496421001292597074матем

Тема: Кореляція та регресія

Матеріали та обладнання: ЕОМ, пакет програми «Сигма», вихідні дані

для розрахунку.

Загальні відомості

В дослідженнях рідко приходиться мати справу із точними і визначеними функціональними зв’язками, коли кожному значенню ознаки Х відповідає не одне, а декілька можливих значень ознаки У, тобто їх розподіл. Такі зв’язки називають кореляційними.

Для вимірювання тісноти та форми зв’язку використовують спеціальні статистичні методи: кореляцію та регресію.

По формі кореляція може бути лінійною і криволінійною, за напрямком

– прямою і зворотною. Лінійна кореляція і регресія ознаки У на ознаку Х показує, як змінюється в середньому величина У при зміні величини Х. Якщо при збільшені ознаки Х величина У в середньому збільшується, то кореляція і регресія називається позитивною або прямою, а якщо із збільшенням ознаки Х значення ознаки У зменшується то кореляцію і регресію називають негативною або зворотною. Кореляцію і регресію називають простою, якщо вивчається зв'язок між двома ознаками, і множиною, якщо вивчається залежність між трьома і більше ознаками.

Числовий показник простої лінійної кореляції, який вказує на силу та напрямок зв’язку Х із У називається коефіцієнтом кореляції. Ця величина немає одиниць вимірювання, змінюється в межах від – 1 до + 1. Коефіцієнт кореляції розраховують за формулою:

Якщо коефіцієнт кореляції менше 0,3, то кореляційна залежність між ознаками слабка. Якщо він знаходиться в межах від 0,3 до 0,7, то кореляційна залежність середня, а якщо більше 0,7 – сильна.

Коли коефіцієнт кореляції дорівнює нулю то між ознаками Х і У немає лінійного зв’язку, але криволінійна залежність може існувати.

Число, яке показує. в якому напрямку та на яку величину в середньо - му ознака У змінюється при зміні ознаки Х на одиницю вимірювання називається коефіцієнтом регресії. Коефіцієнт регресії розраховують за форму-

лою:

вух = (Х-х)(У-у)/ (Х-х)2

Для оцінки надійності коефіцієнта кореляції вираховують його похибку та критерій достовірності.

Похибка коефіцієнта кореляції:

Sr = 1-r2/n-2,

де: r – коефіцієнт кореляції;

n-2 – число ступенів свободи.

Критерій достовірності коефіцієнта кореляції: tr = r/Sr,

де: Sr – похибка коефіцієнта кореляції

Якщо trф>trт, то кореляційний зв'язок суттєвий, а коли trф<trт – то не суттєвий

Кореляційний та регресійний аналіз

Хід роботи Потрібно встановити зв'язок між ознаками Х (відносна вологість грун-

ту) та У (липкість) Результати спостережень

(Х-х)2 = Х2-( Х )2/n = 11608,57-(260,9)2/6 = 355,77

(У-у)2 = У2-( У )2/n = 38,47-(14,5)2/6 = 3,43

(Х-х)(У-у) = ХУ-( Х У )/n = 657,91-(260,9x14,5)/6 = 27,4

Коефіцієнт кореляції: r = 27,4/ 355,77x3,43 = 0,78

Коефіцієнт регресії:

вух = 27,4/355,77 = 0,08

Похибка коефіцієнта кореляції: Sr = 1-0,782/6-2 = 0,31

Критерій достовірності коефіцієнта кореляції: trф = 0,78/0,31 = 2,44

trт05 = 0,811

Висновок: кореляційна залежність між ознаками сильна, кореляційний зв'язок суттєвий так, як trф>trт.

Контрольні запитання Для закріплення теми студенти виконують завдання

Лабораторна №13 Тема:

Визначення коефіцієнта множинної лінійної кореляції

Основні відомості.

Множинний коефіцієнт кореляції трьох змінних – це показник тісного лінійного зв’язку між однією із ознак і сукупністю двох інших ознак.

Розраховується за формулою:

Ryzx=r2xy+ryz2 – 2ryx*rxz*ryz/1 – r2xz

Ця формула дозволяє розраховувати множинний коефіцієнт кореляції при відомих значеннях парних коефіцієнтів кореляції rxy , rxz і ryz.

Коефіцієнт R не може бути від’ємним і завжди знаходиться в межах від 0 до 1. При наближення R до одиниці ступінь лінійного зв’язку трьох ознак збільшується.. Між коефіцієнтом множинної кореляції Ryxz і двома коефіцієнтами парної кореляції ryx і ryz існує наступне співвідношення: кожен

зпарних коефіцієнтів не може перевищувати по абсолютній величині Ryxz/ Квадрат коефіцієнта множинної кореляції R2 називають коефіцієнтом

множинної детермінації. Він показує частку варіації залежної змінної під впливом досліджуваних факторів.

Значення множинної кореляції оцінюють по F – критерію (критерій істотності)

де n – об’єм вибірки; k – число ознак.

Теоретичне значення F – критерію беруть з таблиці, для V1=K-1 V2=n-K ступенів свободи і працюючого рівня значимості. Нульова гіпотеза про рівність множинного коефіцієнта кореляції в сукупності нулю приймається, і якщо Fср< Fт, і відхиляється, якщо Fср Fт