Поскольку угол α для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до π, то, согласно (3) и (4),

Значит, магнитная индукция поля прямого тока

(5)

10.5.1. Магнитное поле прямолинейного проводника с током

По прямому проводнику конечных размеров течёт ток I в указанном на рис. 10.9 направлении. Найдём магнитную индукцию поля этого тока в т. А, отстоящей от проводника на расстоянии . Выделим элемент длины проводника dl. Согласно закону Био-Савара-Лапласа в т. А магнитная индукция

Вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам. Аналогично будут направлены элементарные индукции от других элементов тока. Поэтому сложение век­торов можно заменить сложением их модулей, т.е. для отыскания результирующей магнитной индукции поля в т. А можно геометрическую сумму заменить алгебраической или в пределе интегралом

В качестве постоянной интегрирования выберем угол . Разделим на , и получим ,

откуда .

Формула (10.14) определяет магнитную индукцию поля прямого проводника конечных размеров.

сли проводник бесконечно длинный, то для него . Значит , , тогда

68. Вихревой характер магнитного поля. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Остроградского-Гаусса в интегральной и дифференциальной формах для магнитного поля. Магнитный поток соленоида, находящегося в вакууме.

Вихревой характер магнитного поля

Линии магнитной индукции непрерывны: они не имеют ни начала, ни конца. Это имеет место для любого магнитного поля, вызванного какими угодно контурами с током. Векторные поля, обладающие непрерывными линиями, получили название вихревых полей. Мы видим, что магнитное поле есть вихревое поле. В этом заключается существенное отличие магнитного поля от электростатического.

Это теорема Гаусса для (в интегральной форме): поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю:

. – теорема Гаусса.

Используя теорему Остроградского , получаем теорему

Гаусса для вектора в дифференциальной форме:

________________________________________________________________

Найдем с помощью теоремы о циркуляции, индукцию магнитного поля внутри соленоида. Рассмотрим соленоид длиной l, который имеет N витков, и по которому течет ток (рис. 1). Будем считать длину соленоида во много раз больше, чем диаметр его витков. Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида (см. главу "магнитное поле и его характеристики") показывает, что внутри соленоида поле однородно, вне соленоида — неоднородно и практически отсутствует.

На рис. 1 даны линии магнитной индукции внутри и вне соленоида. Чем соленоид длиннее, тем магнитная индукция вне его меньше. Поэтому приближенно можно полагать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а поле соленоида можно не учитывать. Для вычисления магнитной индукции В выберем замкнутый прямоугольный контур ABCDA, как показано на рис. 1. Циркуляция вектора Впо замкнутому контуру ABCDA, который охватывает все N витков, используя формулу циркуляции вектора В, будет

Интеграл по ABCDA можно разложить на четыре интеграла: по АВ, ВС, CD и DA. На участках АВ и CD контур и линии магнитной индукции перпендикулярны: Bl=0. На участке вне соленоида B=0. На участке DA циркуляция вектора В равна Вl (контур и линии магнитной индукции совпадают); значит,

(1)

Из (1) приходим к формуле магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме):

(2)