харламов тер-вер

Его характеристическая функция

=e exp( eit) = exp (1 eit) :

2.Биномиальное распределение:

Pf = kg = Cnk pk (1 p)n k; k = 0; : : : ; n:

4.1 N(a1; 1), 2 N(a2; 2); 1, 2 независимы, = 1 + 2. Тогда

40 ХАРЛАМОВ А. В.

Характеристическая функция случайного вектора.

Свойства характеристической функции случайного вектора:

1.j j

'(t) 6 1, ' (0; 0) = 1.

2.По характеристической функции случайного вектора однозначно восстанавливаются характеристические функции его координат:

24. Центральная предельная проблема

Центральная предельная проблема это задача выбора нормирующих констант и определение условий, которым должны соответствовать случайные величины 1; : : : ; n; : : : , чтобы последова-

тельность

n

P

i A

i=1

B

соответствующим образом нормированных случайных величин слабо сходилась к стандартному нормальному распределению.

Центральная предельная теорема. Åñëè 1; : : : ; n независимы

>>

:; x

Доказательство. Рассмотрим случайную величину

j = j a:

Следствие (теорема Муавра-Лапласа). Дана схема Бернулли. За случайную величину i примем число успехов в i-м испытании;

Pf i = 0g = q, Pf i = 1g = p, p + q = 1; M i = p, D i = pq. Тогда при n ! 1

где (t) функция Лапласа.

Теорема Хинчина. Если случайные величины 1; : : : ; n незави- симы, имеют одинаковое распределение и математическое ожидание, равное a, то

n

X i P

n ! a:

i=1

Доказательство. Воспользуемся свойством сходимости случайных величин: сходимость по вероятности к постоянной случайной вели- чине равносильна слабой сходимости к постоянному распределению. Вычислим характеристическую функцию константы = C

(Pf = Cg = 1, Pf 6= Cg = 0):

' (t) = M eit = M eitC = eitC:

Таким образом,

n

X nj =) a;

j=1

что равносильно

n

X i P

n ! a:

i=1