Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Baskakov_Nesobstvennye_integraly_2014

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

			r
	∫	+ ∫	+ ∫
CR		Cr	R

Проведем оценки ∫

+	R		Res f (z) + Res f (z) .
+	∫	f (z) dz = 2πi	Res f (z) + Res f (z) .
	∫		z=3i	z=−3i
	r
и ∫		при R → ∞,	r → 0 соответственно:

CR Cr

z ln z

2 π

4 R eiϕ ln R eiϕ Rieiϕdϕ

∫

f (z) dz = ∫

= ∫

+ 9

2iϕ

z=R eiϕ

2 π

0≤ϕ<2π

R1/ 4eiϕ/ 4

(ln R +iϕ)Rieiϕdϕ

∫

2iϕ

2 π

R5/ 4

e5/ 4iϕ(ln R +iϕ)

= ∫i

8/ 4

2iϕ

+9 / R

Откуда

∫ f (z) dz

≤ ∫

f (z)

dz ≤

2π

ln R

2π

dϕ

≤ ∫

dϕ+ ∫

→ 0 , R → ∞,

3/ 4

2iϕ

+9 / R

3/ 4

2iϕ

+9 /

∫ f (z) dz → 0 , R → ∞.

Аналогично можно получить оценку для интеграла по окружности Cr , обозначив z = reiϕ :

2π

r1/ 4e5/4iϕ (ln r + iϕ)

∫

f (z) dz

≤ ∫

dϕ≤

2iϕ

≤ 2∫π

e4iϕ

dϕ+

2∫π

dϕ

→0 , r → 0 .

3/4

2iϕ

0 r

+9 / r

0 r

3/4

e2iϕ +

Далее вычисляем сумму интегралов:

J = ∫r

f (z) dz + ∫R

f (z) dz .

Действительно,

4 xe2πi/4 ln x e2πi

2πi

∫ f (z) dz = ∫

dx =

4πi

xe2πi/4 (ln x + 2πi) dx

= −∫

x ln x dx

4 x dx

= −i ∫

2π ∫

Тогда

+∞

x ln x dx

+∞

x dx

J = (1 −i)

∫

+ 2π

∫

= (1−i)J

+ 2πJ

= 2πi Res f (z) + Res f (z) ,

z=3i

z=−3i

где

c−′1 = Res f (z) =

z ln z

4 3i ln(3i)

z +3i

z=3i

с−′′1

= Res f (z) =

−3i ln(−3i)

z −3i

z=−3i

при этом подсчет c1′

и c−′′1

следует вести на одной и той же ветви

функции f (z) . Проводя вычисление интеграла аналогично примеру 8.3*, находим J1 .

9. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Вычисление несобственных интегралов

Вычислить интегралы.

+∞		xdx
1. ∫		xdx			.
1. ∫	(x	2	+1)	3	.
2	(x		+1)
2

3 x4 +1

	+∞							dx
2.	∫							dx							.
2.	∫		x			x		2		+ x +1					.
	1		x			x				+ x +1
	+∞ arctg x
3.	∫										dx .
3.	∫			x		2					dx .
	1			x
	+∞										dx
4.	∫										dx							.
4.	∫		(4x			2		+1)					x	2	+1			.
	0		(4x					+1)					x		+1
	+∞							dx
5.	∫							dx								.
5.	∫		(		x		2	+1					+ x)		2	.
	0		(		x			+1					+ x)
	1		arccos x
6.	∫												dx .
6.	∫			1 − x							2		dx .
	−1			1 − x
	0,5			dx
7.	∫										.
7.	∫		xln			2		x			.
	0		xln					x
8.	∫0	e1/ x				dx			.
8.	∫0	e1/ x				3			.
	−1					x
9.	π∫/ 4			sin x + cos x													dx .
9.	π∫/ 4		3														dx .
	0			sin x −cos x
		1										dx
10.		∫										dx							.
10.		∫		(1 − x								2							.
		0		(1 − x									)arcsin x

Сходимость и расходимость несобственных интегралов

Признаки сравнения

Исследовать интегралы на сходимость. 11. +∞∫ sin2 3x dx .

+∞

12. ∫1 x3 +sin x dx .

	+∞	ln(1 + x5 )
13.	∫			dx .
		x + x
	0
14.	+∞∫	1	arctg	x	dx .
				2 + x
	0	x

+∞

15.∫0 1+ x2 sin2 x .

16.∫1 cos2 (1/x x) dx .x dx0

17.	∫1		dx	.
17.	∫1	3		.
	0	1− x
	1				3	x	2
18.	∫ln(1+					x		)	dx .
	0		x sin				x
19.	∫1		dx							.
19.	∫1									.
	0		x + arctg x
20.	∫1		dx				.
20.	∫1						.
	−1 ln(1+ x)

Абсолютная и условная сходимость

Исследовать интегралы на абсолютную и условную сходимость.

	+∞	(x −1)sin 2x
21.	∫							dx .
		x	2	− 4x +5
	−∞
22.	+∞∫	sin ln x			dx .

