Джерела нагрівання та
.pdfВ.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні
Так само як і в попередньому випадку, співвідношення коефіцієнтів у правій частині цього рівняння виділимо в окрему фізичну величину. По-
значимо її bC і назвемо |
|
|
|
|
|
|
коефіцієнт температуровіддачі поверхні стержня b |
= |
4α |
|
|||
сρD |
||||||
|
|
C |
|
|||
Тоді диференційне рівняння вільного охолодження стержня в повітрі |
||||||
виглядатиме так: |
1 |
dT = −bC dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
T −TC |
|
|
|
Інтегруємо це рівняння відповідно до правил інтегрування, одержимо:
ln( T − TC ) = −bC t + C
Постійну інтегрування C знайдемо з початкових умов (б): при t = 0 , T =Tпоч , тоді постійна інтегрування буде: ln( Tпоч −TC ) = С
Отже, кінцеве рівняння охолодження стержня в повітрі буде:
ln ( T −TС ) = −bС t + ln ( Tпоч −TС )
Після потенціювання (антилогарифм) отримаємо рівняння, яке описує процес вільного охолодження циліндричного стержня в повітрі:
T −TС =( Tпоч −TС )e−bС t
Нагадаємо, що тут:
Tпоч − початкова температура стержня (в момент часу t =0 );
TC − температура оточуючого середовища;
bC − коефіцієнт температуровіддачі поверхні стержня [с − 1], обчислю-
ється із залежності: bС = 4α(cρD),
де: α − коефіцієнт повної поверхневої тепловіддачі; cρ − об’ємна теплоємність матеріалу стержня;
D − діаметр стержня
191
В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні
ПРИКЛАДИ АНАЛІТИЧНИХ РІШЕНЬ ДИФЕРЕНЦІЙНОГО
РІВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ
Миттєве точкове джерело тепла в необмеженому тілі
Нехай в деякій точці необмеженого тіла, яку сумістимо з початком координат (O ) (див. рис.) миттєво виділяється деяка кінцева (і відома) кількість теплоти Q , [Дж]; Необхідно знайти приріст температури, який ви-
кличе ця виділена теплота в деякій точці A з відомими відносно джерела тепла координатами ( x, y,z ) через деякий час t після того, як виділилось тепло в точці O . При цьому відомо, що роз-
повсюдження теплоти в тілі описується диференційним рівнянням теплопровідності:
|
∂2T |
+ |
∂2T |
+ |
∂2T |
|
= cρ |
∂T |
|||
λ |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
; |
|||
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
|
∂t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
всі складові цього рівняння були докладно описані вище. Приймемо також наступні передумови:
−джерело тепла нерухоме, час його дії tд нескінченно малий tд → 0 ,
але час розповсюдження теплоти в тілі − необмежений: t → ∞ ;
−тіло нескінченне і анізотропне (всі властивості в усі сторони однакові);
−теплообміну на границях тіла немає, тобто він не впливає на теплопередачу в тілі;
−початкова температура всіх точок тіла однакова і відома T0 ;
−теплофізичні коефіцієнти λ, cρ, a ) не залежать від температури
λ, cρ, a = const .
Вирішити диференційне рівняння − це означає знайти таку функцію (для даного випадку залежність температури від змінних параметрів
192
В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні
x, y, z, t ): T = f (x, y, z, t ), частинні похідні якої другого порядку по осях координат x, y, z ; і першого порядку по часу t після підстановки у дифе-
ренційне рівняння забезпечать рівність його лівої і правої частин.
Таку функцію справді можливо віднайти (Д. Розенталь, М.М. Рикалін) і при виконанні всіх наведених вище передумов і при умові суміщення початку координат з точкою дії миттєвого джерела тепла, рішенням диференційного рівняння теплопровідності буде залежність:
|
|
|
Q |
|
− |
R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
DT = |
|
|
× e 4at |
|
(М1) |
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
cr(4pat )3 2 |
|
|
||||
де: |
T - приріст температури |
в точці з координатами ( x, y, z ) |
|||||||
( |
T = T −T0 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
cρ - об’ємна теплоємність; |
λ - теплопровідність; |
|
a - температуропровідність: a = λ ; cr
t - час, який обчислюється з моменту виділення тепла;
R - радіус-вектор точки, для якої знаходиться температура,
відносно точки виділення тепла: R2 = x2 + y2 + z2 .
