ТФКП и операционные исчисления
.pdf61. Разложить в ряд по степеням
ге z < 1 .
62. Разложить в ряд по степеням
0 < z < 2 .
63. Разложить в ряд по степеням
ласти 1 < z +1 < ∞ .
z |
функцию |
f (z) = |
|
|
1 |
|
|
в кру- |
||
(z − 2)2 |
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
z |
функцию f (z) = |
|
|
в |
кольце |
|||||
z(z − 2) |
||||||||||
z+1 функцию |
f (z) = |
|
z −1 |
|
в об- |
|||||
|
z(z + 2) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
64. Разложить в ряд по степеням |
z следующие функции: |
||
1) |
f (z) = cos2z ; |
2) |
f (z) = sin(2z −1). |
65. Разложить в ряд по степеням |
z –a следующие функции: |
||
1) |
f (z) = e3z−2 , a=1; |
2) |
f (z) = sin(z + i), a=i; |
3)f (z) = z cos2z ; a=1;
4)f (z) = z 5 − z 3 + 2z − 3, a = 2 .
|
|
|
|
|
|
|
Часть Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
66. Разложить в ряд Тейлора по степеням z |
функцию |
f (z) = |
|
z |
, ис- |
||||||||||||||||
|
z2 + i |
||||||||||||||||||||
пользуя готовое разложение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
67. Разложить в ряд Тейлора по степеням z |
функцию |
f (z) = |
|
, ис- |
|||||||||||||||||
|
4 − z2 |
||||||||||||||||||||
пользуя готовое разложение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
68. Разложить в ряд Лорана в области 0 < |
|
z − a |
|
< ∞ следующие функции: |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
f (z) = (z +1)sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
f (z) = e |
z2 |
, a=0; |
|
2) |
|
, a=-1; |
|
|
|
|||||||||||
1 |
z +1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
f (z) = (z + i) |
2 |
cos |
, a=-i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
z + i |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
69. Разложить в ряд |
по степеням |
z функцию |
f (z) = |
|
|
в области |
|||||||||||||||
z(z + 2) |
|
z < 1.
9
70. Разложить в ряд |
по степеням |
z |
функцию |
f (z) = |
|
z + 1 |
; |
в |
||||
z2 − 3z + 2 |
||||||||||||
области 2 < |
|
z |
|
< ∞ . |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
71. Разложить в ряд |
по степеням |
z–2 |
функцию |
f (z) = |
|
в |
||||||
(z +1)(z − 2)2 |
области z −1 < 3 .
Изолированные особые точки аналитической функции комплексной пе-
ременной и их вычеты
|
|
Часть А |
|
72. Найти нули функции и указать их порядок: |
|||
1) |
f (z) = (z3 − 1)2 ; |
2) |
f (z) = sin 2z ; |
3) |
f (z) = ctg 2 z ; |
4) |
f (z) = (z2 + 4z + 4)3 . |
73. Найти особые точки, выяснить их тип и вычислить вычеты относи-
тельно особых точек следующих функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
f (z) = |
|
|
|
|
|
z |
2) f (z) = |
|
z2 +1 |
|
|
|
|
|||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||
|
|
(z +1)(z − 3) |
z(1− z) |
|
|
|
|||||||||||||||||
3) |
f (z) = |
z + 1 |
|
; |
|
|
|
4) |
f (z) = |
|
cos z |
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − 2 |
|
|
|
|
||||||
5) |
f (z) = |
1 |
|
|
|
|
; |
6) f (z) = |
|
|
|
sin 3z |
|
; |
|||||||||
|
|
z3 + z |
|
(z − πi)3 |
|||||||||||||||||||
|
f (z) = |
z2 |
|
|
|
|
|
|
8) f (z) = e |
z |
|
|
|
|
|||||||||
7) |
|
|
|
; |
|
1−z |
; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
ez + 3 |
|
|
|
|
|
z + 2 |
|
|
|
|
|||||||||
9) |
f (z) = |
|
|
z |
|
|
; |
|
|
|
10) |
f (z) = |
|
|
|
|
; |
||||||
|
|
sin z |
|
|
|
|
|
z5 − z3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
z− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|||
11) |
f (z) = e |
z |
; |
|
12) |
f (z) = |
|
. |
|||||||||||||||
|
(z2 +1)2 |
10
Часть Б
74. Найти особые точки, выяснить их тип и вычислить вычеты относи-
тельно особых точек следующих функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1) |
f (z) = |
z + 4 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
2) f (z) = |
|
|
|
|
|
|
z - i |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||
z2 + 2z - 8 |
|
|
|
|
|
(z + i)(z - 2i) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
f (z) = |
|
|
2z2 +1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
4) f (z) = |
|
|
2z + 5 |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
(z - 2)3 |
|
|
|
|
|
|
|
z4 |
- 4z2 + 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5) |
f (z) = |
|
|
z + 2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
6) f (z) = |
|
|
|
|
|
|
|
cos 2z |
|
|
|
; |
||||||||||||||||||
|
|
