алгебра 2 семестр

Доказательство. Как показывает следствие, достаточно рассматривать квадратичную форму в каноническом виде. Любую действительную квадратичную форму F ранга r с положительным индексом инерции

p можно привести к виду F = y12 + : : : + yp2 yp2+1 : : : yr2. Будем доказывать равносильность утверждений первой группы.

1.Пусть F положительно определенная квадратичная форма. Покажем что ранг r = n. Допустим противное, то есть r < n, тогда

рассмотрим столбец

ãäå y1 = 0; : : : ; yr = 0; yr+1 6= 0; : : : ; yn 6= 0. Ясно, что Y 6= 0, но при этом F (Y ) = 0, а это противоречит положительной определенности, то есть r = n, следовательно F невырожденная квадратичная форма. Покажем что q = 0. Допустим противное, q 6= 0. Наша форма имеет вид: F = y12 + : : : + yp2 yp2+1 : : : yr2. Рассмотрим столбец

при этом F (Y ) < 0. Это противоречит тому, что F положительно определенная, то есть q = 0.

2. Дано r = n; q = 0. Известно, что p + q = r, следовательно p = n.

3.Пусть p = n, значит количество положительных характеристиче- ских корней матрицы AF равно n, а всего характеристических корней у матрицы AF тоже n. Следовательно все характеристические корни матрицы AF положительны.

4.Пусть все характеристические корни матриц AF положительны. Следовательно p = n, тогда квадратичная форма F имеет вид:

F = y12 + : : : + yn2;

то есть 8 Y 6= 0; F (Y ) > 0, что по определению 11.7.1 означает, что квадратичная форма F является положительно определенной.

Равносильность утверждений первой группы доказана. Аналогично доказываются равносильность утверждений других групп.

Теорема 11.7.1 не позволяет выяснить тип квадратичной формы по ее коэффициентам. Для этого служит следующая теорема.

Определение 11.7.2. Угловыми минорами матрицы A называются миноры матрицы A, составленные из элементов ij, расположенных в ее левом верхнем углу, то есть

ТЕОРЕМА 11.7.2 (критерий Сильвестра). Квадратичная форма F является положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы этой формы AF положительны.

Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по n.

Пусть n = 1, тогда форма F (x1) = 11x21. ßñíî, ÷òî

8 x1 6= 0; F (x1) > 0 , 11 > 0:

114 Глава 11. Квадратичные формы

n = jAF j > 0, то есть D(F ) > 0. Так как форма F положительно определена, то 9 L : x ! y невырожденное линейное преобразование с матрицей Q такое, что F L = y12 + : : : + yn2; D(F L) = jAF Lj = 1. Из ранее доказанного D(F L) = D(F )jQj2. Заметим, что jQj 6= 0, так как

L невырожденное, следовательно D(F ) = j 1j2 > 0.

Q

Достаточность. Пусть все угловые миноры матрицы AF положитель- ны. Тогда, в частности, положительными будут первые n 1 угловых ми-

норов, то есть положительными являются все угловые миноры матрицы AG è D(F ) = jAF j > 0. Используя предположение индукции получим, что форма G является положительно определенной. Это означает, что 9 L1 : x ! y невырожденное преобразование переводящее форму G к

âèäó GL1 = y12 + : : : + yn2 1,

Рассмотрим преобразование L : x ! y, которое на первых n 1 перемен-

ных совпадает с L1, à xn = yn. Это преобразование невырожденное, так как jALj = jAL1 j =6 0. Таким образом, преобразование L приведет форму F к виду:

n 1

X

F L = y12 + : : : + yn2 1 + 2 inyiyn + nnyn2:

i=1

Выделим полные квадраты:

(11.11)