
|
x |
|
12 |
|
|
|||||||||||
|
|
m |
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, процесс квантования по уровню вносит в сигнал шум квантования, причем среднеквадратическая ошибка квантования по уровню ε 2 зависит от шага квантования и определяется равенством:
ε |
2 = Dx2 . |
(1.15) |
12 |
|
|
Следует отметить, что полученное выражение справедливо только в случае выполнения ограничений, указанных выше и которые описывают наиболее типичные условия при выполнении операции дискретизации по уровню.
В случае если плотность распределения сигнала x(t ) не постоянна или интервалы дискретизации ( Dxk ) имеют различную величину или квантованное значение xk не равно середине интервала дискретизации Dxk , выражение для определения среднеквадратической ошибки может иметь иной вид.
Следует также отметить, что, как известно из теории информации, среднее количество информации (I), содержащееся в сообщении x, которую можно выделить из смеси полезного сигнала и шума определяется выражением:
I = H (y) - H (n) , |
(1.16) |
18
где H (y) – энтропия принятого сообщения;
H (n) – энтропия шума.
Таким образом, квантование по уровню снижает среднее количество
информации, содержащееся в сообщении.
§1.6. Дискредитация (квантование) по времени или по текущей координате
Для удобства изложения будем считать сигнал x(t ) динамическим сигналом (t –
текущее время), хотя все ниже приведенные рассуждения будут справедливы и для статических сигналов, для которых t – текущая пространственная координата.
Непрерывный сигнал x(t ) может быть преобразован в непрерывный сигнал дискретного аргумента путем взятия отсчетов мгновенных значений (выборок) через интервалы времени t1 , t2 , t3 и т.д. (рис.1.5).
x(t) xk(t)
t0 ∆t1 t1 ∆t2 |
t2 |
t3 |
t4 |
t5 |
t6 |
t |
Рис. 1.5
Такое преобразование называют дискретизацией или квантованием по времени.
Полученный в результате сигнал xk (t) называют квантованным по времени, и он представляет собой последовательность отсчетов мгновенных значений, взятых в дискретные моменты времени.
Интервалы дискретизации t1 , t2 , t3 и т.д. могут быть различны, хотя с практической точки зрения их часто берут одинаковыми
19 |
|
Dti = Dt , i = 1,2,..., k . |
(1.17) |
В этом случае говорят, что дискретизация по времени производится с постоянным шагом.
Для аналитического описания процесса дискретизации по времени используют импульсную функцию дискретизации δ T (t ), которая представляет собой
периодическую последовательность δ-функций, то есть:
+∞ |
|
δ T (t ) = ∑δ (t - k × Dt ), |
(1.18) |
k =0
где δ (t) – дельта-функция;
k - номер дельта-функции в последовательности;
Dt - период следования дельта-функции;
Следует отметить, что дельта-функция (δ (t )) определяется следующим образом:
¥, при t = 0; |
|
δ (t) = |
при t ¹ 0, |
0, |
|
причем площадь, ограниченная δ-функцией равна 1, то есть
+∞
∫δ (t)dt = 1 .
−∞
(1.19)
(1.20)
Процесс дискретизации по времени непрерывного сигнала x(t ) может рассматриваться как умножение этого сигнала на импульсную функцию дискретизации
δ T (t ), то есть
+∞ |
|
xk (t) = x(t)×δ T (t) = ∑ x(t )×δ (t - k × Dt ) . |
(1.21) |
k =0 |
|
Учитывая то, что функция δ (t - k × Dt) отлична от 0 только в моменты времени |
|
t = k × Dt , выражение (1.21) может быть записано в следующем виде |
|
+∞ |
|
xk (t) = ∑ x(k × Dt )×δ (t - k × Dt). |
(1.22) |
k =0 |
|
Отсюда следует, что умножение непрерывного сигнала x(t ) |
на δ-функцию |
приводит к тому, что площадь, ограниченная δ-функцией становиться численно равной значению сигнала в момент времени t = k × Dt . Эту площадь обычно называют весом δ-
функции и он равен мгновенному отсчету сигнала x(t ) в момент времени t = k × Dt .
20
Таким образом, процесс дискретизации по времени соответствует образованию периодической последовательности δ-функций, вес каждой составляющей которой
численно равен мгновенным значениям сигнала в момент взятия отсчета.
При практическом выполнении дискретизации по времени, естественно,
возникает вопрос:
каков должен быть оптимальный интервал дискретизации t , чтобы можно
было восстановить по квантованному сигналу xk (t) исходный непрерывный сигнал x(t ) с достаточной точностью. Действительно, если интервал дискретизации t будет
достаточно велик, это приведет к большим погрешностям восстанавливаемого непрерывного сигнала в промежутках между отсчетами, а если интервал дискретизации будет мал, то это значительно увеличит число отсчетов и, следовательно, увеличиться объем обрабатываемых данных.
Для реальных сигналов, то есть таких сигналов, у которых длительность (Т)
конечна, максималльная частота в спектре ( FM ) и мощность сигнала ограничены из-за инерционности и ограниченности по мощности реальных источников сообщений,
оптимальный интервал дискретизации может быть определен на основе теоремы
Котельникова (теорема отсчетов), доказательство которой приведено в Гл. . Из этой
теоремы следует, что непрерывный сигнал длительности Т и не содержащий частот в
спектре выше FM |
полностью определяется последовательностью своих раноотстоящих |
|||||||
мгновенных значений, взятых с интервалом |
t , общее число которых не превышает N, |
|||||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dt = |
1 |
|
; |
|
|
(1.23) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2FM |
|
|
|||
|
N = 2T × FM + 1 . |
|
|
|||||
Исходный |
непрерывный сигнал x(t ) |
может быть точно |
восстановлен по |
|||||
квантованному сигналу xk (t) в соответствии с уравнением |
|
|
||||||
|
x(t ) = ∑ x(k × Dt)× |
sin 2π × FM (t + k × Dt ) |
, |
(1.24) |
||||
|
|
2π |
× FM (t + k × Dt) |
|
||||
|
k |
|
|
|
||||
причем предварительно квантованный сигнал xk (t) должен быть пропущен через фильтр с верхней границей пропускания равной FM .
Дискретизация по времени является неотъемлемой и ответственной частью аналого-цифрового преобразования, нарушения при проведении которого ёведет к