(z2 -1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
- |
|
π |
öæ |
- |
π |
ö2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç z |
|
4 |
֍ z |
2 |
÷ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
øè |
|
ø |
|
|||||||
7) |
f (z) = |
|
|
sin z |
|
; |
|
|
|
8) |
|
|
|
f (z) = sin |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
z2 (z - π ) |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Вычисление интегралов с помощью вычетов |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
75. Вычислить следующие интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
cos z dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1) |
ò |
|
|
|
|
2z + i |
dz ; |
2) |
ò |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
z(z - i) |
|
z |
2 |
- 2z - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
z −i |
|
=1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
ò |
|
|
|
z2 - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
dz ; |
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
z(z + 2i)2 |
|
|
|
|
|
|
|
(z +1)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + 2 |
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ò |
|
|
|
sin z |
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
z2 + z -1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
dz ; |
6) |
|
|
|
|
|
|
dz ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
(z - 2i)3 |
=2 |
|
|
z2 (z -1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z−1+i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
76. Вычислить интеграл |
ò |
z dz |
, |
где L |
|
– прямоугольник с вершина- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos z |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ми в точках: z1 = -i ; z2 = 2 - i ; z3 = 2 + i ; |
|
|
z4 |
|
|
= i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
77. Вычислить следующие интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
ò |
|
|
|
2z + i |
|
|
|
|
|
|
|
òz |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
dz ; |
|
|
2) |
|
|
e z dz ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
z3 |
+ z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
z |
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
iπz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
z |
|
πi |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz ; |
|
|
|
|
|
|
4) |
|
|
òe |
|
z |
+1 |
|
dz ; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
z(z2 |
|
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z −i |
=1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5) |
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
z dz |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sin z(1- cos z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
z |
|
=5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
78. Вычислить следующие несобственные интегралы: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
x |
2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1) ò |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
ò |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(x2 + 25)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 +16)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
4) ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x2 - 2x +10 |
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + 2x + 2)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
79. Вычислить следующие интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
(z +1)dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
z2 - 2 |
|
|
dz ; |
|
|||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
=4 |
|
z2 + 3z - 4 |
|
|
|
|
|
|
z |
(z + i)(z - 3)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
z - i |
|
dz ; |
|
|
|
|
4) |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z dz |
|
|
; |
|||||||||||||||
|
|
=1 |
(z +1)(z - 2i)2 |
|
|
|
|
=2 |
(z + 2)2 (z - 3)3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z −2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos z dz |
|
|
|
|||||||||
5) òe1−z dz ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|
|
ò |
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
π |
ö2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − |
π |
=2 |
|
zç z |
- |
2 |
÷ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òz +1
7)z−i =1 z 2 - iz + 2(z - i)dz .