Доводиться справедливість залежності (М1) для описаного випадку методом від противного: беруться похідні другого порядку по осях координат x , y ,z і похідна першого порядку по часу t , після чого отримані за-
лежності підставляються в диференційне рівняння теплопровідності і ви-
являється, що його ліва частина не суперечить правій - вони рівні. Математично це процедура досить громіздка, але всякий, хто її виконає, може пересвідчитись в правильності.
Таким чином, залежність (М1) описує температурне поле в необмеженому тілі при дії в ньому миттєвого точкового джерела тепла.
193
В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні
Дослідимо її:
Права частина рівняння (М1) є добуток двох співмножників:
перший співмножник характеризує температуру в точці внесення теп-
|
|
|
− |
R 2 |
|
|
|
Q |
|||
|
|
|
|
|
= e0 |
=1, тоді: |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
ла O : при умові R = 0 експонента e 4at |
T = |
|
|
||||||||
cρ(4πat )3 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
− |
R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
другий співмножник ( e |
4at ) характеризує в більшій мірі залежність |
||||||||||
|
|||||||||||
температури від відстані до точки внесення тепла. |
|
|
|
||||||||
Ізотерми такого температурного поля являють собою сферичні пове- |
|||||||||||
рхні з центром в точці O . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ізохрони T = f (x) або |
|
T = f (y), |
або |
T = f (z), |
або в будь-якому |
іншому напрямку, в деякі фіксовані моменти часу t =const , являють поді-
бні між собою плавно затухаючі криві, нахил яких поступово зменшується із збільшенням часу t (див. рис. нижче, а).
Термічні цикли T = f (t ) при x, y,z = const відповідають фізичній мо-
делі процесу: температури точок тіла спочатку швидко зростають, потім плавно спадають (див. рис. нижче, б).
Термічні цикли являють собою експоненціальні криві з чітко вираженим максимумом.
Максимальні температури
Максимальний приріст температури Tm в деякій точці тіла з заданим
194
В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні
відносно джерела тепла радіусом-вектором R і час настання цієї максимальної температури tm (див. рис. нижче, б) можна знайти відповідно до правил визначення екстремуму функції: похідна в точці екстремуму повинна дорівнювати нулю.
Візьмемо похідну по часі ∂T ∂t залежності (М1) і прирівняємо її до нуля не забуваючи, що вираз (М1) є добуток двох функцій. Позначимо їх:
|
y = |
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
і |
|
q = e−R |
2 |
4at , |
|
|
тоді: DT = y ×q |
||||||||||||||||||||
|
cr(4pat)3 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
і, відповідно: |
¶(DT )= |
¶(y × q)= y |
¶q + q |
¶y ; |
|
знайдемо цю похідну: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¶t |
|
|
|
|
|
|
¶t |
|
|
|
|
|
|
¶t |
|
|
|
|
¶t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
¶(DT ) |
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
−R |
2 4at |
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
e |
|
|
|
|
|
|
× |
|
- |
|
|
|
- |
|
|
|
+ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
¶t |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
cr 4pat |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
−R 2 |
4at |
|
|
|
|
Q |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
+ e |
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
3 2 |
2 |
t |
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cr |
4pa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
після винесення за дужки подібних елементів буде:
¶(DT ) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q |
|
|
−R |
|
R |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
4at |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= |
|
|
× e |
|
|
|
|
|
- |
|
× |
|
|
|
; |
||
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
¶t |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
t |
|
|||||
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
cr 4pat |
|
|
|
|
4at |
|
|
|
|
|
|
|
|
Неважко бачити, що вираз у фігурних дужках є не що інше, як само рівняння (М1), тобто значення приросту температури. Тепер поза дужки винесемо ще й вираз 1t , тоді пошукувана похідна буде:
¶ (DT ) |
|
DT |
R 2 |
|
3 |
|
|
|
= |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
||||
¶t |
|
t |
|
4at |
|
2 |
|
|
|
|
|
В точці екстремуму похідна повинна бути рівна нулю. Останній, щой-
но отриманий, вираз похідної може бути рівний нулю ( ∂( T ) = 0 ) при од-
¶t
ній з трьох умов:
195
В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні
1)T = 0 - означає, що теплота в тілі не розповсюджується - це не відповідає дійсній початковій умові і тому повинно бути відкинуто;
2)t → ∞ − означає, що все тепло уже рівномірно розповсюдилось в тілі − це теж не відповідає дійсній початковій умові і теж повинно бути відкинуто;
3)R2 − 3 = 0 − для означених умов має фізичний зміст і тому пови- 4at 2
нно бути проаналізовано докладніше, як єдине дійсне для точки екстремуму.
