0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat
.pdfтоді точність обчислення значення функції f (x0 ) обмежена значенням су-
∞
ми ряду ∑ an
n=1
, тобто
∞
r(x0 ) ≤ ∑ an .
n=1
2.8.2. Наближене обчислення визначених інтегралів
b
Нехай потрібно обчислити визначений інтеграл ∫ f (x)dx , причому пер-
a
вісна F(x) не виражається через елементарні функції або її важко знайти.
Уцьому разі виконують такі дії:
1)задають точність обчислення ε > 0 ;
2)розкладають підінтегральну функцію f (x) у степеневий ряд (ряд
Маклорена);
3) якщо проміжок інтегрування [a; b] належить інтервалу збіжності (−R; R) , то далі користуються властивістю про почленне інтегрування
степеневого ряду.
Похибку обчислень визначають так само, як і при обчисленні значень функцій.
2.8.3. Наближене розв’язання диференціальних рівнянь
Якщо інтегрування диференціального рівняння не зводиться до квадратур, тобто розв’язок не виражається через елементарні функції, або ж інтегрування рівняння ускладнене, то застосовують наближене розв’язання диференціального рівняння за допомогою ряду Тейлора.
Нехай треба розв’язати задачу Коші, тобто знайти частинний розв’язок рівняння
|
|
|
|
|
y′ = f (x, |
y) , |
|
|
|
(1.18) |
|
який задовольняє початкову умову y(x0 ) = y0 . |
|
|
|
||||||||
Розв’язок рівняння шукаємо у вигляді ряду Тейлора |
|
|
|||||||||
|
|
y′(x ) |
|
y′′(x ) |
|
|
|
y(n) |
(x ) |
(x − x )n + ..., |
|
y = y(x |
) + |
|
0 |
(x − x ) + |
0 |
(x − x )2 |
+ ... + |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
1! |
|
0 |
2! |
|
0 |
|
n! |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
де доданок |
y(x0 ) = y0 заданий початковою умовою, |
а інші коефіцієнти |
|||||||||
y′(x ), y′′(x ), ..., |
y(n) (x ),... |
підлягають визначенню. |
Підставивши у ди- |
||||||||
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
x = x0 , y = y0 , |
визначимо коефіці- |
|||
ференціальне рівняння (1.18) значення |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
єнт y′(x0 ), тобто y′(x0 ) = f (x0 , y0 ). Щоб знайти коефіцієнт y′′(x0 ) , диференціюємо обидві частини рівняння за змінною x : ( y′)′ = ( f (x, y))′ , звідси
y′′ = f1 (x, y, y′) . Підставивши у праву частину одержаного рівняння значення x = x0 , y = y0 , y′ = y′(x0 ) , дістанемо значення y′′(x0 ) . Продовжуючи процес диференціювання і підстановки у праву частину одержаних рівнянь відомих уже значень, дістають коефіцієнти y′′′(x0 ), y(4) (x0 ) і т. д. Ряд
Тейлора із визначеними коефіцієнтами є частинним розв’язком рівняння (1.18) для тих значень x , при яких він збігається. Частинна сума цього ряду буде наближеним розв’язком заданої задачі Коші.
Зауваження.
1. Розглянутий метод послідовного наближення застосовний для роз- в’язання диференціальних рівнянь довільного порядку.
2. Питання про похибку наближеного розв’язку диференціального рівняння ми не розглядаємо.
Т.2 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ
Знайдіть область збіжності функціональних рядів.
