Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_Mekhanika_Ch_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

1.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Второй закон динамики в проекциях на касательное направление имеет вид:

(61)

Учитывая, что		и умножив обе части (61) на R получим:

(62)

(63)

из рисунка видно, что Rcosα=h (плечо силы относительно центра окружности). Учитывая также направление векторов углового ускорения и момента силы относительно центра окружности, получим: Сравним полученное выражение с основным законом динамики Ньютона в частной формулировке

(64)

Заметим, что в (63) и (64) физический смысл аналогичен, только речь идет о разных типах движения. Поэтому одинаков и физический смысл величин m и mR2. Следовательно, величина mR2 определяет инертные свойства тела при вращательном движении. Эта величина I=mR2 называется моментом инерции тела (точки). С учетом сказанного основной закон динамики для вращательного движения записывают в виде:

(65)

4.14. Уравнение моментов относительно произвольного центра.

Основной закон динамики в общей формулировке можно записать в виде:

(66)

При вращательном движении вокруг центра О роль импульса играет момент импульса относительно центра:

(67)

где r – радиус-вектор вращающейся материальной точки.

Основной закон динамики вращательного движения (уравнение моментов) относительно произвольного центра будем находить в виде, аналогичном (66).

Учитывая (67), получим:

(68)

Отметим, что:

Тогда:

(69)

Очевидно, что первый член в правой части равенства равен нулю, а второй - моменту силы относительно выбранного центра. Следовательно:

(70)

4.15. Уравнение моментов относительно координатных осей.

Совершенно аналогично можно получить уравнения моментов относительно координатных осей:

dN2 = d [x(mvy ) − y(mvx )]= dx (mvy ) + x d(mvy ) − dy (mvx ) − y d(mvx ) = xFy − yFx
dt dt	dt	dt	dt	dt

Следовательно:

dN2 = M 2 dt

Подобным же образом получаем:

dN y = M y dt

4.16. Движение тел в поле центральных сил.

dNx = M x dt

(71)

(72)

(73)

Центральными называют силы, линии действия которых проходят в своё время через один и тот же центр. Примером таких сил могут служить силы гравитационного взаимодействия между планетами

Солнечной системы.

Основные особенности движения тел в поле центральных сил рассмотрим на примере движения планеты вокруг Солнца. Планета Р (рис.27) движется вокруг Солнца, центр масс которого находится в

точке с. Радиус-вектор планеты r , а сила, действующая на неё со стороны Солнца - F . Движение планеты вокруг Солнца описывается уравнением моментов:

dNc	= M	(75)
dt	= M	c
		c

	↑↓ r		= 0 следовательно:
Т.к.. F	↑↓ r	, Mc	= 0 следовательно:

				(76)

Постоянство вектора			означает постоянство как его модуля, так и направления в пространстве. Из

Nc = const

условия постоянства направления следует, что орбита планеты плоская, т.е. она движется всё время в одной и той же плоскости.

Из условия постоянства модуля вектора				следует, что:
	mv h = const				(77)
	vh =		dS	h = const	(78)

			dt
Считая массу планеты постоянной, можно далее записать:
Из рисунка видно, что h*dS равно удвоенной площади, ометаемой радиус-вектором планеты за
промежуток времени dt.Обозначив эту площадь dσ, получим:
	dσ	= const			(79)

	dt

т.е. площадь, ометаемая радиус-вектором планеты в единицу времени (секториальная скорость) постоянна.

5. Основные законы динамики систем материальных точек.

5.1. Система материальных точек.

Системой материальных точек (механической системой) называют совокупность взаимодействующих между собой точек, в которой положение и движение каждой из них зависит от положения и движения остальных точек системы (например, Солнечная планетная система).

Система точек характеризуется совокупностью сил, приложенных ко всем точкам системы как со стороны других точек системы (внутренние силы), так и со стороны тел, не входящих в состав данной системы (внешние силы). Характеристикой системы является её масса, равная сумме масс точек, входящих в состав системы. Кроме того, система характеризуется положением её центра масс, которое можно задавать векторным и координатным способами:

∑mk rk

(80)

∑mk

∑mk xk

∑mk zk

∑mk yk

(81)

∑mk

где: mk ― масса k-й точки системы, rk ― её радиус-вектор, xk , yk , zk ― её координаты, rc - радиус-вектор центра масс системы, xc , yc , zc ― его координаты.

