Пожаркова_ТАУ_ЛР_9434

71

3 квадранта комплексной плоскости против часовой стрелки, следовательно, замкнутая система устойчива.

В МВТУ построение годографа Михайлова не требует математических вычислений. Модель рассматриваемой САУ (рис.6.1) представлена на рис.6.3.

Рис.6.3

В модели при помощи блоков «В память» указаны входная (g) и выходная (y) величины, необходимые для частотного анализа.

Для построения годографа Михайлова в диалоговом окне «Параметры частотного анализа» (рис.6.4), вызываемом из меню Анализ/Частотный анализ, необходимо выбрать Создать окно/Годографов, затем задать частотный диапазон (поля Начальная частота, Конечная частота), входы и выходы. Далее нажимается кнопка Годограф Михайлова. Полученный в результате расчета годограф приведен на рис.6.5.

6.6.ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА

Данный критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью по виду годографа АФЧХ системы в разомкнутом состоянии.

Порядок применения критерия Найквиста следующий:

1.Записывается передаточная функция разомкнутой системы: WРЦ (p).

2.В передаточной функции разомкнутой системы WРЦ (p) выполняется

замена p j и записывается частотная передаточная функция

WРЦ( j ) U( ) jV( ).

3. Строится годограф WРЦ(j ) на комплексной плоскости.

72

Рассмотрим четыре формулировки критерия Найквиста (для системы в разомкнутом состоянии устойчивой, находящейся на апериодической границе устойчивости, на колебательной границе устойчивости, неустойчивой в разомкнутом состоянии).

1. Если система в разомкнутом состоянии устойчива, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы при изменения частоты от нуля до бесконечности не охватывал точку ( 1; j0). Если годограф охватывает точку ( 1; j0), то система в замкнутом состоянии неустойчива. Если годограф проходит через точку ( 1; j0), то система в замкнутом состоянии находится на колебательной границе устойчивости.

2. Система в разомкнутом состоянии находится на апериодической границе

1

устойчивости, WРЦ(p) W(p). Особенностью таких систем является то, pk

что годограф АФЧХ при 0 имеет модуль, близкий к , а начальную фазу

k . 2

В данном случае годограф дополняется дугой бесконечно большого

формулировка критерия Найквиста (для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии).

3. Система в разомкнутом состоянии находится на колебательной границе

на некоторой частоте 0 модуль АФЧХ стремится к и характеристика

скачком меняет свою фазу на 180 .

В этом случае годограф дополняется дугой бесконечно большого радиуса на угол 180 , затем применяется первая формулировка критерия Найквиста (для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии).

4. В случае, если разомкнутая система неустойчива и имеет m правых корней характеристического уравнения, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии ее годограф должен охватывать точку ( 1; j0) против часовой

стрелки m раз. 2

73

Пример. Оценим устойчивость системы (рис.6.1) в замкнутом состоянии.

Передаточная функция разомкнутой системы:

Построим годограф АФЧХ (рис.6.6):

Рис.6.6 Годограф АФЧХ в разном масштабе

Поскольку система в разомкнутом состоянии находится на апериодической границе устойчивости, для оценки устойчивости по критерию Найквиста, годограф АФЧХ необходимо дополнить дугой

бесконечно большого радиуса на угол против часовой стрелки (рис.6.7). В 2

данном случае годограф не охватывает точку ( 1; j0), следовательно замкнутая система устойчива.

74

2

Рис.6.7

Алгоритм построения годографа АФЧХ в ПК «МВТУ» рассмотрен в разделе 5. Для построения годографа Найквиста используется модель разомкнутой САУ (рис.6.8).

Рис.6.8

Параметры частотного анализа соответствуют рис.6.9. Полученный в результате расчета годограф приведен на рис.6.10.

75

ЗАДАНИЕ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ

При коэффициенте передачи K=1:

1.Оценить устойчивость системы в разомкнутом состоянии.

2.Составить характеристическое уравнение замкнутой системы.

3.Вычислить корни характеристического уравнения и оценить устойчивость замкнутой системы.

4.Составить матрицу Гурвица. Оценить устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица.

5.Записать выражение для годографа Михайлова. Построить годограф Михайлова. Оценить устойчивость замкнутой системы по критерию Михайлова.

6.Записать выражение для АФЧХ разомкнутой системы. Построить годограф АФЧХ. Оценить устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста.

7.Сравнить результаты пп.3-6.

8.Вычислить граничное значение коэффициента передачи K Kгр , из условия нахождения замкнутой системы на колебательной границе устойчивости используя критерии устойчивости Гурвица и Михайлова. Сравнить полученные результаты.

