Матфизика Мурга Е.В
.pdfПриклад 1. Вирішити рівняння
2u |
a2 |
2u |
bshx. |
|
t2 |
x2 |
|||
|
|
за нульових початкових і крайових |
|
умов |
|
u 0,t 0, |
u ,t 0. |
||||||||||||||||||
Рішення розшукується у вигляді суми |
|
|
|
u x,t W x,t y x . Потім |
|||||||||||||||||||
слід цю суму підставити в рівняння |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2W |
a |
2 2 W |
a |
2 |
|
d2 y |
bshx |
|
|||||||||||||
|
|
t2 |
|
x2 |
|
|
|
|
dx2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
і підібрати |
функцію |
|
y x |
|
так, щоб a2 |
d2 y |
bshx 0 і |
||||||||||||||||
|
dx2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 y 0. |
Рівняння |
|
d2 y |
|
b |
|
|
shx |
|
інтегрується двічі: |
|||||||||||||
|
|
|
a2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y x |
b |
shx C |
x C |
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
З крайових умов |
|
y 0 0, |
|
y 0 |
визначаються C2 0, |
b
C1 a2 sh .
91
Значит,
y x bx sh b shx. a2 a2
Функція W(x,t)- є рішення наступної задачі:
|
2W |
a2 |
2W |
|
, W 0,t W ,t 0, |
||||||||||
|
|
t2 |
x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
W |
|
t 0 |
y x |
b |
shx |
bx |
sh , |
W |
|
t 0 |
0. |
||||
|
|
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
a2 |
t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подібні задачі розглядалися в розд. 3, тому можна відразу записати рішення:
|
|
|
|
|
|
ak |
|
|
|
ak |
|
|
k |
|
|
|||||||
W x,t (ak cos |
t bk |
sin |
t)sin |
x, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ak |
|
|
y x sin |
xdx, |
|
|
bk |
0. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Залишається обчислити |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
b |
|
|
k |
|
|
|
2b |
|
|
|
|
k |
|
|||||
ak |
|
|
shxsin |
xdx |
sh xsin |
xdx |
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
a |
|
|
|
a |
0 |
|
|
|
|
92
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
sh cosk |
|
2b |
|
sh cosk |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
a2k |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
1 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
sh |
1 |
k |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k 2 l2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2b |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
2b 2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
sh 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
sh . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
a2 |
|
k k2 2 2 |
|
a2k k2 2 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Відповідь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
b x |
|
|
|
|
|
|
|
2b 2sh |
|
|
|
|
|
|
1 k |
|
|
|
|
ak |
|
|
k |
||||||||||||||||||||
u x,t |
|
|
|
|
|
sh shx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
sin |
|
x. |
||||||||||||
a |
2 |
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
k k |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачі для самостійного розв’язування
1.Застосуйте правило 4 до рішення задачі 5 розд. 4.
2.Сформулюйте правило 4 для випадку гармонійних зовнішніх сил (задачі 1, 2 і 4 розд. 4).
93
7. ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ФУРЬЕ ДЛЯ ДВУМЕНРНОЙ
ЗАДАЧІ ПРО КОЛИВАННЯ МЕМБРАНИ
Метод Фур’є з успіхом застосовується при дослідженні коливань прямокутної мембрани.
Приклад. Однорідна квадратна мембрана, що має в початковий момент часу t = 0 форму A y x y , де А – постійна, почала коливатися без початкової швидкості. Дослідити вільні коливання мембрани, закріпленої по контуру х = 0, х = , у = 0,
у = .
Рівняння вільних коливань мембрани має вигляд
d2u |
a |
2 |
d2u |
|
d2u |
(7.1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dt |
2 |
|
|
2 |
dy |
2 |
|||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
Тут u = u (x, у, t) – відхилення точок мембрани від площини ХОY у момент t. Умова закріплення мембрани по краях запишеться таким чином:
u|x=0 = u|x= = u| y=0 = u |y= |
(7.2) |
||||
Початкові умови |
|
|
|
|
|
U|t=0 = Aху( – x) ( – у); |
du |
| |
|
0 |
(7.3) |
|
t 0 |
||||
|
dt |
|
|
Шукаємо рішення даної задачі у вигляді
94
u(x, у, t)= T(t) X(x) У(у).
Підставимо функцію u(x, у, t ) в рівняння і розділимо змінні
T |
|
x |
|
|
y |
|
|
a2T |
x |
y |
|||||
|
|
Хай
x |
|
y |
|
||
|
2 , |
|
2 . |
||
|
|
|
|
||
x |
y |
Для задачі
х"+ 2х = 0, х(0)= 0, х( ) = 0,
отримаємо власні значення
k |
|
k |
, |
(7.4) |
|
||||
|
|
|
|
власні функції
xk sin k x , k=1,2,... (7.5)
Для задачі
y" 2y 0 y 0 0 y 0
отримаємо n |
|
n |
, |
yn |
sin |
n |
у, |
n 1,2... |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
95
Переходимо до відшукання функції Т(t): рівняння
Т + а2( 2 2 Т=0
маємо рішення
Tkn Akn sin a n2 k2 t Bkn cos a n2 k2 t
du
З умови | 0 виходить, що Т'(0)=0. Обчислюємо dn t 0
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
||||||||||||
Akn |
|
|
n |
k |
|
cos n |
k |
|
– Bkn |
|
n |
k |
|
sin n |
k |
|
t |
||||||||
Tkn |
|
|
|
|
|
|
|
Підставляючи t = 0, отримаємо Аkn=0. Отже
Tkn Bkn cos a n2 k2 t .
