Математика для 1 курса
.pdf
|
Решение. Обозначим |
|
y = ln |
|
cos x |
, |
y |
2 |
= |
|
|
x |
|
|
. Тогда |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
sin x +1 |
|
|
|
cos x |
|
|
|
||||||||||
y ' = y1 '+ y2 ' . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
y1 ' . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Найдем |
|
Сначала |
|
воспользуемся |
|
|
|
свойством |
|||||||||||||||||
|
ln |
cos x |
|
= ln cos x −ln |
(sin x +1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
sin x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
( |
|
|
( |
|
)) |
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
( |
|
( |
|
)) |
|
|
|||
|
|
y ' = |
ln cos x −ln |
|
' = |
ln cos x |
'− |
ln |
|
' |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
sin x +1 |
|
|
|
|
|
sin x +1 |
=cos1 x (cos x)'− sin 1x +1(sin x +1)' = −cossin xx − sincosx +x 1 =
=−sin2 x −sin x −cos2 x = −(sin2 x +cos2 x +sin x)= cos x(sin x +1) cos x(sin x +1)
( |
+sin x |
) |
1 |
|
||
1 |
|
|
|
. |
||
= − |
|
= − |
|
|||
cos x(sin x +1) |
cos x |
2. Найдем y2 ' .
y = y1 + y2 , и
логарифма:
y2 |
|
x ′ |
|
(x)'cos x − x (cos x)' |
|
cos x − x(−sin x) |
|
cos x + xsin x |
|
||
' = |
|
|
= |
|
= |
|
= |
|
|
. |
|
|
cos2 x |
cos2 x |
cos2 |
x |
|||||||
|
cos x |
|
|
|
|
3.Складывая y1 ' и y2 ' получим y ':
|
y ' = − |
1 |
|
|
+ cos x + xsin x |
= |
−cos x + cos x + xsin x |
= |
xsin x |
. |
|||
|
|
|
|
|
cos x |
|
cos2 x |
|
cos2 x |
|
cos2 x |
|
|
Ответ: |
y |
′ |
= |
xsin x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
Задача 24. Найти производную функции
y = 1− x6 + x3 arcsin x3.
Решение. Обозначим y = 1 − x6 |
, |
y |
2 |
= x3 arcsin x3 |
. Тогда |
y = y |
+ y |
2 |
, |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
y ' = y1 '+ y2 ' .
1. |
Найдем сначала y1 ' : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y1 ' = ( |
1 − x6 )′ |
|
1 ′ |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
3x |
5 |
|
||||
= (1 |
− x6 )2 = |
|
(1 − x6 )−2 (1 − x6 )′ |
= |
1 |
(1`−x6 )−2 (−6x5 )= − |
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
1 − x |
6 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
2. |
Теперь найдем y2 ' : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y2 ' =(x3 arcsin x3 )′ =(x3 )'arcsin x3 + x3 (arcsin x3 )′ = |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
=3x2 arcsin x3 + x3 |
|
1 |
(x3 )′ = |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 − x6 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=3x2 arcsin x3 + x3 |
1 |
3x2 |
=3x2 arcsin x3 + |
3x5 |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 − x6 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x6 |
|
|
|
и
.
21
3. Найдем y ':
y ' = y '+ y |
2 |
' = − |
3x5 |
+3x2 arcsin x3 + |
3x5 |
=3x2 arcsin x3. |
|
|
|
||||||
1 |
1 |
− x6 |
|
1− x6 |
|
||
|
|
|
|
||||
Ответ: y’= 3x2 arcsin x3 . |
|
|
|
|
Задача 25. Найти координаты точки пересечения с осью Ox касательной, проведенной к графику функции y = ex3 −x+1 в точке A(0;e).
Решение. Как известно, уравнение касательной к графику данной функции |
|||
y = f (x) в данной точке |
(x0 , y0 ) |
имеет вид: y − y0 = f '(x0 )(x − x0 ) |
или |
y = f '(x0 )(x − x0 )+ y0 . |
|
|
|
Найдем производную данной функции
y ' = (ex3 −x+1 )′ = ex3 −x+1 (x3 − x +1)′ = ex3 −x+1 (3x2 −1).
Вычислим ее значение при x = 0 : y '(0)= −e . Тогда уравнение касательной будет таким: y = −e(x −0)+e , или y = −ex +e .