∞1
1.∑ 2 + x−1 .n=1 x
n
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
Розв’язання. Оскільки узагальнений гармонічний ряд ∑ |
збіжний |
||||||
p |
|||||||
для |
p > 1 , то область збіжності заданого |
n=1 n |
|||||
ряду визначаємо |
з нерівності |
||||||
x2 + x −1 > 1, звідки дістаємо x2 + x − 2 > 0, |
x (−∞; − 2) (1; ∞). |
||||||
|
∞ |
|
|
|
|||
2. |
∑ |
n |
. |
|
|
|
|
nx |
|
|
|
||||
|
n=1 2 |
|
|
|
Розв’язання. Ряд визначений для будь-якого дійсного x , причому незалежно від x члени цього ряду додатні. Застосуємо ознаку Д’Аламбера:
l(x) = lim |
n + 1 |
|
2nx |
= |
1 |
lim |
n + 1 |
= |
1 |
. |
|
|
n |
2x |
n |
|
|
||||||
n→∞ 2(n+1) x |
|
|
n→∞ |
|
2x |
Оскільки ряд збігається, якщо l(x) < 1 , то розв’язуємо нерівність
1 |
< 1, 2x > 1, |
x > 0. |
|
2x |
|||
|
|
52
При x = 0 виконується умова l(x) = 1 , тому перевіримо в цій точці ряд
∞ |
n |
∞ |
|
на збіжність: ∑ |
=∑ n — розбіжний ряд. |
||
2n 0 |
|||
n=1 |
n=1 |
Отже, область збіжності заданого ряду — інтервал (0; ∞) .
∞1
3.n∑=1 1+ xn .
|
|
Розв’язання. Ряд визначений на всій числовій прямій, крім однієї точ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ки — x = −1. |
Розглянемо випадки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1) |
x = 1 , |
тоді загальний член ряду un = |
|
1 |
|
не прямує до нуля, отже, в |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
цій точці ряд розбіжний; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2) |
−1 < x < 1, тоді lim xn = 0 , |
|
lim |
|
|
|
= 1 ≠ 0 , ряд розбігається; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ xn |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n→∞ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3) |
x (−∞; − 1) (1; ∞) . Покажемо, що у цьому випадку ряд збігається. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Справді, оскільки ряд ∑ |
|
збіжний для |
x, що задовольняють умову |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
< 1, тобто |
|
x |
|
> 1 , і lim |
|
|
1 |
|
|
xn |
|
= lim |
|
|
|
xn |
|
= lim |
|
1 |
|
= 1, то за |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
xn |
|
1+ xn |
|
1 |
+ xn |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
+ 1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
граничною ознакою порівняння заданий ряд збіжний для |
|
|
|
|
|
xn |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
> 1 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Отже, область збіжності вихідного ряду — множина (−∞; − 1) (1; ∞).
Дослідіть на рівномірну збіжність функціональні ряди.
∞ |
|
4. ∑ sin nx . |
|
n=1 |
n3 |
Розв’язання. Ряд визначений для всіх x (−∞; ∞) і є знакозмінним функ-
ціональним рядом. Покажемо, що цей ряд абсолютно і рівномірно збіжний на всій числовій прямій. Застосуємо ознаку Вейєрштрасса. Збіжний
|
|
∞ |
|
|
|
|
||
числовий ряд ∑ |
1 |
є мажорантним для вихідного ряду. Справді, члени |
||||||
|
||||||||
|
n=1 n3 |
|
|
|
|
|||
∞ |
| sin nx | |
|
|
|
|
|
|
|
ряду ∑ |
, який складений із модулів членів вихідного ряду, задово- |
|||||||
|
||||||||
n=1 |
n3 |
| sin nx | |
|
1 |
|
|||
льняють нерівності |
≤ |
( n = 1, 2, …) для всіх x (−∞; ∞) . Отже, |
||||||
n3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
n3 |
за ознакою Вейєрштрасса ряд збігається абсолютно і рівномірно.
53
∞ |
(−1) |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. ∑ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
n + | x | |
|
|
|
|
|
|
|
|||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Розв’язання. Ряд визначений для всіх x (−∞; ∞) |
і є альтерновним фу- |
|||||||||
нкціональним рядом. Оцінимо залишок |
| r | < | u |
n+1 |
|= |
1 |
≤ |
1 |
, при- |
|||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n |
|
n + 1+ | x | |
|
n + 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
чому ця оцінка справджується для всіх x (−∞; ∞) . Нехайε > 0 задано. Потрібно вказати номер N = N(ε), залежний від ε і не залежний від x, що для всіх n > N і для всіх x D виконується нерівність
rn (x) < ε.
