статика динамика учебник

3. Плоский рух твердого тіла, яке має площину матеріальної симетрії:

aC

де JC – момент інерції тіла відносно осі,

що проходить через центр мас тіла

Рисунок Д.13

перпендикулярно до площини його

матеріальної симетрії.

3.3.2. Принцип Даламбера Для рухомої матеріальної точки в довільний момент часу

геометрична сума активних сил, реакцій в'язей і умовно прикладеної до неї сили інерції дорівнює нулю:

Якщо система складається з n матеріальних точок, то принцип Даламбера для кожної точки, що входить до системи, записується так:

де Fk – рівнодійна всіх активних сил, що діють на виділену точку; Rk

– рівнодійна реакцій в'язей, прикладених до цієї точки; Fki – сила інерції к-ї точки.

Для рухомої механічної системи в довільний момент часу активні сили, реакції в'язей і умовно прикладені до неї сили інерції утворюють систему сил, що знаходиться в рівновазі.

Умову рівноваги такої системи сил можна записати:

133

Fk Rk Fki 0,

(3.47)

mO (Fk ) mO (Rk ) mO (Fki ) 0,

де mO (Fk ) – головний момент усіх активних сил відносно центра О; mO (Rk ) – головний момент усіх реакцій в'язей відносно того самого центра; mO (Fki ) – головний момент сил інерції відносно центра О.

Векторним рівнянням (3.47) відповідають шість рівнянь у проекціях на осі декартової системи координат. Ці рівняння називають рівняннями кінетостатики.

Метод кінетостатики полягає в перенесенні аналітичних і графічних прийомів статики на розв'язування задач динаміки.

Розв'язуючи задачі динаміки для механічної системи за допомогою принципу Даламбера, рекомендується дотримуватися такої послідовності:

а) зобразити задані сили, що діють на точки системи;

б) звільнившись від в'язей, спрямувати реакції в'язей;

в) умовно прикласти сили інерції до всіх точок системи;

г) записати необхідні рівняння кінетостатики для механічної системи;

ґ) розв'язати систему рівнянь і визначити невідомі величини.

3.3.3.Вправи

1.Математичний маятник вагою Р здійснює коливальний рух у

вертикальній площині:

а) розставте сили, що діють на точку, і

прикладіть умовно силу інерції, подавши її у

вигляді двох складових;

б) знайдіть найбільший натяг нитки,

якщо маятник відхилили від положення

134

активні сили й реакції;

б) розчленуйте систему і, використовуючи принцип Даламбера,

складіть рівняння рівноваги для котка й для вантажу;

в) знайдіть натяг нитки й силу тертя.

3.3.4.Запитання для самоконтролю

1.У чому полягає суть принципу Даламбера для матеріальної

точки?

2.Що таке сила інерції матеріальної точки? Чому вона дорівнює, як спрямована й до чого прикладена?

3.Сформулюйте принцип Даламбера для механічної системи.

4.Чому дорівнює і як спрямований головний вектор сил інерції механічної системи?

135

5. До чого зводяться сили інерції точок твердого тіла під час поступального й плоского рухів, а також під час його обертання навколо осі, що проходить через центр мас тіла?

3.3.5. Принцип можливих переміщень Принцип можливих переміщень у найбільш загальному вигляді

встановлює умови рівноваги механічної системи. Під час застосування цього методу ефект дії в'язей ураховується не шляхом введення невідомих наперед реакцій, а шляхом розгляду переміщень,

які можна передати точкам системи, якщо вивести систему із займаного нею положення. Такі переміщення називають у механіці можливими переміщеннями.

Можливі переміщення точок системи повинні задовольняти дві умови:

а) бути нескінченно малими;

б) бути такими, щоб при цьому всі накладені на систему в'язі зберігались.

Таким чином, можливими переміщеннями невільної механічної системи називаються уявні нескінченно малі переміщення точок системи, що допускаються в даний момент часу накладеними на систему в'язями.

Можливі переміщення – нескінченно малі переміщення, тому криволінійні переміщення точок замінюють прямолінійними й позначають S .

Надалі будемо розглядати механічні системи з наступними в'язями:

1.Голономними або геометричними (в'язі, які не залежать від швидкостей точок системи).

2.Стаціонарними (в'язі, які не залежать явно від часу t).

136

3. Двосторонніми або утримувальними (в'язі, які точка не

може залишити).

Кожне дійсне переміщення точок системи, що відбувається за нескінченно малий проміжок часу під дією прикладених сил за

стаціонарних в'язей, є одним із можливих переміщень.

Числом степенів вільності системи S називається кількість

лінійно незалежних можливих переміщень цієї системи.

Якщо сума елементарних робіт реакцій в'язей на довільному можливому переміщенні точок системи дорівнює нулю, то в'язі

називаються ідеальними.

де Rk – рівнодійна реакцій в'язей, що діють на к-ту точку системи;

rk – можливе переміщення к-ї матеріальної точки.