Для того чтобы найти абсциссу точки пересечения касательной с осью Ox , подставим в уравнение касательной y = 0. Получим 0 = −ex +e или ex = e , откуда
следует x =1. Таким образом, (1;0) - точка пересечения касательной с осью Ox . Ответ: (1;0)-точка пересечения касательной с осью Ox .
Задача 26. Найти координаты точки пересечения с осью Oy касательной,
проведенной к графику функции y = |
tg2x |
в точке A(π;0). |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Составим уравнение касательной, для чего найдем производную |
|||||||||||||||||
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ' = |
tg2x ′ |
|
(tg2x)′cos x −tg2x(cos x)′ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
cos |
2 |
x |
= |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
cos x −tg2x(−sin x) |
|
|
2cos x |
+tg2xsin x |
||||||||
|
cos2 2x |
|
cos2 2x |
||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
||||||||
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|||||
Вычислим |
y ' |
|
|
при |
x =π |
: y '(π ) |
= |
−2 +0 |
= −2 . Таким образом, |
||||||||
y = −2(x −π ), |
или y = −2x + 2π - |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
уравнение касательной. Для того чтобы найти |
ординату точки пересечения касательной с осью Oy , подставим в полученное уравнение x = 0: y = 2π . Итак, (0; 2π ) - искомая точка.
Ответ: (0;2π)-точка пересечения касательной с осью Oy .
22
Задача |
27. |
|
|
|
Найти производные |
|
dy |
|
|
|
и |
|
|
d 2 y |
|
|
функции |
y , |
|
заданной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= arctg2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
параметрически: |
|
= ln (1+ 4t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
yt |
' |
|
||||||||
Решение. |
Для нахождения |
|
|
воспользуемся формулой |
= |
. Найдем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
dx |
x |
' |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
yt ' и xt ': |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4t ln 4 |
|
|
|
22t 2 ln 2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
yt ' = (ln (1+ 4t )) |
|
′ |
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(1+ 4t |
) |
' |
|
= |
|
= |
|
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
1+ 4 |
t |
t |
1+ 4 |
t |
1+ |
4 |
t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt' |
|
= (arctg2t )' |
= |
|
|
|
1 |
|
(2t |
)' |
|
= |
2t ln 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
1+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dy |
|
|
|
22t 2 ln 2 |
|
|
2t ln 2 |
|
|
|
22t 2 ln 2 |
|
|
1+ 4t |
= 2t 2 = 2t +1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
1+ |
4 |
t |
|
|
|
1+ |
4 |
t |
|
|
1+ |
|
|
|
t |
|
|
|
2 |
t |
ln 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
dy |
|
|
|
dy ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
d |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Найдем |
|
|
|
по формуле: |
|
|
= |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
dx t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx2 |
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
dy ' |
|
= ( |
|
2t +1 ) |
' |
|
= 2t +1 ln 2, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2(1 + 4 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
t +1 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
dx |
t |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2(1+ 4t ). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
x' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 y |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
dy |
= 2t +1, |
= 2(1+ 4t ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Примеры решения типовых задач к контрольной работе №3
[5], с. 4...17, 28...67
Разделы: ”Дифференциальное исчисление функции одной переменной”, ”Интегральное исчисление функции одной переменной”
|
|
x |
− |
1 |
|
|
|
Задача 28. Найти предел функции lim |
|
|
|
|
с помощью правила |
||
|
|
|
|||||
x→1 |
x −1 |
|
ln x |
|
Лопиталя.
23
|
Решение. |
Подстановка предельного значения x =1 дает неопределенность |
||||||||||||||||||
вида (∞ −∞). Преобразуем функцию, чтобы получилась неопределенность вида |
0 |
|
||||||||||||||||||
0 |
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
∞ . |
|
x |
|
1 |
|
|
xln x − |
( |
x −1 |
|
xln x |
− |
x |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
lim |
|
|
− |
|
|
= lim |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
ln x |
(x −1)ln x |
(x − |
1)ln x |
|
|
||||||||||||
|
x→1 |
x −1 |
|
|
x→1 |
x→1 |
|
|
|
В данном случае формальная подстановка предельного значения x =1 дает неопределенность вида 00 , и можно применить правило Лопиталя.
