ПОСОБИЕ ПО ЛАБАМ СФУ

информацию о сдвигах фаз для каждой из гармонических составляющих, входящих в состав сложного сигнала s(t). При этом следует иметь в виду, что

гармонические составляющие сложного периодического сигнала определены на интервале [−∞,∞]. При увеличении периода повторения Т сигнала частота первой гармоники (и интервал между соседними гармониками) в спектре сигнала уменьшается, а при Т→ ∞ этот интервал стремится к нулю и спектр становится сплошным. А так как энергия одиночного (непериодического) сигнала ограничена, то при бесконечно большом числе спектральных линий их амплитуды также стремятся к нулю. Поэтому для характеристики непериодических сигналов s(t) используется понятие спектральной плотности амплитуд S(jω). Эти две функции связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье [2]:

S( jω) = ∞òs(t)e− jωt dt ,

−∞

s(t) = 1 ∞òS( jω)e jωt dω .

2π −∞

Следует также отметить, что все вещественные сигналы s(t) имеют четную функцию S(ω), т. е. S(-ω)=S(ω). Это же относится и к спектрам периодических сигналов. Поэтому спектр амплитуд (или спектральную плотность амплитуд) вещественного сигнала принято изображать в виде графика, симметричного относительно нулевой частоты (так называемый математический спектр) либо в виде графика, расположенного только в области положительных частот (так называемый физический спектр). При переходе от математического спектра к физическому, амплитуды (спектральные плотности) всех составляющих, кроме нулевой, следует удвоить.

Существует класс комплексных сигналов, у которых и математический спектр расположен только в области положительных частот. Это так называемые аналитические сигналы [2], вещественная и мнимая части которых связаны преобразованием Гилберта. Такое представление сигналов часто используется для описания модулированных колебаний.

В первой части курса РТЦиС в качестве s(t) рассматриваются чаще всего моногармонические сигналы. В связи с этим необходимо иметь в виду,

что линейная цепь не изменяет форму моногармонического сигнала (изменяется лишь амплитуда и фаза выходного сигнала). Однако при

полигармоническом сигнале на входе форма выходного сигнала может существенно отличаться от входного, т. к. в соответствии с АЧХ и ФЧХ

конкретной цепи изменится соотношение амплитуд и фаз составляющих спектра сигнала, а, следовательно, и форма сигнала (так называемые линейные искажения). Даже и в этом случае в спектре выходного сигнала

будут те же частоты, что и в спектре входного сигнала, то есть линейная цепь не приводит к появлению новых частот в спектре сигнала.

Нелинейные цепи должны содержать хотя бы один нелинейный элемент (диод, транзистор и др.). Нелинейный элемент можно определить разными способами. Чаще всего нелинейный элемент определяют как двухполюсник или четырехполюсник, один из параметров которого (R, L, C, S и т. д.) зависит от режима электрической цепи – напряжения или тока.

Другое определение нелинейной цепи – наличие нелинейной вольтамперной характеристики (ВАХ). Как правило, ВАХ нелинейной цепи снимается экспериментально, и по полученной таблице значений i=f(u) строится график ВАХ. Для анализа такой цепи (расчет спектра, расчет выходного сигнала и др.) необходимо графическую функцию ВАХ аппроксимировать одной из простых математических функций. В качестве таковых наиболее часто используются:

∙степенной полином i = a0 + a1u + a2u2 +...+ anun ;

∙отрезки функций – например, отрезки прямых (кусочно-линейная аппроксимация), прямая и парабола и т. д.;

∙экспонента или сумма экспонент.

Для большинства изучаемых процессов и схем достаточно использовать полиномы второй и реже – третьей степени.

При выборе аппроксимирующей функции следует учитывать:

∙интервал аппроксимации, т. е. область значений аргумента,

соответствующую входному сигналу (uмин, uмах), которые зависят от амплитуды сигнала и напряжения смещения;

∙форму ВАХ в интервале аппроксимации, которая предопределяет метод спектрального анализа;

∙степень аппроксимирующего полинома.

Высокая степень усложняет расчеты, но повышает их точность. Кроме того, от степени аппроксимирующего полинома зависит максимальный номер рассчитываемой гармоники или порядок комбинационного колебания.

Наиболее часто используются следующие методы спектрального анализа

∙метод кратных дуг;

∙методы угла отсечки;

∙методы трех и пяти ординат.

Метод кратных дуг (или метод тригонометрических формул) состоит в том, что в степенной полином, которым аппроксимирована ВАХ исследуемой цепи, подставляют один или несколько гармонических сигналов

и после несложных преобразований получают выражение для выходного тока, в котором амплитуды спектральных составляющих выражены через параметры аппроксимации и входных сигналов. Этот метод может быть использован тогда, когда напряжение отсечки ВАХ не входит в интервал аппроксимации.