	0			x
	+∞ xα sin x
23.	∫					dx .
		x	3	+1
	1
	1			1			dx
24.	∫0 sin								.
				1− x			1− x

25. ∫1		1	cos	x −1	dx .
25. ∫1			cos		dx .
0	x	x		x

Интеграл в смысле главного значения

Вычислить интегралы.

+∞∫ 13 + x

26. V .P. −∞ 17 + x2 dx .

27.	V .P. +∞∫			dx				.
		x	2	−	3x + 2
	0
28.	V .P. ∫7		dx				.
						3
	−1 (x −1)

4dx

29.V.P. 0,5∫ x ln x .

30. V .P. π∫/ 2	dx	.
	3 −5sin x
0

Вычисление несобственных интегралов с помощью теории вычетов

Вычислить интегралы.

+∞

x2 dx

31.

∫

(a >0) .

+ a

)

+∞

xsin x dx

32.

∫

+ 2x +10

−∞

+∞

33.

∫

dx .

+∞

sin ax

34.

∫

−b

(a > 0, b > 0) .

+∞

xex/ 2

35.

∫

dx .

2 x

−∞ e

x(2 − x)

36.

∫

dx .

x +3

+∞

sin

37.

∫

dx .

+∞ cosln x

38.

∫

dx .

39.

+∞∫

ln x

dx .

x(x +1)

40.

∫

0 (x +1) 3 x

(1− x)

Ответы

1.		1				.
1.	36					.
	36
								+	2
2.	ln				1						.
2.	ln				1				3		.
									3
3.			π		+		ln 2			.
3.	4				+					.
	4							2
4.			π		3			.
4.								.
	9
5.			2	.
5.	3			.
	3
6.			π2
6.	2				.
	2

7.1 . ln 2

8.−e2 .

9. −23 .

10. 2π .

11. Сходится.

12. Сходится.

13. Расходится.

14. Расходится.

15. Расходится.

16. Сходится.

17. Расходится.

18. Сходится.

19. Сходится.

20. Расходится.

21. Сходится условно.

22. Сходится условно.

23. Сходится абсолютно при α < 2 , условно при 2 ≤ α < 3 . 24. Сходится условно.

25. Расходится.

26.		13π .
27.	17
	−ln 2 .
28.		1	.
	9

29.	ln 2 .
30.		−ln 3 .
	4
31.		π		.

		4a
32.		π			(3cos1 +sin1) .
		3e3

33.		π			2 .
	2

34.π e−ab − 1 .

35.−π2 2 .

36.π(4 − 15) .

37.π2 .

38.		π			.
38.		2 ch	π		.
		2 ch	2
			2
			π			1
39.	2π		9		−		.
39.	2π				−		.
						3
40.		π 3 4		.
40.	3			.
	3

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 2-х томах. М.: Высшая школа, 1981.

2.Сборник задач по математическому анализу. Интегралы и ряды / Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин.

М.: Наука, 1986.

3.Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

4.Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: МИФИ, 1972.

5.Сборник задач по теории аналитических функций / Под ред. М.А. Евграфова. М.: Наука, 1969.

6.Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Физматлит, 2002.

7.Методика решения задач повышенной сложности по теории функций комплексного переменного / А.Н. Барменков, Е.В. Сандракова, В.Б. Шерстюков, О.В. Шерстюкова. М.: НИЯУ МИФИ, 2010.

	СОДЕРЖАНИЕ
Основные понятия..............................................................................		3
1.	Основные формулы для вычисления
несобственных интегралов ................................................................		5
2.	Доказательство расходимости интегралов
с помощью критерия Коши................................................................		8
3.	Признаки сравнения.....................................................................	10
4.	Абсолютная и условная сходимость интегралов.
Признаки Дирихле и Абеля .............................................................		15
5.	Исследование сходимости интегралов
с помощью числовых рядов.............................................................		17
6.	Метод выделения главной части..................................................	18
7.	Вычисление несобственных интегралов
с помощью теории вычетов.............................................................		20
8.	Вычисление интегралов, содержащих
многозначные функции....................................................................		33
9.	Задачи для самостоятельного решения........................................	42
Список рекомендуемой литературы................................................		49

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.201964.51 Кб3asd.doc
#
05.06.20152.34 Mб93b0003.pdf
#
27.03.20161.29 Mб114Babalova_Algoritmizaciya_zadach_i_strukturirovanie_programm_2013.pdf
#
05.06.20153.88 Mб16Basharov_mephi86.pdf
#
27.03.2016396.53 Кб19Baskakov_Integraly,zavisyaschie_ot_parametra_2013.pdf
#
05.06.20151.05 Mб12Baskakov_Nesobstvennye_integraly_2014.pdf
#
23.09.2019304.64 Кб4Bazy_dannykh_i_znany.doc
#
02.08.2019341.81 Кб4bcnjhbz.docx
#
09.09.20193.65 Mб12BD_LabPraktikum.docx
#
27.03.20164.94 Mб141Belyaev_Nuclea Physics of Medecine_Study Manual.pdf
#
27.03.20169.02 Mб14BGD_visual_lectures.pdf