x |
|
1 |
|
|
|
x ln x |
− |
x |
+ |
1 |
|
|
( |
xln x − x +1 |
' |
|
|||||||
− |
|
= lim |
|
|
= lim |
|
|
|
|
) |
= |
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(( |
|
|
) ) |
' |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→1 x −1 ln x x→1 (x −1)ln x |
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x −1 ln x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
ln x + x x −1 |
= lim |
ln x |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x→1 ln x +(x −1) |
1 |
|
x |
→1 ln x + |
1− |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Снова получаем неопределенность вида 00 и еще раз применяем правило
Лопиталя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
ln x |
) |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|||||
lim |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
x |
|
|
|
= |
= |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
' |
1 |
|
|
|
|
1+1 |
|
|||||||||||||
x→1 |
ln x +1− |
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
+ |
1 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
+1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
− |
1 |
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ln x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→1 x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
ctgx с помощью правила Лопиталя. |
|||||||||||||||||||
Задача 29. Найти предел |
x |
lim |
|
|
3 −2esin x |
|||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
→0+0 ( |
|
|
|
|
|
|
|
x = 0 дает неопределенность |
||||||||||||||||||
Подстановка предельного значения |
вида 1∞. Выполним преобразования, используя основное логарифмическое тождество и непрерывность показательной функции.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 e |
s i n x c t g x |
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
c t g x |
|
|
|
l n 3 |
|
|
|
|
|
l i m |
3 − 2 e s i n |
x |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|||||
|
x |
l i m e |
|
|
|
||||||||||
x → 0 + 0 |
|
|
|
|
|
→ 0 + 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
− |
|
s i n |
x |
|
|
c t g x l n (3 − 2 e |
s i n x |
) |
|
||
|
|
|
c t g x l n 3 |
2 e |
|
|
l i m |
|
|||||||
= l i m e |
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
e x → 0 |
+ 0 |
|
|
|
|
|||||
x → 0 |
+ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
Найдем предел, стоящий в показателе степени Подстановка предельного значения дает неопределенность вида имеющиеся произведение, используя равенство ctgx = tgx1 .
lim ctgxln |
( |
3 −2esin x |
) |
= lim |
ln (3 −2esin x ) |
. |
|
tgx |
|||||||
x→0+0 |
|
x→0+0 |
|
).
∞ 0 . Преобразуем
Подставляя x = 0, получим неопределенность вида |
|
0 |
. В этом случае можно |
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
применить правило Лопиталя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(3 −2esin x )' |
|
|||||||||||||||
|
|
ln(3 −2esin x ) |
= lim (ln(3 −2esin x ))' |
|
|
lim |
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||
lim |
|
= |
3 −2esin x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→0+0 |
|
tgx |
|
x→0+0 |
(tgx)' |
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|||||
|
= lim |
−2esin x cos x cos2 x |
= lim |
−2esin x cos3 x = |
|
−2 |
=−2. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0+0 |
|
3 −2esin x |
|
x→0+0 |
3 −2esin x |
|
|
|
|
3 −2 |
|||||||||||||||||||
Окончательно получим |
|
|
|
|
lim ctgxln 3−2esin x |
) =e−2 = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
lim |
(3 −2esin x )ctgx =ex→0+0 |
|
( |
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0+0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
||||||||
Ответ: lim |
(3 −2esin x )ctgx |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 30. Исследовать функцию f (x)= |
|
2(3x −1) |
|
и сделать схематический |
|||||||||||||||||||||||||||
|
(x +1)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
чертеж ее графика. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
|
Область определения функции – вся числовая ось, кроме точки x = −1, |
|||||||||||||||||||||||||||||
то есть x (−∞;−1) (−1;+∞). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Найдем односторонние пределы функции: |
|
|
2(3x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
f (−1−0)= |
lim |
f (x)= |
lim |
|
|
= −∞, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x +1)2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→−1−0 |
|
x→−1−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
f (−1+0)= |
lim |
f (x)= |
lim |
|
|
2(3x −1) |
= −∞. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x +1)2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→−1+0 |
|
x→−1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, |
в точке x = −1 данная функция терпит бесконечный разрыв, а |
график функции имеет вертикальную асимптоту x = −1.