5.2. Основной закон динамики системы материальных точек.

Для любой точки системы (например, k-й) можно записать основной закон динамики Ньютона в виде:

m		d	2	= F e + F l		(82)
			rk

	k			k	k
		dt2

где Fke ― равнодействующая внешних сил, приложенных к k-й точке системы,Fkt						― равнодействующая

внутренних сил, приложенных к k-й точке.

Записав таким образом уравнения динамики по второму закону для всех точек системы и суммируя их,

получаем:	2
	d rk
∑mk	d rk	= ∑Fke + ∑Fkt		(83)
∑mk	2	= ∑Fke + ∑Fkt		(83)
k	dt	k	k

Mke

Учитывая, что геометрическая сумма внутренних сил равна нулю, имеем:

d	2			e	(84)
	2			e	(84)

		∑mk rk	= ∑Fk
dt	2	∑mk rk	= ∑Fk
dt		k	k

С учётом (2-31) можно окончательно записать основной закон динамики для системы материальных точек в виде, аналогичном основному закону динамики для материальной точки:

		d	2		e	(85)
		d		rc	e	(85)

	M				= ∑Fk
	M	dt		2	= ∑Fk
		dt			k
где:			― общая масса системы.

5.3. Уравнения моментов для системы материальных точек относительно произвольного центра, произвольной оси.

По определению моментом импульса системы точек относительно центра называют векторную сумму моментов импульса всех точек системы относительно того же центра:

N0 = ∑rk × (mk vk )

Для каждой точки системы можно записать уравнение моментов в виде:

k = M ke + M kt

где: ― сумма моментов внешних сил, приложенных к k-й точке, аMkt внутренних сил, приложенных к k-й точке.

Суммируя уравнения моментов для всех точек системы, получим:

dNk = ∑ Mke + ∑ Mkt

dt k		k

Учитывая, что векторная сумма моментов всех внутренних сил равна нулю,

(86)

(87)

― сумма моментов

(88)

		= ∑M ke
dN	0	= ∑M ke


dt		k

Совершенно аналогично выводится уравнение моментов относительно произвольной оси:

dNz = ∑Mkze

dt k

где: ∑M ke ― сумма моментов внешних сил относительно произвольной оси Z.

6. Динамика тел переменной массы.

(89)

(90)

Телом переменной массы называют тело, масса которого с течением времени изменяется (M=M(t)) за счёт отделения от него или прибавления к нему дополнительной массы. Тело, от которого отделяется масса или к которому прибавляется масса, называется основным телом. Основной закон динамики тела переменной массы получим на примере ракеты.

6.1. Основной закон динамики тела переменной массы (уравнение Мещерского) для тела с убывающей массой.

Предположим, что в момент времени t основное тело (корпус ракеты) имело массу М, двигалось со скоростью v , а равнодействующая внешних приложенных к нему сил

равнялась	. e	Через малый промежуток времени dt, т.е. в момент времени t+dt от основного тела
	F
отделилась масса –dM (dM<0), движущаяся со скоростью v1 .
Основное тело в этот момент имеет массу M+dМ и движется со скоростью			.
			.

Применим к системе «основное тело ― отделяющаяся масса» основной закон динамики для системы

точек:		(91)
Mdv − dM (v1	− v) = F e dt	(91)

Пренебрегая величинами второго порядка малости, можем записать:

	(M + dM )(v + dv)− dM v1				− Mv = F e dt	(92)

Обозначив	(скорость продуктов сгорания топлива относительно корпуса ракеты), получим
Обозначив
основной закон динамики для тела с убывающей массой:
			+ u dM			(93)
	M dv = F e		+ u dM			(93)

		dt		dt
От второго закона Ньютона выражение (93) отличается величиной						, имеющей размерность

силы. Учитывая, что dM<0, отметим, что при отделении массы от основного тела на него действует

дополнительная сила, равная произведению массового расхода на относительную скорость , а

направлена эта сила противоположно относительной скорости. Такую силу называют реактивной.