З рівності (3) тепер можна знайти час настання максимальної темпе- ратури при дії миттєвого точкового джерела тепла в необмеженому тілі:
tm = R2
6a
Підставляючи цей вираз часу настання максимуму в залежність (М1) знайдемо й відповідний йому максимальний досягнутий термічним циклом в точці з радіусом-вектором відносно джерела тепла R приріст температури:
|
3 |
|
Q |
|
|
|
|
DT = |
× |
, де: R = x2 + y2 + z2 , |
|||||
|
|
||||||
m |
2 |
|
pe3 2 × cr × R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, y,z - координати точки відносно джерела тепла;
е – основа натуральних логарифмів, е » 2,718282.
Миттєве лінійне джерело тепла в необмеженому тілі
Нехай в необмеженому тілі вздовж деякої лінії L (див. рис. нижче) миттєво виділяється деяка кількість теплоти. Лінія ця нескінчена, як і тіло, і кількість теплоти, яка виділяється вздовж неї виходить теж нескінченно велика, але будемо вважати відомим, що на кожній одиниці довжини цієї лінії виділяється деяка кінцева кількість теплоти. Назвемо цю величину ін-
196
В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні
тенсивність тепловиділення і позначимо Q1 , [Дж/м]. Відповідно, для умов необмеженого тіла буде:
Q = lim |
Q |
при Q → ∞ |
|
||
1 |
L |
L → ∞ |
|
де: Q − загальна кількість теплоти, яка миттєво виділяється вздовж лінії L ;
L − довжина лінії тепловиділення.
Таким чином, тепловкладення в одиницю довжини лінії джерела тепла є величина постійна: Q1 = const і
будемо вважати цю величину відомою: Q1 .
Необхідно знайти приріст температури, який викличе ця виділена теплота, інтенсивністю Q1 , в деякій точці A з відомими відносно джерела тепла координатами ( x, y ) через деякий час t після того, як виділилось те-
пло вздовж лінії L .
Для початку розташуємо координатні осі таким чином, щоб вісь OZ співпадала з лінією виділення тепла L , а координатна площина XOY захоплювала точку A , для якої знаходиться температура. Це дасть змогу використати частинний випадок диференційного рівняння теплопровідності
− плоске температурне поле, при якому: |
|
|
∂Т = 0 і |
∂2T |
= 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ z |
|
∂ z 2 |
|
Тоді диференційне рівняння теплопровідності приймає дещо спроще- |
|||||||||||
ний вигляд: |
|
∂2T |
+ |
∂2T |
|
= cρ |
∂T |
|
|
||
λ |
|
2 |
|
2 |
|
; |
|
|
|||
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
∂t |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
всі складові цього рівняння були докладно описані вище. Приймемо також подібні до попереднього наступні передумови:
197
В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні
−джерело тепла (лінія) нерухоме, час його дії tд нескінченно малий: tд ® 0 , але час розповсюдження теплоти в тілі − необ-
межений: t → ∞ ;
−тіло нескінченне і анізотропне (всі властивості в усі сторони однакові);
−теплообміну на границях тіла немає, тобто він не впливає на теплопередачу в тілі;
−початкова температура всіх точок тіла однакова і відома T0 ;
−теплофізичні властивості матеріалу тіла ( λ, cρ, a ) не залежать
від температури ( λ, cρ, a = const ).