2. Определим, имеет ли график функции наклонные асимптоты, то есть исследуем поведение функции на бесконечности. Чтобы при x →+∞ составить уравнение асимптоты y = kx +b , найдем величины:
25
k = lim |
f (x) |
= lim |
2(3x −1) |
= 0 , |
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
x→∞ (x +1)2 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
b = lim |
( |
f |
( |
x |
) |
− kx |
) |
|
|
|
|
|
2(3x |
−1) |
|
|
|
|||||
= |
lim |
|
|
|
|
|
−0 |
= 0 . |
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
x→+∞ |
(x +1) |
|
|
|
|
||||||||||||
Таким образом, при |
|
x →+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
график функции |
имеет горизонтальную |
|||||||||||||||||||
асимптоту y = 0. Аналогично получаем, |
что при x → −∞ график данной функции |
|||||||||||||||||||||
имеет ту же самую асимптоту y = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Проверим функцию на четность, для чего найдем |
|
|||||||||||||||||||||
f (−x)= |
2 |
( |
3(−x)−1) |
= |
|
2(−3x −1) |
= |
−2(3x +1) |
. |
|||||||||||||
(( |
−x |
) |
+1 2 |
|
|
|
(−x +1)2 |
|
(1 − x)2 |
|
||||||||||||
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку f (−x)≠ f (x) и f (−x)≠ − f (x), то данная функция не является ни
четной, ни нечетной.
4. Найдем ординату точки пересечения графика функции с осью Oy , положив x = 0: f (0)= −2 , а чтобы найти абсциссу точки пересечения графика с
осью Ox , решим уравнение |
2 |
(3x −1) |
= 0 , или 3x −1 = 0 . Оно имеет единственный |
||||||
(x +1)2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
корень x = |
1 |
|
|
(0;−2) |
1 |
|
|
|
|
|
. Таким образом, |
и |
;0 |
|
- точки пересечения графика с осями |
||||
3 |
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
ординат.
5.Найдем первую производную:
|
2(3x − |
1) ' |
2 3(x +1)2 − 2(3x −1)2(x +1) |
|
|
|||||
|
f '(x)= |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
(x +1)4 |
|
|
|||||
|
(x +1)2 |
|
|
|
|
|||||
= |
6(x +1)−4(3x −1) |
= 6x +6 −12x + 4 = |
−6x +10 |
= |
2(−3x +5) |
. |
||||
(x +1)3 |
(x +1)3 |
|
||||||||
|
|
|
(x +1)3 |
|
(x +1)3 |
Первая производная обращается в бесконечность при x = −1, но эта точка не входит в область определения функции. Поэтому данная функция имеет
единственную критическую точку x = |
5 , в которой |
f '(x)= 0. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
f '(x)> 0 . В данном |
|
|
Функция возрастает на промежутке, |
где |
случае |
это |
||||||
промежуток |
|
|
5 |
|
|
там, |
где f '(x)< 0 , то |
есть |
при |
−1; |
3 |
. Функция убывает |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x (−∞;−1) |
;+∞ . |
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
26
В точке x = 53 функция имеет максимум, поскольку слева от этой точки
f '(x)> 0, а справа f '(x)< 0, причем max f (x)= |
|
5 |
|
|
9 |
|
|
f |
|
|
= |
|
. |
||
3 |
8 |
||||||
|
|
|
|
|
6. Находим вторую производную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2(−3x +5) ' |
|
|
2(−3)(x +1)3 − 2(−3x +5)3(x |
+1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f ''(x)= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x +1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= |
−6(x +1)−6(−3x +5) |
= −6x −6 +18x −30 =12x −36 |
= |
|
12(x −3) |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x +1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)4 |
|
|
|
|
(x +1)4 |
|
|
|
(x +1)4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Как |
и |
в |
предыдущем |
|
пункте |
исследуем |
лишь |
|
точку |
x = 3 , |
|
в |
которой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
f ''(x)= 0 |
(поскольку точка |
|
x = −1 не входит в область определения функции). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
График функции обращен выпуклостью вверх |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на тех промежутках, где |
f ''(x)< 0. В данном |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случае |
при |
x (−∞;−1) (−1,3). |
График |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обращен выпуклостью вниз, если |
|
f ''(x)> 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||
-4 -2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Для данной функции – при x (3, +∞). Точка |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
O |
−2 2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 3 является точкой перегиба, f (3)=1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Схематический |
|
чертеж |
|
|
|
графика |
|
функции |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)= |
2 |
(3x −1) |
изображен на рис.9. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
рис.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)= |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 31. Исследовать функцию |
|
|
|
|
|
|
и сделать схематический |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 +3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чертеж ее графика. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Эта |
функция |
определена |
|
и непрерывна |
|
|
на |
всей числовой оси |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x (−∞, +∞), вертикальных асимптот не имеет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2. Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть найдем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
наклонные асимптоты y = kx +b . Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k = lim |
f (x) |
= lim |
|
|
x |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 +3 x |
|
|
|
x |
2 +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
x |
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
b = lim |
f |
( |
x |
) |
− kx |
) |
= lim |
f |
( |
x |
) |
= |
|
lim |
|
x |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
= lim |
|
1 |
|
=1, |
||||||||||||||
|
|
x2 + 3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→+∞( |
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
x→+∞ |
|
x |
|
|
|
x→+∞ |
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x2 |
то y =1 - горизонтальная асимптота при x →+∞.