Принцип можливих переміщень: для рівноваги системи матеріальних точок з ідеальними в'язями необхідно й достатньо, щоб сума елементарних робіт активних сил на довільних можливих переміщеннях точок системи дорівнювала нулю.

137

Рівняння (3.49) та (3.50) називають рівняннями можливих

робіт.

Розв’язуючи задачі з допомогою принципу можливих переміщень, рекомендується дотримуватися такої послідовності:

а) подати на рисунку активні сили;

б) за наявності неідеальних в’язей додати відповідні реакції в’язей;

в) за необхідності визначити реакцію в’язі, уявно відкинути відповідну в’язь і замінити її шуканою реакцією (якщо R r 0);

г) подати можливе переміщення однієї з точок системи й виразити можливі переміщення точок прикладення сил у залежності від заданого можливого переміщення (для систем з одним степенем вільності);

ґ) вирахувати суму робіт усіх сил на відповідних можливих переміщеннях їхніх точок прикладення й прирівняти цю суму до нуля;

д) розв’язавши складене рівняння рівноваги, визначити шукану

величину.

3.3.6.Вправи

1.Механічна система складається з котка, що знаходиться на горизонтальній площині, і вантажу, підвішеного на нитці:

138

2. Для механізму еліпсографа (ОD=АD=DВ=l), при заданому куті , знайдіть залежність між можливими переміщеннями XB ,

3.3.7.Запитання для самоконтролю

1.Що називається можливим переміщенням системи матеріальних точок? У чому полягає відмінність можливих і дійсних переміщень точок системи?

2.Які в’язі називаються ідеальними? Наведіть приклади ідеальних в’язей.

3.Сформулюйте принцип можливих переміщень і запишіть його у векторній формі й у проекціях на вісі декартової системи координат.

139

4.Чи можна визначити за допомогою принципу можливих переміщень реакції ідеальних в’язей?

5.Що розуміють під числом степенів вільності системи матеріальних точок? Як визначити число степенів вільності системи?

3.3.8.Принцип Даламбера-Лагранжа (загальне рівняння динаміки)

Принцип можливих переміщень дає загальний метод розв'язування задач статики. Принцип Даламбера дозволяє використовувати методи статики для розв'язування задач динаміки.

Застосовуючи обидва ці принципи одночасно, отримуємо загальний метод розв'язування задач динаміки – принцип Даламбера-

Лагранжа.

Під час руху механічної системи з ідеальними, голономними та двосторонніми в'язями робота всіх активних сил і сил інерції в довільний момент часу на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю.

В аналітичній формі

Рівняння (3.51) або (3.52) називаються загальними рівняннями динаміки і дозволяють скласти диференціальні рівняння руху механічної системи.

Для механічних систем з неідеальними в'язями необхідно до активних сил додати реакції відповідних в'язей.

Розв'язуючи задачі, рекомендується дотримуватися такої послідовності:

а) обчислити число степенів вільності для даної системи;

140

б) зобразити на рисунку всі активні сили, сили інерції тих тіл системи, що мають масу, реакції неідеальних в'язей;

в) надати системі одне незалежне переміщення й виразити через нього можливі переміщення точок прикладання всіх сил; інші незалежні можливі переміщення при цьому вважати такими,

що дорівнюють нулю;

г) скласти загальне рівняння динаміки;

ґ) послідовно виконати пп. в) і г) для кожного з незалежних можливих переміщень;

д) знайти шукані величини.

3.3.9.Вправи

1.Однорідний коток вагою Р й радіусом R котиться по

а) обчисліть число степенів вільності цієї системи;

б) покажіть на рисунку всі сили, що діють на систему,

включаючи сили інерції;

в) напишіть суму робіт усіх сил на можливому переміщенні

XC .

2. Механічна система складається з трьох вантажів вагою Р1,

Р2, Р3, пов’язаних ниткою, перекинутою через два нерухомі та один рухомий блоки. Масою блоків знехтувати:

а) обчисліть число степенів вільності цієї системи;

б) зробіть припущення про напрям прискорень точок системи;

в) позначте на рисунку сили інерції точок системи;

141

3.3.10.Запитання для самоконтролю

1.Сформулюйте принцип Даламбера-Лагранжа (загальне рівняння динаміки).

2.Запишіть загальне рівняння динаміки у векторній формі й у проекціях на координатні осі.

3.До чого зводяться сили інерції твердого тіла:

а) під час поступального руху;

б) під час обертання твердого тіла навколо нерухомої осі;

в) під час плоского руху?

3.3.11. Рівняння Лагранжа ІІ роду Незалежні параметри, за допомогою яких однозначно

визначається положення точок системи, називаються узагальненими координатами.

Узагальнені координати можуть мати будь-яку розмірність і будь-який геометричний (або фізичний) зміст. Будемо позначати узагальнені координати літерою q.

Для голономних систем кількість незалежних узагальнених координат механічної системи дорівнює числу степенів вільності цієї системи.

142