6.2. Основной закон динамики для тела с возрастающей массой.

Предположим, что в момент времени t система состояла из основного тела массы М, двигавшегося со

скоростью v	и малой массы dM, двигавшейся со скоростью v	. К моменту времени t+dt малая масса
	1

попадает на основное тело, т.е. система представляет уже собой одно тело массы M+dM, которое

движется со скоростью

. Если равнодействующая внешних сил, действующих на систему, равна

F e , основной закон динамики записывается для системы в виде:

Пренебрегая величинами второго порядка малости, преобразуем (94) к виду:

(M + dM )(v + dv) − Mv − dM v

= F e dt

(94)

Mdv − dM (v

− v) = F e dt

+ u dM

(95)

M dv = F e

где:

― относительная скорость добавляющейся массы.

Внешняя форма закона динамики для тела с возрастающей массой полностью совпадает с уравнением динамики для тела с убывающей массой. Разница в том, что на этот раз дополнительная сила совпадает по направлению с относительной скоростью, т.к. в случае добавляющейся массы dM>0.

6.3. Первое соотношение Циолковского.

Первое соотношение Циолковского определяет скорость ракеты в конце активного участка траектории (того участка, на котором работает двигатель). Соотношение получим в предположении, что относительная скорость продуктов сгорания топлива u постоянная (1-я гипотеза Циолковского). Кроме того, будем считать, что ракета движется вне силовых полей.

(F e = 0) .Тогда в проекциях на направление движения ракеты уравнение Мещерского можно представить в виде:

M	dv	= −u		dM	(96)
	dt			dt

или:
dv = −u			dM		(97)
			dt

Интегрируя, получим:

v = u ln M + C

(98)

Постоянную	интегрирования С определим из	условий для начала активного участка	, когда
M = M0 ,а	v = v0 . Тогда:
Подставив в (98) найденное значение постоянной интегрирования, получаем:
	C = v0	+ u ln M0	(99)

Таким образом, в любой точке активного участка траектории можно определить скорость ракеты v,

v = v0

+ u ln

(100)

зная её массу в этот момент. Отметим, что начальная масса ракеты состоит из массы корпуса

массы топлива

, содержащегося в нём:

. В конце активного участка топливо полностью

сгорает, и масса ракеты определяется только массой её корпуса.

Тогда скорость ракеты в конце активного участка траектории равна:

v = v

+ u ln 1+

= v

+ u ln(1+ z)

(101)

Анализ полученного соотношения позволяет указать пути повышения скорости ракеты.

6.4. Второе соотношение Циолковского.

Второе соотношение Циолковского определяет максимально возможный к.п.д. ракетного двигателя. По-прежнему считаем, что ракета движется вне силовых полей, а относительная скорость продуктов сгорания топлива постоянна. Кроме того, полагаем, что потерями на нагрев корпуса ракеты и на излучение можно пренебречь. При таких предположениях работа двигателя определяется изменением кинетической энергии системы «ракета ― отделившиеся продукты сгорания топлива». При этом

полезная работа A1	определяется изменением кинетической энергии только корпуса ракеты, а вся
затраченная работа A2	― изменением кинетической энергии всей системы.

Положим, что в момент времени t масса ракеты была М, а скорость её ν. В момент времени t+dt система состояла из одного тела массой M+dM, двигавшегося со скоростью

ν+dν, и отделившихся продуктов сгорания массы –dM, двигавшихся со скоростью v1 .