Аналогично рассуждая, можно получить, что k = 0 и при x → −∞, а
27
b = lim |
f |
( |
x |
) |
−kx |
) |
= lim |
f |
( |
x |
) |
= lim |
x |
= lim |
|
|
|
x |
|
= lim |
|
−1 |
|
= −1. |
||||||
x2 +3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
x→−∞( |
|
|
|
|
x→−∞ |
|
|
x→−∞ |
x→−∞ |
|
−x |
|
x→−∞ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x2 |
|
|
||||||
Таким образом, |
y = −1 - горизонтальная асимптота при x → −∞. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3. |
|
Найдем |
|
|
|
f (−x)= |
|
−x |
|
= − |
|
x |
|
= − f (x). |
|
Поскольку |
||||||||||||||
|
|
|
|
(−x)2 +3 |
x |
2 +3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (−x)= − f (x), то данная функция является нечетной, а её график симметричен
относительно начала координат (0,0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0)= 0 . |
|||||||||||
4. График данной функции проходит через точку (0,0), так как |
f |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Других точек пересечения с осями координат нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
Находим первую производную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
x2 +3 − x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
f '(x)= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x2 +3 |
|
|
|
|
|
x2 +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x2 +3 − |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
x2 +3 |
|
= |
|
|
|
x2 +3 − x2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x2 +3 |
|
(x2 +3) |
|
x2 +3 |
|
|
(x2 +3)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Заметим, что f '(x)> 0 на всей |
числовой |
прямой |
x (−∞, +∞), |
|
то есть |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функция |
f (x) возрастает при всех x , экстремумов нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6. |
Найдем вторую производную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
' |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ''(x) |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
x |
2 |
|
|
) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
|
+ |
3 |
2 |
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 +3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
− |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=3 |
− |
2 |
(x |
|
|
|
+3) |
|
|
|
2 |
2x = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 +3)5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вторая производная f ''(x)> 0 |
|
при x < 0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
рис.10 |
|
|
значит, на этом промежутке |
|
график |
|
данной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
при x > 0, следовательно, |
функции обращен выпуклостью вниз, |
f ''(x)< 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на данном |
промежутке |
|
график |
функции |
обращен |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выпуклостью вверх. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(0)= 0 . |
|
||||||||
Точка x = 0 является точкой перегиба, как уже отмечалось, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Схематический чертеж графика функции |
f (x)= |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
приведен на рис.10. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 +3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
|
Задача 32. Найти интеграл ∫ |
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. Прибавляя и вычитая в числителе подынтегральной функции x2 , а |
|||||||||||||||||||
затем почленно поделив числитель на знаменатель, получим |
|
|
||||||||||||||||||
∫ |
dx |
|
= ∫(x2 |
+1)− x2 |
dx =∫dx2 −∫ |
|
dx |
|
= ∫x−2dx −∫ |
dx |
|
= − 1 −arctgx +C, |
||||||||
4 |
2 |
( |
|
|
) |
|
2 |
|
2 |
|||||||||||
|
x + x |
|
x |
2 |
x |
2 + |
x |
|
|
x |
|
+1 |
1+ x |
|
x |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где C - произвольная постоянная.