9.Используя критерий Найквиста, вычислить значение коэффициента передачи K из условия обеспечения заданного запаса устойчивости по амплитуде.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

Отчет должен содержать:

76

исходные данные, все промежуточные аналитические выводы, схемы моделей, значения параметров и графики в форматах Mathcad и ПК «МВТУ», в которых должны быть отражены все исследования, проведенные в работе согласно заданию;

выводы по каждому пункту задания, где предполагается проведение исследований;

общие выводы по всей работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Дайте определение устойчивости.

2.Перечислите все известные вам критерии устойчивости.

3.Сформулируйте критерий устойчивости Михайлова.

4.Объясните суть и основные этапы критерия Найквиста.

5.В чем заключается критерий устойчивости Гурвица?

6.Сформулируйте области применения каждого из критериев.

Лабораторная работа №7. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ В ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМАХ

Цель – научиться оценивать качество регулирования, используя прямые и косвенные показатели.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 7.1.ПРЯМЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ

Прямые оценки качества регулирования - это количественные оценки переходных режимов по виду переходной характеристики.

Рассмотрим прямые оценки качества регулирования, пользуясь характеристикой переходного процесса y t отработки единичного ступенчатое задающего воздействия g t 1 t в САУ с единичной отрицательной обратной связью.

1.Время регулирования tр (рис.7.1) – время за которое выходная величина системы y t достигает нового установившегося значения. Учитывая,

что полное затухание в системе происходит лишь при t→∞, длительность переходного процесса ограничивают тем моментом времени, когда регулируемая величина начинает отклоняться от установившегося значения менее чем на 5%:

y(t) yуст 100% 5%.

yуст

77

y(t)

ymax

1.05 yуст

yуст

0.95 yуст

Рис.7.1

Время регулирования tр характеризует быстродействие системы.

2.Перерегулирование (рис.7.1) - равно отношению максимального значения управляемой величины в переходном процессе к установившемуся значению:

ymax yуст 100%.

yуст

Перерегулирование характеризует склонность системы к колебаниям, то есть близость системы к колебательной границе устойчивости. В конечном итоге характеризует запасы устойчивости. Считается, что запас устойчивости достаточен, если лежит в пределах от 10 до 30%.

3.Затухание (рис.7.2) - характеризует быстроту затухания колебательного процесса:

78

y(t)

ymax1 T0

ymax2

yуст

t

Рис.7.2

4. Собственная частота колебаний системы (рис.7.2):

2

0 T0 , где T0 – период собственных колебаний системы.

5.Число колебаний управляемой величины y(t) за время регулирования tр (рис.7.1).

7.2.КОСВЕННЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ

Косвенные оценки качества регулирования позволяют оценить параметры переходной характеристики, не строя ее. Делятся на два вида: корневые и частотные оценки качества регулирования.

1. Корневые оценки качества регулирования:

Степень устойчивости – расстояние до мнимой ближайшего к ней корня характеристического уравнения системы (рис.7.3):

Im Im

79

По степени устойчивости можно приближенно вычислить время регулирования:

порядком числителя.

Колебательность – используется для оценки запаса устойчивости системы:

, - действительная часть ближайшего к мнимой оси корня

характеристического уравнения системы, - мнимая часть ближайшего к мнимой оси корня характеристического уравнения системы (рис.7.4).

Эта величина характеризует быстроту затухания колебаний за каждый

Чем выше колебательность, тем слабее затухание колебаний в переходном процессе.

Необходимо иметь в виду, что при определении качества переходного процесса при единичном скачке задающего воздействия существенны не только корни характеристического уравнения, т.е. полюса, но также и нули передаточной функции замкнутой системы. Поэтому корневые оценки качества регулирования, вычисляемые только по полюсам, дают наихудший результат, по сравнению с прямыми оценками.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ

Для схемы (рис.6.11) и выбранного в п.9 лабораторной работы №6 значения коэффициента передачи K :

1.Построить кривую переходного процесса в замкнутой системе на единичное ступенчатое воздействие g t .

2.По кривой переходного процесса определить время регулирования, перерегулирование и затухание.

3.Вычислить корневые оценки качества регулирования - степень устойчивости и колебательность. С их помощью оценить время регулирования и затухание. Сравнить результаты с полученными при выполнении п.2.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

80

Отчет должен содержать:

исходные данные, все промежуточные аналитические выводы, схемы моделей, значения параметров и графики в форматах Mathcad и ПК «МВТУ», в которых должны быть отражены все исследования, проведенные в работе согласно заданию;

выводы по каждому пункту задания, где предполагается проведение исследований;

общие выводы по всей работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Прямые оценки качества регулирования.

2.Косвенные оценки качества регулирования.

3.Частотные оценки качества регулирования.

4.Интегральные оценки качества регулирования.