Вирішити диференційне рівняння – означає знайти таку функцію (залежність температури від змінних параметрів): T = f (x, y, z, t ), частинні похідні якої, другого порядку по осях координат x, y і першого порядку по часу t , після підстановки у диференційне рівняння забезпечать рівність його лівої і правої частин. (Вісь z співпадає з лінією тепловиділення L і через це від значення координати z приріст температури не залежить: паралельно лінії L на рівних відстанях від неї температури (прирости температур) однакові.
Таку залежність теж було встановлено свого часу і при виконанні всіх наведених вище передумов та ще й при умові суміщення початку координат з лінією дії миттєвого джерела тепла, рішення диференційного рівняння теплопровідності в площині XOY для даного випадку буде мати ви-
|
|
|
Q1 |
|
|
− |
R 2 |
|
|
|
гляд: |
|
DT = |
× e |
4at |
(М2) |
|||||
|
|
|
||||||||
|
cr(4pat ) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де: |
T − приріст температури (T −T0 ) в точці з координатами ( x, y ); |
|||||||||
|
cρ − об’ємна теплоємність; |
|
198
В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні
a − температуропровідність: a = λ , тут λ − теплопровідність;
сρ
t − час, який обчислюється з моменту виділення тепла;
R − радіус-вектор точки, для якої знаходиться температура відно-
сно лінії виділення тепла: R2 = x2 + y 2
Доводиться справедливість залежності (М2) для описаного випадку методом від противного: беруться похідні другого порядку по осях координат і похідна першого порядку по часу t , після чого отримані залежності підставляються в диференційне рівняння теплопровідності (в його частковий випадок для плоского температурного поля) і виявляється, що його лі-
ва частина не суперечить правій − вони рівні.
Таким чином, залежність (М2) описує температурне поле в необмеженому тілі при дії в ньому миттєвого лінійного джерела тепла. Дослідимо її:
Права частина рівняння є добуток двох співмножників:
перший співмножник характеризує температуру в лінії внесення тепла L :
|
|
− |
|
R2 |
|
Q1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
при R = 0 |
e 4at =1, тоді: |
T = |
||||||||
cρ(4πat ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
− |
R 2 |
|
|
|
|
|
|
||
другий співмножник ( e |
4at ) характеризує в більшій мірі залежність |
|||||||||
|
температури від відстані до лінії внесення тепла.
Ізотерми такого температурного поля являють собою циліндричні поверхні з осьовою лінією OZ (L).
Ізохрони ( T = f (x) або T = f (y)) в деякі фіксовані моменти часу
( t = const ) являють собою плавно затухаючі криві, нахил яких поступово зменшується із збільшенням часу t (див. рис. нижче: (а, б)). Ізохрони по напрямках, паралельних осі OZ , являють собою горизонтальні лінії (див. там же, (в)). На однакових відстанях від осі OZ температури однакові для
199
В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні
будь-якого моменту часу, що витікає із самої суті початкових передумов: лінія джерела тепла співпадає з віссю OZ .
Термічні цикли ( T = f (t ) при x, y = const ) див. на рисунку нижче (г).
Максимальну температуру термічного циклу та час її настання знаходять аналогічно до попереднього з умови екстремуму – рівність нулю по-
хідної в точці екстремуму: ∂T ∂t = 0 .
Виконавши з рівнянням (М2) дії, аналогічні описаним у попередньому випадку для миттєвого точкового джерела тепла, отримаємо значення часу настання максимальної температури у випадку дії миттєвого лінійного
джерела тепла в необмеженому тілі: tm = R2
4a
Підставляючи це значення часу в рівняння (М2) отримаємо максимальний приріст температури в заданій точці A(x, y):
DT = |
Q1 |
|
, де: R2 = x2 + y2 |
|
|
||
m |
pe × cr × R |
2 |
|
|
|
е – основа натуральних логарифмів, е » 2,718282.
200