1
Задача 33. Найти интеграл ∫sin2 x cos2 xdx .
|
Решение. Заменим единицу в числителе подынтегральной функции |
|||||||||||||||||||
выражением sin2 x +cos2 x, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫ |
|
|
1 |
|
|
dx = ∫ |
sin2 x +cos2 x |
dx = ∫ |
dx |
|
+ ∫ |
dx |
|
= tgx −ctgx +C, |
||||||
sin |
2 |
x cos |
2 |
|
sin |
2 |
x cos |
2 |
x |
cos |
2 |
|
sin |
2 |
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
x |
где C - произвольная постоянная.
1
Задача 34. Найти интеграл ∫(1 + x2 )2 xdx .
Решение. Умножив и разделив подинтегральную функцию на 2, сможем написать
1 |
1 |
|
1 |
|||
∫(1+ x2 )2 |
xdx = |
1 |
∫(1 + x2 )2 |
2xdx = |
1 |
∫(1+ x2 )2 d (1+ x2 ). |
2 |
2 |
Теперь переменной интегрирования служит выражение 1+ x2 и относительно этой переменной получается интеграл от степенной функции. Следовательно,
|
|
1 |
+ x |
2 |
3 |
|
|
1 |
1 |
2 |
3 |
|
|||
∫(1+ x2 )2 |
xdx = 12 ∫(1+ x2 )2 d (1+ x2 )= 12 |
|
|
+C = 13 (1+ x2 )2 |
|
||
( |
3/ 2 ) |
|
+C, |
где C - произвольная постоянная.
Задача 35. Найти интеграл ∫e3cos x sin xdx .
Решение. Заданный интеграл можно представить так (умножив и разделив подынтегральную функцию на 3):
∫e3cos x sin xdx = 13 ∫e3cos x 3sin xdx ,
но 3sin xdx = −d (3cos x), поэтому
∫e3cos x sin xdx = 13 ∫e3cos x 3sin xdx = −13 ∫e3cos x d (3cos x),
т.е. переменной интегрирования является 3cos x . Следовательно,
∫e3cos x sin xdx = −13 e3cos x +C,
где C - произвольная постоянная.
29
Задача 9. Найти интеграл ∫xx3++25dx .
Решение. Представим числитель в виде (x3 +8)−3, а x3 +8 разложим по
формуле суммы кубов, тогда имеем (x3 +8)−3 |
=(x + 2)(x2 −2x + 4)−3 . Подставим |
|||||||||||||||||||
это выражение в числитель и почленно поделим. Будем иметь |
|
|
|
|||||||||||||||||
∫ |
x3 |
+5 |
dx = |
∫ |
(x + 2)(x2 −2x + 4)−3 |
|
dx = |
∫ |
( |
x |
2 −2x + 4 dx −3 |
dx |
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
+ 2 |
|
x + 2 |
|
|
|
|
) |
∫ |
x + 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
dx |
|
x3 |
|
|
x2 |
|
|
|
|||||
= ∫x |
dx −2∫xdx + 4∫dx −3∫ |
|
= |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
+ 4x −3ln | x + 2 | +C = |
|||||||||
x + 2 |
3 |
|
|
2 |
|
=x3 − x2 + 4x −3ln | x + 2 | +C, 3
где C - произвольная постоянная.
Задача 36. Найти интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2x |
2 |
|
−2x + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. Преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x |
2 |
−2x |
+3 |
|
2 |
− x + |
3 |
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
+ |
|
3 |
− |
1 |
|
|
− |
1 2 |
+ |
5 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
= 2 x |
|
2 |
|
2 x − |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
= 2 x |
|
|
4 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
d x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2x |
2 |
− 2x + |
3 |
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
5 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
|
2 |
|
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x − |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2x −1 +C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
2 |
|
+C = |
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где C - произвольная постоянная. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Задача 37. Найти интеграл ∫ |
|
|
3x −1 |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
−4x +8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Преобразуем числитель, выделив в числителе дроби производную |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знаменателя, а затем поделим почленно числитель на знаменатель. Имеем |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x −1 |
|
|
3 |
(2x − 4)−1 + 6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
dx = ∫ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
∫ |
|
|
|
|
|
dx +5∫ |
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
− 4x + |
8 |
|
|
|
2 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
− 4x +8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4x +8 |
|
|
|
|
|
|
− 4x +8 |
30