Полная работа, совершённая двигателем за промежуток времени dt, равна:

dA2	=	1	[(M + dM )(v + dv)2 − dMv12 − Mv2 ]	(102)

	2

Пренебрегая величинами второго и третьего порядка малости, получим:

	1	2	2
dA2 =		[2Mvdv − dM (v1	− v )]	(103)
	2

Абсолютная скорость продуктов сгорания топлива связана с относительной соотношением:

v1 = v − u

С учётом этого:

dA2 =	1	[2Mvdv − dMu	2	+ 2vudM ]	(104)
	2

Используя соотношение Циолковского и полагая в нём, что скорость ракеты в начале активного участка траектории равна нулю, последнее соотношение приведём к одной переменной:

dA2 =

− 2Mu2 ln

− dMu

+ 2u2

= −

(105)

Интегрируя это равенство в пределах изменения массы ракеты (от

до

), получим значение

полной работы, совершённой двигателем:

M mu

(106)

∫

A2 =

dA2

= − (Mk

− M0 ) =

Полезная работа, совершённая двигателем за промежуток времени dt, равна:

(107)

dM − 2u2 ln

Используя 1-е соотношение Циолковского, последнее равенство можно записать в виде:

	1	2	2	1	2
dA1 =		[(M + dM )(v + dv )− Mv ]=			[2Mvdv + dMv ]	(108)
	2			2

Это дифференциальное выражение удобно интегрировать методом интегрирования «по частям»,

согласно которому:	b	b	(109)
	∫ XdY = XY	− ∫YdX

Полезная работа на всём активном участке траектории равна:

u2 Mk

∫

dM − u2

∫

2 M

Первый из интегралов интегрируем «по частям», полагая:

X = ln

, dY = dM

Тогда:

Y = M , dX = −2ln

Согласно (109):

Подставив это значение в (110) получим:

A =

+ u2

∫

dM − u2

∫

dM =

По определению коэффициент полезного действия ракетного двигателя равен:

(110)

(111)

(112)

η =

(113)

Учитывая, что

, запишем окончательный вид второго соотношения

Циолковского:	[ln(1+ z)]
η =	[ln(1+ z)]	(114)
	2

6.5. Линейный режим работы ракетного двигателя.

При линейном режиме работы ракетного двигателя масса ракеты уменьшается со временем по линейному закону:

M = M0 (1−αt)

(115)

где α определяет скорость сгорания топлива. При таком режиме массовый расход равен:

µ =	dM	= −αM		(116)
			0
	dt

т.е. со временем массовый расход не изменяется. Уравнение Мещерского при отсутствии внешних сил имеет вид:


	M	dv	= −αM			0u		(117)
	M		= −αM			0u		(117)
		dt
Очевидно, что реактивная сила				со временем не изменяется. В то же время ускорение
ракеты возрастает по закону:		R					αu

		a =			= −			(118)
		a =		M	= −		1−αt	(118)

Таким образом, при линейном режиме реактивная сила постоянна, а ускорение ракеты и, соответственно, силы инерции, действующие на тела в корпусе ракеты со временем возрастают.

6.6. Показательный режим работы ракетного двигателя.

При показательном режиме масса ракеты со временем изменяется по закону:

(119)

где: α - положительная постоянная. При этом режиме массовый расход со временем уменьшается:

(120)

Уравнение Мещерского при отсутствии внешних сил:

(121)

т.е. ускорение ракеты постоянно. Следовательно, при показательном режиме работы двигателя массовый расход топлива со

временем уменьшается, а ускорение ракеты и силы инерции, действующие на тела в ее корпусе, остаются постоянными.

6.7. Вертикальный старт одноступенчатой ракеты.

Ракета, двигатель которой работает по показательному закону, стартует с Земли по нормали к ее поверхности. Высоту подъема ракеты считаем настолько малой, что изменением ускорения свободного падения при подъеме ракеты можно пренебречь. Уравнение Мещерского в векторном виде:

Учитывая закон изменения массы, уравнение Мещерского в проекции на направление движения записывается в форме:

(123)

т.е. ускорение ракеты постоянно.

При таком ускорении скорость ракеты на активном участке равна:

(124)

а пройденный путь:

(125)

Из закона изменения массы можно определить время работы двигателя:

(126)

Следовательно, длина активного участка траекторий равна:

(127)

а скорость ракеты в конце активного участка –

За счет кинетической энергии ракета повышается при неработающем двигателе на дополнительную высоту:

Как видно, максимальная высота подъема ракеты Н = зависит от режима расхода топлива (коэффициента α). Определим значение α, при котором ракета поднимается на максимальную высоту.

(130)

откуда следует, что α → ∞.