Для нашого ряду нерівність |
|
rn (x) |
|
< ε виконується для всіх дійсних x і |
|||||||
|
|
||||||||||
n > N (ε) , де N(ε) = |
1 |
− 1 |
|
(тут [a] ― ціла частина числа a ). Тому ряд збі- |
|||||||
|
|||||||||||
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
гається рівномірно |
для |
всіх x (−∞; ∞) . Проте ця збіжність не є абсо- |
|||||||||
|
|
|
|
n+1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
|
1 |
|
|
|
|||||
лютною, бо ряд ∑ |
|
|
= ∑ |
|
|
є розбіжним (порівняйте його з гар- |
|||||
n + | x | |
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
|
n=1 n + | x | |
|
монічним рядом). Отже, вихіднийрядзбігається рівномірно, аленеабсолютно.
Зауваження. Попередній приклад свідчить про те, що не кожен рівномірно збіжний на деякому проміжку ряд буде абсолютно збіжним на цьому проміжку.
∞
6. ∑ xn , x (−1; 1).
n=1
Розв’язання. Для вказаних x ряд збігається як сума нескінченно спадної геометричної прогресії. Покажемо, що ця збіжність нерівномірна.
Розглянемозалишокряду rn (x) = xn+1 + xn+ 2 + …= |
xn+1 |
ізнайдемограниці |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x |
|
|
lim |
|
r (x) |
|
= lim |
|
xn+1 |
|
= |
1 |
, |
lim |
|
r |
(x) |
|
= lim |
|
xn+1 |
|
= ∞. Якщо задати 0 < ε < 0,5, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→−1 |
|
n |
|
x→−1 |
|
1− x |
|
|
2 |
|
x→1 |
|
n |
|
|
x→1 |
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нерівність | rn (x) |< ε для всіх x (−1; 1) не виконуватиметься, що суперечить означеннюрівномірноїзбіжності. Отже, рядзбігається нерівномірно.
Зауваження. Якщо функціональний ряд, члени якого неперервні на відрізку [a; b] функції, збігається на цьому відрізку до розривної
функції S(x) , то ряд збігається на [a; b] нерівномірно.
54
Знайдіть область збіжності степеневих рядів.
∞ |
(−1)n+1 |
(x − 5) |
n |
|
7. ∑ |
|
. |
||
n 3n |
|
|||
n=1 |
|
|
|
Розв’язання. Ряд є повним степеневим рядом. Тому для нього застосовні формули (1.12), (1.13). Знайдемо радіус збіжності за формулою (1.12). Маємо
|
|
|
|
|
|
(−1)n+1 |
|
|
|
(−1)n+ 2 |
|
|
|
|
||||||
|
a |
n |
= |
|
|
|
, a |
n+1 |
= |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||
|
n 3n |
|
(n + 1) |
3n+1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
R = lim |
an |
|
|
= lim |
(−1)n+1 |
|
(n + 1) 3n+1 |
|
= 3 lim |
n + 1 |
= 3. |
|||||||||
an+1 |
|
|
n |
3n |
|
(−1)n+ 2 |
|
|
n |
|
||||||||||
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначаємо інтервал збіжності: −3 < x − 5 < 3 , 2 < x < 8 . Отже, ряд абсолютно збіжний у внутрішніх точках інтервалу (2; 8).
Залишилося дослідити поведінку ряду на кінцях інтервалу збіжності. Нехай x = 2 , вихідний ряд переходить у розбіжний числовий ряд
∞ |
(−1) |
n |
∞ |
(−1) |
2n+1 |
|
∞ |
1 |
|
||
∑ (−1)n+1 |
|
= ∑ |
|
= −∑ |
. |
||||||
n 3n |
|
n |
|
||||||||
n=1 |
n=1 |
|
n=1 n |
||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
3 |
n |
||
У точці x = 8 ряд набуває вигляду |
∑ (−1)n+1 |
|
|
||||||||
n 3n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
ряд збігається умовно.
Отже, область збіжності ряду — проміжок (2; 8] .
