МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1

Отметим, что в таблице дифференциалов переменная x может быть как независимой, так и некоторой функцией. В таблице же производных (§6) x – это только независимая переменная.

Замечание. Формула для дифференциала функции y = f (x), а именно:

dy = f ¢(x)dx ,

позволяет написать формулу, выражающую производную функции через дифференциалы dx и dy:

y¢x = dydx .

При этом такая формула сохраняет силу, по какой бы независимой переменной ни были вычислены dx и dy. Эта формула позволяет легко запоминать (но не доказывать!) некоторые правила дифференцирования:

для сложной функции y = F(x(t))

yt¢ = dydt = dydx × dxdt = y¢x × xt¢;

для обратной функции

y¢x = dy = 1 = 1¢ ; dx dx xy

dy

- 62 -

для функции, заданной параметрически x = x(t), y = y(t)

¢ = dy = y¢(t)dt = y¢(t) yx dx x¢(t)dt x¢(t) .

§8. Производные высших порядков

I Определение и обозначения

Если функция y = f (x) дифференцируема на некотором промежутке, то её производная f ¢(x) сама является функцией, определенной на этом промежутке.

Следовательно, по отношению к ней можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной. Если она существует, то её называют второй производной (или производной 2го порядка), и обозначают одним из символов

Аналогично, если существует производная от второй производной, то её называют третьей производной и обозначают, например, y¢¢¢.

Вообще, производной n-го порядка называют производную от производной

(n–1)-го порядка и обозначают y(n) , f (n) (x). Итак, по определению

y(n) = (y(n-1) )¢ .

II Производные некоторых функций

1. y=sin x , y=cos x

Первые производные этих функций (sin x)¢ = cos x, (cos x)¢ = -sin x и формулы приведения cos x = sin(x + p 2), - sin x = cos(x + p 2) позволяют

методом математической индукции получить выражения для производных n-го порядка:

2. y=xa

Если a Ï N , то, последовательно дифференцируя, получим y¢ = a × xa -1, y¢¢ = a(a -1) × xa -2 , и вообще:

y(n) = a(a -1) ×...× (a - n +1) × xa -n .

Если же показатель степени натуральный, то:

- 63 -

n-го порядка от произведения функций имеется т.н. формула Лейбница. Приведем ее без доказательства:

Заметим, что под производной нулевого порядка принято понимать саму функцию: y(0) º y .

IV Функция, заданная параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями

ìx = x(t),

íîy = y(t).

Её первая производная – это также функция, заданная параметрически:

- 64 -

V Функция, заданная неявно

Повторное дифференцирование такой функции покажем на примере:

Остается подставить в последнее выражение значение y¢x :

Полученное выражение можно упростить, используя само уравнение:

y¢xx¢ = - R2 . y3

- 65 -

Тема ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

Лекция 10

§1. Необходимое условие экстремума

приращений аргумента Dx приращение функции Dy = f (x0 + Dx) - f (x0 ) < 0. Определение 2. Точка x0 называется точкой (локального) минимума

функции y = f (x) , если существует окрестность этой точки, в которой (при x ¹ x0 ) выполняется неравенство f (x) > f (x0 ). Другими словами Dy > 0 при

малых Dx .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Их можно характеризовать следующим образом: приращение функции в точке экстремума имеет постоянный знак, не зависящий от знака Dx достаточно мало).

Теорема Ферма. Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x0 и имеет в этой точке локальный экстремум, то f ¢(x0 ) = 0.

Доказательство. Дифференцируемость означает существование конечного предела

lim Dy = f ¢(x0 ) .

Dx®0 Dx

Для этого предела имеется три возможности: 1) f ¢(x0 ) > 0; 2) f ¢(x0 ) < 0 ; 3) f ¢(x0 ) = 0. Предположим, что f ¢(x0 ) > 0. Тогда для близких к нулю Dx

разностное отношение DDyx > 0. Если же f ¢(x0 ) < 0 , то и DDyx < 0 (для малых

Dx ). В обоих случаях знак Dy зависит от знака Dx . Но по условию теоремы x0 – это точка экстремума, значит, знак Dy не зависит от знака Dx . Это противоречие означает, что не может быть ни положительным, ни отрицательным. Остается последняя возможность: f ¢(x0 ) = 0.

Замечание 1. Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если в точке графика функции y = f (x) , которой соответствует экстремум функции,

существует касательная к графику, то эта касательная параллельная оси Ox.