80. Вычислить интеграл |
ò |
ezi dz |
; |
|
где |
L |
– |
ромб с вершинами в точках: |
|||
sin 2z |
|
||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
||||
z1 = 2 ; z2 = i ; z3 = -2 ; z4 = -i . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
81. Вычислить интеграл |
òz sin |
|
|
dz , |
где |
L |
– |
прямоугольник с верши- |
|||
z2 |
|||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
||||
нами в точках: z1 = 1 + i ; |
z2 = -1 + i ; |
z3 = 1 - 2i ; |
z4 = -1 - 2i . |
12
82. Вычислить следующие несобственные интегралы:
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
dx |
|
1) ò |
|
|
|
; |
|
|
2) ò |
|
|
|
; |
||||
|
(x2 +1)3 |
|
|
|
|
x2 - 2x + 50 |
|||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
xdx |
|
|
|
∞ x |
2 +1 |
|
|||||
3) ò |
|
|
|
|
|
|
; |
4) ò |
|
|
|
|
dx |
|
|
(x |
2 |
+ 4x +13) |
2 |
|
x |
4 |
|
|
|||||||
−∞ |
|
|
|
0 |
|
|
|
+1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция-оригинал. Нахождение изображений по заданному оригиналу
Часть А
83. Какие из данных функций являются оригиналами (первое свойство функции- оригинала считается выполненным):
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1) ln(t + 3) ; 2) |
|
; 3) cost2 ; |
4) e t |
3 |
. |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||
t2 |
- 4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
84. Найти |
изображение функций, используя определение преобразования |
||||||||
Лапласа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) f (t) = t +1 ; |
|
|
ì2 - t, |
0 < t £ 2; |
|||||
|
2) f (t) = í |
|
|
t > 2. |
|||||
|
|
|
|
|
î 0, |
|
|
||
85. Пользуясь теоремой смещения, найти изображения функций: |
|||||||||
1) |
f (t) = e3tch2t; |
|
2) |
f (t) = e−2t cos2 t; |
|
|
|||
3) |
f (t) = e−0,5tt2; |
|
4) |
f (t) = sh2t sin 4t . |
|
|
86. Пользуясь теоремой дифференцирования изображения, найти изобра-
жения функций: |
|
f (t) = tshωt; |
|
1) |
f (t) = tch3t; |
2) |
|
3) |
f (t) = t2e2t ; |
4) |
f (t) = t 2 sin 4t . |
87. Пользуясь теоремой интегрирования изображения, найти изображения
функций: |
|
e−at |
|
|
|
|
2 t |
|
1) |
f (t) = |
sin t |
; |
2) f (t) = |
sin |
; |
||
t |
|
t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
f (t) = |
e2t - e4t |
|
. |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
88. Пользуясь теоремой запаздывания, найти изображения функций:
1) f (t - 4) = et−4; |
æ |
π ö |
æ |
π ö |
||
2) f çt - |
8 |
÷ |
= sinç2t - |
4 |
÷; |
|
|
è |
ø |
è |
ø |
13
|
æ |
4 |
ö |
|
|
3) f (t − 2,5) = ch(2t − 5); |
4) f çt - |
|
÷ |
= sh(3t - 4) . |
|
3 |
|||||
|
è |
ø |
|
89. Пользуясь теоремой дифференцирования оригинала, найти изображе-
ния f ′(t) , если: |
|
|
|
1) |
f (t) = cos 2t + t sin 2t; |
2) f (t) = sin2 t; |
|
3) |
f (t) = e−3t cost; |
4) |
f (t) = tsh4t . |
90. Найти изображения дифференциальных выражений: |
|||
1) |
x′′(t) + 4x′(t) + 2x(t) , |
x(0) = 1, |
x′(0) = -2 ; |
2) |
2x′′′(t) - 3x′′(t) +1, |
x(0) = -1, |
x′(0) = 1, x′′(0) = 0 . |
91. Пользуясь теоремой умножения изображения, найти изображения функций:
t |
t |
1) f (t) = òcos 2(t -τ ) chτ dτ ; |
2) f (t) = ò(t -τ )2 sin 3τ dτ ; |
0 |
0 |
t |
|
3) f (t) = òe−2(t−τ ) (1- 2τ )dτ .
0
92. Найти изображения функций, заданных графически:
Часть Б
93.Найти изображения функций:
1)f (t) = 2e−t cos 2t - 0,5sin 2t;
3) |
f (t) = |
sin 2t |
- |
t cos 2t |
; |
|
|
|
|||||
|
4 |
2 |
|
|||
5) |
f (t) = e−2t sin 4t sin 3t; |
|||||
7) |
f (t) = t2 (et |
- sht)cos3t; |
2)f (t) = cht cos 4t;
4)f (t) = 32 t3e−2t ;
6)f (t) = te2t sin 3t;
8)f (t - 2) = 0,5(t - 2)et−2 ;
14
9) |
f (t − 2) = e−2t cos 4(t − 2); |
10) |
f (t) = |
sh2t |
; |
|
|||
|
t |
|
|||||||
|
|
1− eat |
|
|
|
|
|
|
|
11) |
f (t) = |
; |
12) |
f (t) = |
|
cosbt − cos at |
; |
||
tet |
|
|
t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
13) |
f (t) = ò(t −τ ) cos2 τ dτ ; |
14) |
f (t) = òsh(t −τ )e−4τ dτ . |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
94.Найти изображения функций, заданных графически:
Нахождение оригиналов по заданному изображению
|
|
|
|
Часть А |
|
|
|
|
|
|||
95. Найти оригиналы для заданных функций: |
|
p − 2 |
|
|||||||||
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
1) F( p) = |
|
+ |
|
|
; |
2) F( p) = |
|
|
|
|
; |
|
p2 + 4 |