Тоді
|
|
a |
|
|
|
k |
|
n |
|
|
u(x,y,t) Bkn |
cos |
|
n2 k2 tsin |
x sin |
y |
|||||
|
|
|
||||||||
k 1 n 1 |
|
|
|
|
|
|
Застосовуючи умову u|t=0 = Axy( –x)∙( –y), отримаємо
|
|
k |
|
n |
|
|
Axy l x l y Bkn |
sin |
x sin |
y. |
|||
|
|
|||||
k 1 n 1 |
|
|
|
96
Справа отримали подвійний ряд Фур’е. Значить, коефіцієнти
ряду Фур’е для заданого початкового відхилення дорівнюють
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
n |
|
|
|
||||||
|
Bkn |
|
|
Axy( x)( y)sin |
|
|
x sin |
|
|
ydxdy . |
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Переходячи від подвійного інтеграла до повторного, |
|||||||||||||||||||||||||
отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
при, |
|
|
k,n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Bkn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
64A 4 |
|
при, |
|
k,n |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
n |
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Відповідь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
64A |
4 |
|
sin |
|
2k 1 |
xsin |
2n 1 |
у |
|
|
|
|
a t |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
u(x,y,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
(2n 1)2 (2k 1)2 |
|
. |
||||
6 |
|
|
|
(2n 1) |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
k,n 0 |
|
|
|
(2k 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачі для самостійного розв’язування
1. Знайти закон вільних коливань квадратної мембрани із стороною , якщо в початковий момент мембрані додана швидкість
ut |
(x,y,0) |
a |
(де а - постійна, що фігурує в рівнянні мембрани). |
|
|||
|
50 |
|
Початкове відхилення дорівнює нулю. Мембрана закріплена в точках свого контуру.
Відповідь:
|
0,32 |
|
|
|
sin |
2k 1 |
x sin |
2n 1 |
y sin |
a |
(2k 1) |
2 (2n 1)2 t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
u(x,y,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(2k 1)(2n 1) |
(2n 1)2 |
(2k |
1)2 |
|
|||||||||||
|
|
k |
0 n |
0 |
|
|
|
|
97
2. Знайти закон вільних коливань квадратної мембрани із стороною , якщо в початковий момент відхилення в кожній точці визначалося рівністю
|
u(x,y,t) |
|
|
sin |
x |
sin |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Початкова швидкість дорівнює нулю. Уздовж контуру |
||||||||||||||||||
мембрана закріплена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
a |
|
|
t sin |
x |
sin |
y |
. |
||||||
Відповідь: |
u(x,y,t) |
|
|
2 |
||||||||||||||
100 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
98
8. МЕТОД ФУР’Є ДЛЯ ОДНОРІДНОГО РІВНЯННЯ
ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ
1. Початкові і граничні умови. Розподіл температури в стрижні описується наступним рівнянням (рівняння теплопровідності)
du |
a2 |
d2u |
|
1 |
f(x,t), |
(8.1) |
|
dx2 |
|
||||
dt |
|
c |
|
де f(x,t) – потужність внутрішніх джерел в стрижні,
розрахована на одиницю маси, c – коефіцієнт питомої теплоємності.
В початковий момент часу t = 0 розподіл температури вважається відомим
u(x,0)= (x) |
(8.2) |
При стрижні кінцевих розмірів задаються умови на його кінцях (граничні умови). Можливі наступні типи граничних умов:
a) на кінцях підтримується задана температура (заданий тепловий режим):
u(0,t)= 1(t), |
u( ,t) = 2(t) |
б) на кінцях стрижня задана величина теплового потоку q
q|x=0 = f1(t), q|x= = f2(t).
99
(Усюди нижче величина q позначає потік, направлений з тіла в
зовнішнє середовище). Оскільки потік пропорційний |
u |
і на кінцях |
||||||||||||||
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
направлений в різні боки, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
q |
|
|
k |
u |
| |
|
, |
q | |
k |
u |
|
|
|
(8.3) |
||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x 0 |
|
x |
x 0 |
|
x |
|
x |
|
x l |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
Тому граничні умови мають вигляд |
|
|||||||||||||||
|
|
|
ux(0,t)= q1(t), ux( ,t) = q2(t) |
|
||||||||||||
де |
|
|
q1(t)=k-1f1(t), |
q2(t)=k-1f2(t) |
|
в) на кінцях відбувається теплообмін з середовищем. Хай (t)
– температура зовнішнього середовища. Припускаємо, що теплообмін відбувається за законом Ньютона.
Закон Ньютона. Величина теплового потоку через межу тіла пропорційна різниці температур тіла і зовнішнього середовища:
q| через межу = [u (s,t) - (t)]
де u(s,t) – температура тіла на межі, а (t) – температура середовища.
Зокрема, для стрижня
q|x=0= [u (0,t) - (t)], q|x= = [u ( ,t) - (t)]
100