- 66 -

F(x) = f (x) - lx .

Теорема доказана.

Замечание 2. Теорему Лагранжа называют основной теоремой дифференциального исчисления, а формулу (1), записанную в виде

называют формулой конечных приращений. Положим a = x, b = x + Dx , а точку c, лежащую между x и x + Dx запишем в виде c = x +qx , где q Î (0,1) . Тогда:

Df = f ¢(x +q × Dx) × Dx .

Эта формула даёт точное значение для приращения функции при любых конечных приращениях аргумента. Этим она отличается от формулы бесконечно малых приращений (§4, тема “Производная”)

Df = f ¢(x)Dx + o(Dx), Dx ® 0,

из которой получается лишь приближенное равенство

Df » f ¢(x)Dx ,

справедливое для достаточно малых Dx .

Замечание 3. Пусть A(a, f (a)), B(b, f (b)). Тогда правая часть формулы

(1) есть угловой коэффициент секущей AB. Геометрически теорема Лагранжа означает следующее: на графике функции y = f (x) между точками А и В найдется точка C(c, f (c)), касательная в которой параллельная секущей AB.

Несмотря на то, что в формуле конечных приращений фигурирует неизвестное число с (или q ), эта формула имеет многочисленные приложения.

Пример 1. Доказать оценку

14 < arcsin 0.8 - arcsin 0.6 < 13 .

Для доказательства рассмотрим функцию f (x) = arcsin x . Тогда

arcsin 0.8 - arcsin 0.6 = Df , Dx = 0.8 - 0.6 = 0.2.

Значит, Df = f ¢(c) × 0.2, где 0.6 < c < 0.8. Оценим производную функции

- 68 -

Умножая все части этого двойного неравенства на 0.2, получим:

Пример 2. Формула (1) позволяет доказывать некоторые полезные неравенства. Например,

Лекция 11

§3. Обобщение формулы конечных приращений

F(x) = f (x) - lx . Она непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b).

С таким l эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля, следовательно $c Î (a,b): F¢(c) = 0. Но F¢(x) = f ¢(x) - lg¢(x), значит

f ¢(c) - lg¢(c) = 0 и

f ¢(c) = l

g¢(c)

.

Сравнивая эту формулу с (2), получим (1).

- 69 -

Замечание 1. Знаменатель левой части формулы (1) отличен от нуля. В противном случае к функции g(x) можно было бы применить теорему Ролля и

внутри (a,b) получить точку, в которой g¢(x) = 0, что противоречит условию

теоремы Коши.

Замечание 2. Может показаться, что теорема Коши не содержит ничего нового: ведь к каждой из функций f (x) и g(x) можно применить формулу конечных приращений (2) из §2. Однако, теорема Лагранжа не гарантирует, что точка c Î (a,b) одна и та же для различных функций.

§4. Раскрытие неопределенностей. Правило Бернулли-Лопиталя

I Понятие неопределенного выражения

Пусть a (x) и b (x) – бесконечно малые, а f (x) и g(x) – бесконечно

большие функции при x ® a .

Неопределенными выражениями (или неопределенностями) при x ® a называют следующие выражения:

1)ab ((xx)) – неопределенность вида 00 ;

2)gf ((xx)) – неопределенность вида ¥¥ ;

3)a (x) × f (x) – неопределенность вида 0× ¥ ;

4)f (x) - g(x) – неопределенность вида ¥ - ¥;

5)(1+ a(x)) f (x) – неопределенность вида 1¥ ;

6)(a(x))b (x) – неопределенность вида 00 ;

7)( f (x))a (x) – неопределенность вида ¥0 .

Раскрыть неопределенность означает вычислить предел (соответствующего выражения) при x ® a .

0¥

IIНеопределенности вида 0, ¥ .

- 70 -

Другими словами предел отношения двух б.м. или б.б. функций можно заменить пределом отношения их производных, если последний существует – это и есть правило Бернулли-Лопиталя.

вытекает из дифференцируемости. К этой паре функций можем применить теорему Коши из §3:

f (x) - f (a) = f ¢(c) , g(x) - g(a) g¢(c)

где a < c < x < b . Учитывая, что функции в точке а равны нулю, получим

f (x) = f ¢(c) . g(x) g¢(c)

имеет тот же самый предел.

Замечание 1. Аналогичное утверждение имеет место и для левого предела, а также для пределов на бесконечности, т.е. при x ® +¥,-¥.

- 71 -