p2 + 9 |
p2 − 4 p +13 |
||||||||||
3) F( p) = |
1 |
|
|
|
4) F( p) = |
|
|
p −1 |
|
|||
|
; |
|
|
. |
|
|||||||
p2 − 4 p + 20 |
|
p2 + 6 p +13 |
|
96. Используя теорему запаздывания, найти оригиналы для заданных
функций: |
e−2 p |
|
e−3 p |
|
e− p p |
|
||
|
|
|
|
|||||
1) F( p) = |
|
; 2) F( p) = |
|
|
; 3) F( p) = |
|
|
. |
|
p + 5 |
|
p2 |
+1 |
p2 |
+ 3p + 2 |
|
97. Используя разложение дробей на простейшие, найти оригиналы для
заданных функций: |
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
1) F( p) = |
p +1 |
; |
2) F( p) = |
+1 |
|
; |
||
p( p + 2) |
p( p +1)( p |
+ 2) |
||||||
|
|
|
|
15
3) F( p) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) F( p) = |
p − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p2 ( p +1) |
|
|
|
|
|
|
|
p3 + 4 p2 + 4 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
98. Найти оригиналы для изображений с помощью теории вычетов: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1) F( p) = |
|
|
p + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
2) F( p) = |
|
p2 + 2 |
|
; |
|
|
||||||||||||||
( p +1)( p2 + 2 p − |
3) |
|
|
( p −1)( p2 |
+ 4) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3) F( p) = |
|
p + 4 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
4) F( p) = |
|
2 p −1 |
|
; |
|
|
||||||||||||||||
p3 − 4 p2 + 5 p |
|
|
|
|
|
|
( p −1)2 ( p − 2) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
5) F( p) = |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
6) F( p) = |
|
p3 + 2 p + 2 |
. |
|
|
|
||||||||||||
( p +1)2 ( p2 + |
4) |
|
|
|
|
p3( p +1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
99. Найти оригиналы для заданных изображений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) F( p) = |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
2) F( p) = |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
p2 − 9 |
|
p2 −16 |
|
|
p2 + 4 p + 7 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3) F( p) = |
|
3p −1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) F( p) = |
4 − p − p2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
p2 − 4 p + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 − p2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5) F( p) = |
|
e− p ( p +1) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
6) F( p) = |
|
|
|
e−2 p p |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||
p2 − 2 p + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 4 p + 20 |
|
|
|
|
|||||||||||||
7) F( p) = |
|
p −1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
8) F( p) = |
|
|
|
|
p2 +1 |
|
|
|
; |
||||||||||
p4 + 5 p2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
( p +1)( p + 3)( p + 5) |
|||||||||||||||||||||||||
9) F( p) = |
|
|
|
|
2 p − 3 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( p2 + 4 p + 3)( p2 + 6 p + 8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
10) F( p) = |
|
p + 2 |
|
|
|
; |
|
|
11) F( p) = |
|
|
|
2 p2 − p −1 |
|
; |
|
|||||||||||||||||
|
p3 + 6 p2 + 9 p |
|
|
|
p3 + 2 p2 + 2 p +1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
12) F( p) = |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
( p −1)3 ( p +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
Приложения операционного исчисления
Часть А
100. Решить дифференциальные уравнения при заданных начальных усло- виях:
1) |
x¢¢ - 3x¢ + 2x = 2e3t , x(0) = 1, |
x′(0) = 3 ; |
|
|
||||||||||||
2) |
x′′ - x′ = 2(1- t) , |
x(0) = 0 , |
|
x′(0) = 0 ; |
|
|
||||||||||
3) |
x¢¢ + 2x¢ + x = te−t , |
x(0) = -1 , |
x′(0) = 0 ; |
|
|
|||||||||||
4) |
x′′ - 2x′ + 2x = 2t , |
x(0) |
= 0 , |
x′(0) = -1; |
|
|
||||||||||
5) |
x¢¢ + x¢ = t3 + 6t , |
|
x(0) = 0 , |
|
x′(0) = 0 ; |
|
|
|
||||||||
6) |
2x′′ + 3x′ = 2sin t , |
x(0) = 0 , |
x′(0) = -1; |
|
|
|||||||||||
7) |
x′′ - 9x = sht , |
x(0) = -1 , |
x′(0) = 3 ; |
|
|
|
||||||||||
|
|
¢¢ - |
|
¢ = |
ì −t |
, |
0 |
< t < 1 |
|
|
|
= |
|
′ |
= |
|
8) |
x |
x |
ïe |
, |
x(0) |
0 , |
0 ; |
|||||||||
|
|
í |
|
|
|
|
x (0) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
ï |
|
|
t ³ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) x¢¢¢ - x¢¢ = 10e2t , x(0) = 0 , x′(0) = 0 , x′′(0) = 0 ;
10) x¢¢¢ - 3x¢¢ + 3x¢ - x = et , x(0) = 1, x′(0) = -1, x′′(0) = 1 .