∞
8. ∑ n!(x + 2)n .
n=1
∞ |
(−1) |
n+1 |
|
= ∑ |
|
. Цей |
|
n |
|
||
n=1 |
|
|
Розв’язання. За формулою (1.12) дістаємо
R = lim |
|
an |
= lim |
|
n! |
|
= lim |
n! |
= lim |
1 |
|
= 0 . |
a |
(n + 1)! |
|
|
|
||||||||
n→∞ |
n→∞ |
n→∞ n! (n + 1) |
n→∞ n + 1 |
|
||||||||
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оскільки радіус збіжності дорівнює нулю, то степеневий ряд збігається лише в одній точці — x = −2 .
∞ |
|
n |
n |
2n |
|
||
9. ∑ |
|
|
|
|
x |
|
. |
2n + 1 |
|
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
Розв’язання. Ряд є неповним, оскільки коефіцієнти цього ряду при непарних степенях x дорівнюють нулю. Позначивши x2 = t ≥ 0, дістанемо повний степеневий ряд
55
∞ |
|
n |
n |
n |
|
|
||
∑ |
|
|
|
|
t |
|
, |
(1.19) |
2n + 1 |
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
радіус збіжності якого визначаємо за формулою (1.13):
R = |
1 |
= lim |
|
1 |
|
|
|
= lim |
2n + 1 |
= 2. |
lim n | an | |
|
|
|
|
|
|
||||
|
n→∞ |
n |
|
|
n n→∞ |
n |
||||
|
n→∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + 1 |
|
|
|
|||
Отже, ряд (1.19) збігається для |
t (−2; 2). Враховуючи обмеження |
|||||||||
t ≥ 0 , дістанемо t [0; 2). У точці t = 0 |
ряд (1.19) збіжний. Дослідимо цей |
ряд на правому кінці інтервалу збіжності. Поклавши в (1.19) t = 2, дістанемо числовий ряд
Оскільки lim
n→∞
(1.19) розбігається. нувшись до заміни
∞ |
|
|
|
n n |
|
n |
∞ |
|
|
|
2n n |
|
|
||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
2 |
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
2n + 1 |
|
|||||||||||||||
n=1 |
|
2n + 1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
2n |
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
1 |
|
|
то при t = 2 ряд |
||||||
|
|
|
|
= lim |
1− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
≠ 0, |
||||||
2n + 1 |
|
2n + 1 |
|
|
e |
||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, ряд (1.19) збіжний на інтервалі t [0; 2). Повер- x2 = t, визначимо область збіжності вихідного ряду:
x2 [0; 2), | x |< 2, − 2 < x < 2.
10. ∞ 5n2 xn2 .
∑
n=1
Розв’язання. Ряд є неповним, тому застосування формул (1.12), (1.13) неможливе. За радикальною ознакою Коші маємо
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
якщо 5 |
| x | < 1, |
|
lim n |
5 |
n2 |
x |
n2 |
= lim (5 | x |) |
n |
= |
|
якщо 5 | x | = 1, |
||||
|
|
|
|
1, |
|||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
| x | > 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞, якщо 5 |
|||
Отже, ряд збігається на інтервалі |
− |
|
1 |
; |
1 |
. У кінцевих точках указа- |
|||||||
5 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
ного інтервалу ряд розбігається (переконайтесь у цьому самостійно).
∞
11. Знайдіть суму ряду ∑ nxn−1 ( | x | < 1 ).
n=1
Розв’язання. Потрібно знайти суму
S(x) = 1+ 2x + 3x2 + 4x3 + …+ nxn−1 + … .