Пусть аппроксимирующая ВАХ функция имеет вид:

Подставляя (2) в (1), получим:

i= a0 +a1(ECM +Um cosω0t) +a2 (ECM +Um cosω0t)2 +a3(ECM +Um cosω0t)3 = a0 +a1ECM +a2ECM2 +

+12 a2Um2 +a3ECM3 + 32a3ECMUm2 +(a1Um +2a2ECMUm +3a3ECM2 Um + 34a3ECM2 Um )cosω0t +(12 a2Um2 +

+32 a3ECMUm2 )cos2ω0t + 14 a3Um3 cos3ω0t = I0 + Im1 cosω0t + Im2 cos2ω0t + Im3 cos3ω0t,

где

Здесь представлены окончательные формулы, позволяющие рассчитать амплитуды первых трех гармоник тока и постоянную составляющую I0. Как и следовало ожидать, спектр тока в нелинейной цепи при моногармоническом воздействии состоит только из гармоник входного сигнала (I0 – нулевая гармоника или постоянная составляющая), причем высший номер гармоники (в данном случае – третья) соответствует степени аппроксимирующего полинома.

При бигармоническом воздействии:

+(a1U2m +2a2 ECMU2m )cosω2t + 12a2U12m cos2ω1t + 12 a2U22m cos2ω2t +a2U1mU2m cos(ω1 +ω2 )t +

+a2U1mU2m cos(ω1 −ω2 )t = I0 +I1m1 cosω1t + I2m1 cosω2t + I1m2 cos2ω1t + I2m2 cos2ω2t + Im+ cos(ω1 +ω2 )t +

+Im− cos(ω1 −ω2 )t.

Рассмотрим подробно первый метод угла отсечки, когда используется кусочно-линейная аппроксимация (4). На вход нелинейной цепи подается моногармонический сигнал (2), при этом ток в цепи нелинейного элемента имеет вид косинусоидальных импульсов с углом отсечки θ (рис. 1).

Подставив моногармонический сигнал (2) в выражение (1.4), получим:

Рис. 1. К методу угла отсечки

Из рис. 1 видно, что i > 0 тогда, когда фазовый угол ω0t< θ. Если же ω0t= θ, ток в цепи прекращается:

График последней функции приведен на рис. 2.

Рис. 2

Функция ϕ(ω0t, θ) – периодическая, разложим её в ряд Фурье:

ϕ(ω0t,θ ) = α0 (θ) +α1 (θ) cosω0t +α2 (θ) cos2ω0t + ...+αn (θ )cos nω0t + ...

Коэффициенты разложения функции αn(θ) могут быть определены как коэффициенты А.И. Берга, характер изменения первых трех приведен на рис. 3, одновременно здесь же приведен график функции γ1=α1 /α0,

фактически характеризующий отношение амплитуд токов первой гармоники

ипостоянной составляющей.

αγ1

Рис. 3. Коэффициенты А. И. Берга

Расчетная формула амплитуды любой гармоники имеет вид:

Imn = αn (θ )imax .

Практически расчет амплитуды этим методом при n>5÷7 затруднителен, т. к. коэффициенты αn(θ) становятся малыми и погрешность расчета возрастает. Рассматриваемый метод угла отсечки для кусочно-

линейной аппроксимации дает хорошие результаты только при достаточно

больших амплитудах входного сигнала. При малых амплитудах сигнала кусочно-линейная аппроксимация сильно отличается от реальной ВАХ, особенно вблизи напряжения отсечки u0 . Поэтому для малых сигналов

лучшие результаты дает второй метод угла отсечки – для кусочно- параболической аппроксимации (5). Для этого метода сохраняется формула

(8) для расчета cosθ (c заменой u0 на новое):

где коэффициенты Берга αn (θ) учитывают режим работы.

Известны другие варианты метода угла отсечки, когда амплитуды гармоник находят не через imax, а через амплитуду входного напряжения Um.

Так третий вариант метода угла отсечки рассчитан на кусочно-

линейную аппроксимацию (4) и коэффициенты Берга с другой нормировкой

– γ (θ). Для третьего метода угла отсечки амплитуды гармоник находятся по формулам:

Четвертый вариант метода угла отсечки рассчитан на кусочно-

параболическую аппроксимацию (5) и соответствующие коэффициенты Берга с другими параметрами γ (θ) и своей крутизной – S*:

Методы трех и пяти ординат. Эти методы вообще не требуют аппроксимации ВАХ. По графикам реальной ВАХ и входного воздействия (моногармонический сигнал с заданной амплитудой и смещением) находят три (или пять) значений тока, по которым путем простейших расчетов находят амплитуды гармоник. Рассмотрим метод трех ординат рис. 4. Запишем усеченный ряд Фурье для первых трех гармоник:

i ≈ I0 + Im1 cosω 0t + Im2 cos2ω 0t.