101. Решить систему дифференциальных уравнений при заданных на-
чальных условиях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
ìx¢ |
= x + 2y, |
|
|
x(0) = 0 , |
y(0) = 5 ; |
|
|
|
|||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
îy¢ = 2x + y +1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
ìx¢¢ - y¢ = 0, |
|
|
x(0) |
= - |
1 , |
|
′ |
= |
y(0) |
= |
′ |
= - |
|||
í |
|
|
|
|
|
x (0) |
|
|
y (0) |
1 ; |
||||||
|
îx - y¢¢ = 2sin t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ì |
|
- x + y = 1,5t |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
ïx¢ |
|
x(0) |
= 0 , y(0) = 0 . |
|
|
|
|||||||||
í |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ï |
+ 4x + 2y = 4t +1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
îy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
102. Решить интегральные уравнения типа свертки: |
|
|||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
1) |
òcos(t -τ )x(τ )dτ = sht ; |
|
|
|
2) |
òe−(t−τ ) x(τ )dτ = sin t ; |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
3) |
t - ò(t -τ )x(τ )dτ = x(t) ; |
|
|
|
4) |
òsh(t -τ )x(τ )dτ = 1- cost ; |
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
òch(t -τ )x(τ )dτ = cht - cost ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
Часть Б
103. Решить дифференциальные уравнения при заданных начальных ус- ловиях:
1) |
x¢¢ + x¢ - 2x = e−t , |
x(0) |
= 0 , x′(0) = 1 ; |
|
|
|
||||||||||
2) |
x¢¢ + 4x¢ + 4x = t3e−2t |
, |
x(0) = 1, |
x′(0) = 2 ; |
|
|
||||||||||
3) |
x¢¢ - 2x¢ = et (t2 + t - 3) , |
x(0) = 2 , |
x′(0) = 2 ; |
|
|
|||||||||||
4) |
x¢¢ + 2x¢ + 2x = 2e−t sin t , |
x(0) = 1, |
x′(0) = 1 ; |
|
|
|||||||||||
5) |
x¢¢ + x¢ = sin t - 2e−t , |
x(0) = 0 , |
x′(0) = 0 ; |
|
|
|||||||||||
6) |
x¢¢¢ - x¢ = 3(2 - t2 ) , |
x(0) = x′(0) = x′′(0) |
= 1 ; |
|
|
|||||||||||
8) |
x |
¢¢ + |
2x |
+ |
x |
¢ = ì1, 0 < t < 2 |
|
, |
x(0) |
= |
′ |
= |
0 ; |
|||
|
|
í |
|
t ³ |
2 |
|
0 , x (0) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
î3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
104. Решить систему дифференциальных уравнений при заданных началь-
ных условиях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
ìx¢ |
- y¢ - 2x + 2y = 1- 2t, |
x(0) |
= |
y(0) |
= |
′ |
= |
0 ; |
||||||
í |
+ 2x¢ + x = 0; |
|
|
|
y (0) |
|
|||||||||
|
îx¢¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ì |
|
|
|
t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
ïx¢ |
+ y¢ - y = e |
x(0) |
= y(0) |
= 0 ; |
|
|
|
|
||||||
í |
¢ |
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ï |
+ y |
+ 2y = cost; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
î2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ìx¢ |
= 2x - y - z, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
ï |
|
|
|
|
|
x(0) = 1, |
y(0) = 1, |
|
z(0) = 0 . |
|||||
íy¢ = x + z, |
|
|
|||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îz¢ = -3x + y - 2z; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
105. Решить интегральные уравнения типа свертки: |
|
||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
1) |
òsh(t -τ )x(τ )dτ = 1- cost ; |
|
|
2) 1+ òet−τ x(τ )dτ = x(t) ; |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
3) t3 + òsin(t -τ )x(τ )dτ = x(t) ; |
|
|
4) |
òcos(t -τ )x(τ )dτ = t cost . |
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
18