56
Розглянемо геометричний ряд 1+ x + x2 + x3 + …+ xn + …, |
він збіжний |
||||||||||||||||||||||||||||||
для | x | < 1 , причому його сума |
S (x) = |
|
1 |
. Скориставшись властивістю |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
про почленне диференціювання степеневого ряду, дістанемо |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
S(x) = (S (x))′ = |
1 |
′ |
= |
1 |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1− x) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
||||||||||
12. Розкладіть у ряд Маклорена функції: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
а) f (x) = ex ; б) g(x) = x2 e2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Розв’язання: а) функція |
|
|
f (x) = ex |
нескінченно диференційовна, при- |
|||||||||||||||||||||||||||
чому ex = (ex )′ = (ex )′′ = …= (ex )(n) для довільного n N , звідси випливає, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
що f (0) = f (0)′ = f (0)′′ = …= f (0)(n) = 1 і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ex |
= |
1+ |
x |
|
+ |
x2 |
|
+ |
x3 |
|
|
|
+ …+ |
xn |
+ … . |
(1.20) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n! |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1! |
2! |
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Знайдемо радіус збіжності цього ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
R = lim |
|
|
an |
|
|
= lim |
|
|
(n + 1)! |
|
|
= lim (n |
+ 1) = ∞, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тобто ряд збігається в інтервалі (−∞; ∞). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Залишилося довести, що lim Rn |
|
|
= 0. Для всіх x (−r; r) , де r — будь- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
яке додатне число, виконуються нерівності |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f (n) (x) |
|
= ex < er = M , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
тому за теоремою 5 lim Rn |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−r; r) (−∞; |
∞), тобто на інтервалі |
||||||||||||||||
Отже, на будь-якому інтервалі |
|
|
(−∞; ∞), функція ex |
розкладається у ряд Маклорена за формулою (1.20); |
||||||||||||||||||||
б) щоб розкласти функцію g(x) |
у ряд Маклорена, достатньо замінити у |
||||||||||||||||||||
формулі (1.20) x на 2x і результат помножити на x2, |
тоді дістанемо |
||||||||||||||||||||
g(x) = x2 e2x |
= x2 |
|
|
2x |
|
|
(2x) |
2 |
|
|
(2x) |
3 |
|
|
(2x) |
n |
|
||||
1 |
+ |
+ |
|
+ |
|
|
+ …+ |
|
|
+ … = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1! |
|
|
|
2! |
|
3! |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= x2 + |
2x3 |
+ |
22 x4 |
+ |
23 x5 |
|
+ …+ |
|
2n xn+ 2 |
|
+ … . |
|
|||||||||
|
|
3! |
|
|
|
n! |
|
||||||||||||||
|
1! |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57 |
Цей ряд збігається до функції g(x) на всій числовій прямій. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. Розкладіть у ряд Тейлора за степенями x − 1 функції: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) f (x) = |
|
1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
б) g(x) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
(x + 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Розв’язання: а) позначимо x − 1 = t, тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
2 |
|
t + 1+ 2 |
3 + t |
3 |
|
+ |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Скориставшись формулою 7 (табл. 1.2), записуємо розвинення |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n t |
|
n |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n tn |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
∑ (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
(−1) |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3n+1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
3 n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
звідки після заміни t |
на x − 1 , дістанемо остаточну відповідь |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
x − 1 |
|
|
|
|
(x − 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
(x − 1) |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
− |
+ |
|
|
|
− …+ (−1)n |
|
|
|
+ …= ∑ |
(−1)n |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n+1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Ця рівність справедлива, якщо |
|
|
|
x − 1 |
|
|
|
< |
1. Звідси −2 < x < 4 ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) оскільки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
, то, |
скориставшись властивістю про |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x + 2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
почленне диференціювання степеневого ряду, дістанемо |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x − 1 |
|
|
(x − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n (x − 1)n |
′ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− …+ (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ … = |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
+1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x + |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= − |
− |
|
1 |
|
|
+ |
|
2(x − 1) |
|
− …+ (−1)n |
n(x − 1)n−1 |
|
+ … |
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
n(x − 1)n−1 |
, x (−2; 4). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
14. Розкладіть у ряд Маклорена функцію |
f (x) = arctg x . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Розв’язання. Замінившиуформулі7 (табл. 1.2) |
x на x2 , |
запишеморівність |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
1− x2 + x4 − x6 + …+ (−1)n x2n + …, x (−1; 1) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скориставшись властивістю про почленне інтегрування степеневого ряду, дістанемо
x |
dt |
|
x |
x |
x |
x |
x |
∫ |
|
= ∫ dt − ∫ t2 dt + ∫ t4 dt − ∫ t6 dt + …+ (−1)n ∫ t2n dt + … |
|||||
1+ t |
2 |
||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
або
arctg x = x − |
x3 |
+ |
x5 |
− |
x7 |
+ …+ (−1) |
n |
x2n+1 |
|
+ … . |
3 |
5 |
7 |
|
2n + 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
Можна довести, що ця рівність справедлива і для x = ±1 , отже, ряд збіжний для x [−1; 1] .