Рис. 4. К выводу метода трех ординат Подставляя в эти уравнения значения трех координат (1, 2 и 3) из

графика (рис.4), получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными

токами I0 , Im1 и Im2.

Так для точки 1: ω0t=0; i1=imax; imax= I0 + Im1 + Im2; для точки 2: ω0t=π/2; i2=iп (ток покоя); iп= I0 - Im2; для точки 3: ω0t=π; i3= iмин; iмин= I0 - Im1 + Im2.

Решая систему уравнений, получим:

I0 = imax + imin + 2iΠ ,

4

Im1 = imax − imin ,

2

I = imax + imin − 2iΠ . 0 4

Достоинство этого метода – простота, однако точность невысокая. Более точным является метод пяти ординат, к тому же дающий возможность расчета ещё двух гармоник – третьей и четвертой.

Приложение 4

К лабораторной работе № 7

Умножение частоты

Наличие в составе тока усилителя, работающего в нелинейном режиме, гармоник, кратных основной частоте возбуждения, позволяет использовать его в качестве умножителя частоты. Для этого необходимо настроить нагрузочный колебательный контур на частоту выделяемой гармоники.

При нелинейном преобразовании моногармонического сигнала спектр тока нелинейного элемента содержит ряд гармоник (теоретически их число бесконечно), амплитуды которых могут быть рассчитаны, например, методом угла отсечки. Учитывая, что графики коэффициентов Берга имеют четко выраженные максимумы (рис. 3), можно определить оптимальные углы отсечки, соответствующие этим максимумам. Из графиков коэффициентов Берга αn (θ) следует, что θопт=1200/n, где n – номер гармоники. Следует

обратить внимание на тот факт, что при других нормировках коэффициентов Берга формула θопт будет иная; например, для γn (θ), θопт=1800/n. При

правильно выбранном угле отсечки амплитуда n-й гармоники достигает максимума (оптимальный режим умножителя частоты).

напряжение смещения (рис. 1), если задана амплитуда входного сигнала Um, либо наоборот, исходя из выражения

Для выделения нужной гармоники из сложного спектра тока можно использовать фильтр, в простейшем варианте – параллельный колебательный контур, настроенный на частоту нужной гармоники. Имея спектр тока и частотную характеристику контура zн(w), можно легко рассчитать спектр выходного напряжения.

Пусть, например, требуется выделить третью гармонику (n=3) входного сигнала с частотой w0 (рис. 1). Амплитуды гармоник выходного напряжения могут быть рассчитаны на основании закона Ома. Так, для третьей гармоники сопротивление нагрузки (LC контура) будет максимальным (это частота резонанса в контуре) zн(wр) = zн(3w0) = rQ , где r=ÖL/C – характеристическое сопротивление, а Q – добротность. Амплитуда третьей гармоники напряжения:

Um3 = Im3 zн (3w0) = Im3 r Q

Рис. 1. К построению спектра выходного напряжения

Частотная зависимость модуля полного сопротивления параллельного колебательного контура от частоты определяется формулой:

Подставляя вместо w частоты соседних гармоник, определим zн(w0), zн(2w0) и т. д. Амплитуда любой гармоники напряжения на контуре:

Umn = Imnzн(nw0).

В случае, когда добротность велика, спектр выходного напряжения

будет состоять практически из одной третьей гармоники и форма выходного напряжения будет практически синусоидальной. Присутствие соседних гармоник обуславливает искажения формы выходного сигнала, которые могут быть количественно оценены коэффициентом гармоник:

Здесь РНЕЛ – суммарная мощность продуктов нелинейности (соседних гармоник c номерами 1, 2, 4, ..), а РПОЛ – мощность полезной составляющей (третьей гармоники). Для рассматриваемого случая коэффициент гармоник равен:

Нелинейное резонансное усиление можно рассматривать как частный случай умножения частоты на при n=1.

Рассмотрим КПД резонансного усилительного каскада

η = P1 ,

P0

где Р1 – мощность первой гармоники сигнала (полезный сигнал); Р0 – мощность, потребляемая от источника питания.

Для гармонического сигнала:

P1 = 12 Im1Um1 = 21 α1 (θ)imaxUm1 .

Для источника питания устройства:

P0 = I0 E = α 0 (θ)imax E .

При максимальной амплитуде Um1 КПД также будет максимальным

учитывая, что при максимальной амплитуде сигнала Um1≈E – напряжению питания, то

Для линейного режима работы (θ=1800), α1 (1800)=α 0 (1800)= 21 ; ηmax = 12 ; т. е. 50% мощности источника питания преобразуется в тепло.

Таким образом, усилительные каскады, работающие в нелинейном режиме, обладают большим КПД, что особенно важно в оконечных каскадах