Таким образом, ракета поднимается на максимальную высоту при мгновенном (α → ∞) сгорании топлива.

7. Инерциальные системы отсчета.

7.1.Относительность механического движения.

Покой и движение тел относительны и определяются выбором тела отсчета (системы отсчета). Например, сидящий в вагоне движущегося поезда пассажир покоится относительно вагона и движется относительно полотна дороги.

Абсолютным называется движение тела относительно системы, условно принятой за неподвижную.

Система, совершающая движение относительно неподвижной системы, называется движущейся или подвижной.

Относительным называется движение тела относительно подвижной системы. Переносным называется движение подвижной системы относительно неподвижной. Пусть положение т. А определено в двух системах отсчета: неподвижной OXYZ и подвижной O'X'Y'Z'

		′A , а

неподвижной системе положение т. А определяются радиус-вектором rA в подвижной –	r
положение начала подвижной системны относительно неподвижной определяются вектором r0.

Как видно из рисунка, связь между радиус-векторами rA и r′A , определяющими положение точки в обеих системах отсчета выражается соотношением:

(131)

Легко видеть, что аналогично связаны и векторы скорости в этих системах (абсолютная и относительная):

(132) Но для вектора ускорения при произвольном движении тела и подвижной системы эта связь оказывается более сложной.

Если подвижная система наряду с поступательным совершает и вращательное движение, а тело движется относительно нее, в относительном и переносном ускорениях появляется дополнительный член, одинаковый и для относительного, и для переносного ускорения, обусловленный движением тела во вращающейся системе отсчета. Это происходит даже при равномерном движении тела относительно подвижной системы. Следовательно, с точки зрения наблюдателя подвижного, нарушается основной закон динамики (т.е. подвижная система не попадает в круг систем, определенный первым законом Ньютона).

Системы, в которых выполняется законы Ньютона, называют инерциальными. Инерциальные - это такие системы отсчета, в которых ускорение вызывается только действием сил, а сами силы появляется только в результате взаимодействий тел.

Предположим, что две системы отсчета находятся в относительном движении (рис.29).

Если тело С покоится относительно системы А, то оно движется равномерно и прямолинейно относительно подвижной системы, пока к телу отсчета В не приложены

силы. Если же к телу отсчета В приложить силу F , система начнет двигаться ускоренно относительно системы А и, соответственно. тело С относительно нее получит ускорение, хотя на него и не действуют силы. Основной закон динамики нарушается. Поэтому инерциальные системы отсчета связаны только со свободными телами отсчета.

7.2. Галилеевы преобразования координат и закон сложения скоростей.

Предположим, что одна из систем отсчета неподвижна, а другая - движется относительно первой с постоянной скоростью, так что оси ОХ,O’Х' и OY ,0'Y' остается

параллельными, а ось 0'Y' скользит вдоль OY со скоростью ν	0 (рис.30).

Положение т. А можно задать векторным и координатным способами в обеих системах отсчета. Будем считать, что в исходный момент времени системы полностью совпадают. Тогда к моменту времени t, измеренному в неподвижной системе, подвижная

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2016803.88 Кб12Lektsii_DU_prof_Gromak__chast_2.pdf
#
03.09.2019105.98 Кб16Lektsii_IGiPZS.docx
#
23.11.2019483.84 Кб85Lektsii_IGPB.doc
#
29.02.2016383.97 Кб160Lektsii_Laguna.docx
#
01.03.201623.1 Mб12Lektsii_Levakova_po_matanalizu.pdf
#
29.02.20161.41 Mб6Lektsii_Mekhanika_Ch_1.pdf
#
29.02.2016728.03 Кб5Lektsii_Mekhanika_Ch_2.pdf
#
29.02.20162.06 Mб6Lektsii_Mekhanika_Ch_3.pdf
#
16.04.20191.14 Mб1Lektsii_Nalogi_i_nalogooblozhenie-_2011.doc
#
22.11.201992.2 Кб3LEKTsII_Nemetskaya_klassicheskaya_filosofia_Fil...docx
#
15.08.2019113.83 Кб8Lektsii_Osnovy_ekologii_i_energosberezheni.docx