15. Розкладіть у ряд Маклорена функцію f (x) = ln(x2 + 3x + 2) . Розв’язання. Перетворимо логарифмічну функцію:
|
|
|
|
|
|
ln(x2 + 3x + 2) = ln(x + 2)(x + 1) = ln(x + 2) + ln(x + 1) = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= ln 2 1+ |
x |
+ ln(1+ x) = ln 2 + ln 1+ |
x |
+ ln (1+ x). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Скориставшись розвиненням 4 (табл. 1.2) для логарифмічних функцій |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln 1+ |
x |
|
|
і ln(1+ x), |
|
дістанемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x2 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
||||
|
ln(x |
2 |
+ 3x + 2) = ln 2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− …+ (−1) |
|
|
|
|
|
+ … |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 2 |
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
n−1 xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ (−1)n+1 x |
n |
|
|
||||||||||||||
|
+ |
x − |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− …+ (−1) |
|
|
|
|
|
+ |
… |
= ln 2 + |
∑ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
n+1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
n+1 |
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+∑ |
|
|
|
|
|
|
x = ln 2 + ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
З’ясуємо область збіжності одержаного ряду. Оскільки ряд Маклорена |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для функції ln 1+ |
x |
|
|
збіжний при −1 < |
x |
≤ 1 , |
тобто −2 < x ≤ 2 , а ряд для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1+ x) збіжний на проміжку −1 < x ≤ 1, то одержане розкладання справе-
дливе для −1 < x ≤ 1, тобто для тих значень x , при яких збіжні одночасно обидва ряди.
16. Розкладіть у ряд Маклорена функцію f (x) = |
x2 |
|
|
. |
|
|
||
|
9 + x2 |
Розв’язання. Перетворимо функцію f (x) так:
59
x2 |
|
= |
x2 |
|
|
1 |
. |
|||
|
|
|
|
|
||||||
9 + x |
2 |
3 |
|
1 |
+ |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
Використовуючи формулу 6 (табл. 1.2) для m = −0, 5 , розкладемо в ряд
функцію |
|
1 |
|
|
= |
(1+ t ) |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1+ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− 1 |
− |
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 1+ |
− |
|
|
|
t |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
+ |
|||||||||||||
|
|
|
1+ t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− 1 |
− |
|
|
|
− |
2 |
... |
− |
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ …+ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
+ ... |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 ... (2n − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= 1− |
1 |
t + |
|
|
t2 − |
t3 + ... + (−1)n |
tn + ... . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
22 2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Замінивши в цій рівності |
|
t на |
|
x2 |
|
, дістанемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
n 1 3 ... (2n − 1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
x |
4 |
|
|
1 3 5 |
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
x |
2n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
= 1− |
18 |
|
+ |
182 2! |
|
|
|
|
− |
183 |
|
|
|
|
+ ... + |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
18n n! |
|
|
+ ... , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а тому шуканий розклад остаточно набуває вигляду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
1 3 5 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
x |
|
|
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ ... + |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ 9 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
18 |
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 3 ... (2n − 1) |
|
x |
2n+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
n |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Область збіжності ряду — проміжок −1 < |
|
|
|
≤ 1 , або −3 < x ≤ 3. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Обчисліть |
|
|
|
|
e |
|
|
з точністю ε = 0, 001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. Використовуючи розвинення у ряд Маклорена функції ex , дістанемо
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
e = e |
2 |
= 1 |
+ |
|
|
+ |
|
+ |
|
+ …+ |
+ … . |
||||
2 |
1! |
22 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2! 23 3! |
2n n! |
60