P2

интегральное.

Преобразование Фурье(ПФ):

( ) =

1

∫+∞ ,

=

1

−∞ < < +∞

2

2

−∞

2

Обратное преобразование:

( ) =

1

∫+∞ −

=

( 1) −∞ < < +∞

2

2

−∞

1

Cos ПФ: ( ) =

2

∫+∞

=

1

0 ≤ < +∞

2

с

0

с

2

+

∫∞

Обратное:

=

2

cos

=

( 1 ) 0 ≤ < +∞

0

с

1

2

+

∫+∞ =

Sin ПФ: ( ) =

2

1

0 ≤ < +∞

2

0

2

+

∫∞

Обратное:

=

2

sin

=

( 1 ) 0 ≤ < +∞

0

1

2

+

=

2

+

+ в +

=

−∞ < < +∞ (0 < < ∞)

(1)

2

( 1)- непрерывно ограниченных

|

=0

= ( )

(2)

0

= 2 +

∩ ( +).

Решим задачу (1-2)методом интегральных преобразований.

Применим ПФ к функции ( , ) по переменной 1, получим:

1

+∞

( , ) =

∫−∞ ,

−∞ < < +∞

2

Применим ПФ к (1):

1

+∞

+∞ 2

+∞

+∞

∫−∞

=

∫−∞

+

∫−∞

+

∫−∞

2

2

2

2

2

1

+∞

=

( , )

Рассмотрим интегралы отдельно:

∫−∞

2

+∞ 2

= −2 ( , ) ;

+∞

= − ( , )

∫−∞

∫−∞

2

2

2

Т.о для (1) получим:

+ 2

+ −

= 0

1

∫+∞

Применив ИП к (2): ( , 0) =

=

( )

2

−∞

Решением этой задачи является: ,

=

(−2− + )

Обратным преобразованием получим ,

= ∫+∞

( ) (−2− + ) =

−∞

2

+∞

( − , ) ,где − ,

=

exp {

− −+

}- фундаментальное

∫−∞

2

4

= 2

2

–однородное уравнение теплопроводности (1)

2

2 Ω ∩ (Ω) удовлетворяет (1),

Теорема: Если ,

то max и min значения она достигает на :

min ,

≤ ,

≤ max ( , )

,

,

= max , ( , ) => 0, 0

= +

Введем функцию ,

= ,

+ ( − ), 0 < <

(2)

0

2

0, 0 = 0, 0

= +

Оценим max , м( , ) ≤ max , г ,

+

= +

=> ( , )также дост-т

2

2

своего max внутри областити Ω в некоторой точке

( 1

, 1)

Рассмотрим различные случаи расположения 1:

( )

2( )

1) <

< 0 <

< – внутри

1

= 0

1

≤ 0

2

1

1

( )

2

( )

2) <

< = – на линии

1

≥ 0

1

≤ 0, вычислим

2

1

производные (2) в т 1:

2

2( )

( )

=

− |

≥ 0

|

≥ > 0

1

=

1

≤ 0 подставляем в (1)-стороны

2

2

1

1

разных знаков – противоречие , аналогично с u= − для min

/доказано

Следствие 1:Пусть функции ( , ), ( , ) 2

Ω

∩ (Ω) и удовлетворяют

1

2

однородному уравнению теплопроводности. Если 1

, ≥ 2 , т

, , то

1 , ≥ 2 , т , Ω

2

Следствие 2: Пусть функции , ,

Ω ∩ (Ω) и удовлетворяют уравнению

1

2

3

теплопроводности. Если 1 ,

≥ 2

,

≥ 3

, т

, , то 1

, ≥

2 , ≥ 3 , т , Ω

Следствие 3:Пусть функции ( , ), ( , ) 2

Ω

∩ (Ω) удовлетворяют

1

2

2

Рассмотрим ЗК:

= 2

+

1 , | =0 =

(2)

2

где

=

1 ;

( , ) 2( +) ( +)

1

0

0

+ = {0 ≤ ≤ , −∞ < < ∞}

1

Решение (1-2) представимо интегралом Пуассона:

1

∫+∞ ( ) −

− 2

, =

4 2

2

−∞

Если

≤ =>

1

∫+∞ −

− 2

=

−

=

2

∫+∞ −2 =

4 2

2

, ≤

=

2

−∞

1

2

−∞

=2

Предположим, что существует 2 решения (1-2): ( 1

, , 2( , )) каждое из них

ограничено:

1 ≤ 1,

2

≤ 2 .

Рассмотрим ,

= 1

, − 2( , ) – удовлетворяет однородному уравнению

теплопроводности

= 2

2

; | =0 = 0

2

, ≤

1 ,

+ 2 ,

≤ 1 + 2 =

Введем ,

=

2

2

+ 2 , > 0. ,

– удовлетворяет однородному

2

2

+

2

2 ,

≤ . А т.к. и удовлетворяют условиям теоремы о

=±

2

принципах max и min и на границе области Ωb при t=0 и x=+-b: ≤ . Расширяя

область Ωb, т.е. → ∞ получим, что → 0 => = 0. Т.е. 1

,

= 2( , ).

Т.е. решение (1-2) единственно.

Покажем зависимость от начальных данных.

Рассмотрим 2 задачи:

= 2

2

;

=

, = 1,2

2

=0

1

− 2

≤ . Тогда

−

1

∫+∞ ( ) −

( ) −

, − , ≤

2

4 2

=

1

2

2

−∞

1