глава2

Сепарационная характеристика ε(ξ), так же, как и функции ω(ξ), β(ξ), могут быть представлены графиком, таблицей и формулой.

ξ

Рис. 2.20. Иллюстрация преобразования w- и β-функций при разделении на сепараторе с заданной сепарационной характеристикой исходного продукта на концентрат и хво-

Суть преобразования w- и β-функции при прохождении через сепаратор с известной сепарационной характеристикой и получения концентрата и хвостов показаны на рис. 2.20. Отметим неизменность графиков β-функции и в питании, и в концентрате, и в хвостах.

Формула прогноза для неидеальной сепарации включает в подынтегральном выражении сепарационную характеристику, а пределы интегрирования распространяют на весь диапазон [ξmin, ξmax] и [-∞; +∞].

Фракционный состав концентрата и хвостов рассчитывается согласно формулам:

wк(ξ)= εк(ξ)γγкисх(ξ);

wх(ξ)= εх(ξ)γγхисх(ξ) = [1− εк(ξ)γисх(ξ).

Если известны w(ξ) и β(ξ) исходного материала и ε(ξ) аппарата, легко прогнозируются показатели разделения, рассчитывается фракционный состав концентрата и хвостов.

Рассмотрим случай идеального разделения. Зададим w- и β- функции

руды:

21

wк(ξ)= wисх(ξ)/γк при ξ<ξгp<ξmax.

Применительно к хвостам процедуры аналогичны. Функции βк(ξ), βх(ξ) βисх(ξ) одинаковы для всех продуктов. Вычислим γк и βк для вышерассмотренного примера:

εк = γкβк = 0,44 2,75 = 0,605 д. е.

βисх 2

22

Таблица 2.2. – Расчет технологических показателей

При сепарации частиц со сложным составом (m – компонентов) и различными физическими свойствами (n – физических свойств) основные функции зависят от большего числа аргументов и увеличивается число самих функций:

w(ξ1, ξ2… ξn); β1(ξ1, ξ2… ξn);

………………

βm(ξ1, ξ2… ξn); εк(ξ1, ξ2… ξn),

а для нахождения технологических показателей необходимо многократное интегрирование:

γi = ∫ D...∫εi (ξ1, ξ2 ,... ,ξn ) wисх(ξ1,... ,ξn )dξ1...dξn;

βij = γi−1∫ D...∫βij (ξ1, ξ2 ,... ,ξn ) wисх(ξ1,... ,ξn )dξ1...dξn ,

где D – n-мерная область изменения физических свойств сырья; γi – выход i-го продукта; βij – содержание j-го компонента в i-м продукте.

2.2. Модели, представляемые в аналитическом виде

2.2. 1. Готовые модели-формулы

Не всегда при моделировании нужен этап создания модели. Во многих случаях можно использовать опыт, накопленный предыдущими исследователями. Многие нужные нам для работы модели уже получены и ранее использовались другими.

Это прежде всего фундаментальные физические законы, которые в приложениях можно рассматривать как базовые модели процессов. Можно привести множество примеров. Остановимся лишь на одном. Это второй закон Ньютона:

23

dm v = F, dt

который в обогащении в ряде случаев принимается как модель, описывающая движение частиц. Конкретизация таких моделей позволяет упрощенно описать движение частиц во многих процессах.

Ко второй группе готовых моделей следует отнести формулы, выведенные строго аналитически с использованием физических законов и некоторых идеализирующих допущений. Это, например, возведенные в ранг закона для обогатителей модели свободного падения тел. В одном из вариантов это модель конечной скорости движения крупных частиц (формула Риттингера):

v0=k [d(δ- )

где k – строго определенный числовой коэффициент, величина которого зависит от выбранной системы единиц измерения; d – диаметр сферической частицы; δ и – соответственно плотности частицы и среды разделения.

Существуют выраженные в виде формул модели-гипотезы. Они принимаются для процессов, механизм и закономерности которых недостаточно изучены к настоящему времени, и в то же время существует потребность в количественной связи явлений для построения теории процесса. К таким моделям, несомненно, относятся ставшие уже классическими, но не вышедшие за рамки гипотез законы дробления. В соответствии с законом Кика – Кирпичева работа, затрачиваемая на дробление одного куска, пропорциональна объему данного

куска:

А= kd 3.

Следует отметить, что гипотетический принцип задания моделей в виде уравнений, формул весьма привлекателен при моделировании, и им часто пользуются. Однако следует помнить, что любая гипотеза делает решение частным.

Наконец, известны модели-формулы, полученные предыдущими исследователями экспериментальным путем, однако благодаря многократным проверкам, подтверждающим их справедливость, ставшие общепринятыми.

На наш взгляд, хорошей иллюстрацией сказанного является модель гравитационного разделения Тромпа – Терра. В соответствии с моделью, первоначально выдвинутой на уровне гипотезы о совпадении вида экспериментальных кривых разделения с видом кривой интеграла вероятности Гаусса и многократно экспериментально подтвержденной, вероятность перехода фракции по параметру х в легкий продукт вычисляется по формуле

где х – отклонение средней плотности фракции δфр от плотности разделения δр в единицах среднеквадратического отклонения; ε – извлечение фракции в легкий продукт.

Для разных обогатительных процессов, как известно, отклонение х равно: тяжелосредная сепарация

24

x = δр − δфр 0,675;

Epm

отсадка

где Ерm – среднее вероятное отклонение; I – коэффициент несовершенства. Ерm и I принимают вполне определенные, установленные эксперименталь-

но, числовые значения для конкретных аппаратов и условий разделения (крупность, фракционный состав и т. п.).

Модели-формулы обычно сравнительно просты, доступны для понимания, удобны для использования и поэтому широко применяются.

2.2.2. Матричные модели

При необходимости рассмотрения множества моделей, каждая которых описывает лишь некоторую часть рассматриваемой системы как единого целого, удобно использовать матричные модели. Их применяют также при замене непрерывной, но точно не поддающейся описанию формулой зависимости дискретными функциями. Такой переход прост, достаточно точен, применим к экспериментальным зависимостям произвольного вида без специальной предварительной математической обработки (без получения описывающих экспериментальные зависимости теоретических формул).

Например, в матричном виде можно записать гранулометрический состав продуктов и основные операции, его видоизменяющие. По нижеприведенным формулам от гранулометрического состава питания после обработки исходного продукта по сколь угодно сложным схемам можно прийти к гранулометрическому составу конечных продуктов.

Далее приведены формулы грансостава продуктов и основных операций в матричном виде.

Вектор исходного питания: D=(d1j, d2j,… dij,… dnj), где dij – масса i-го (i = 1, n ), класса в питании, n – число классов крупности.

В матричном виде

d11d21

D = d31 .

...dn1

Если j – индекс продукта ( j = 1, m ), то для питания j =1.

25

Матрицы технологических операций

Дробление в т-й стадии [dm]= А·[dk], где А – матрица содержаний классов по типовой характеристике дробленого продукта, или

где т – индекс дробленого продукта т-й стадии; в общем случае, если m=j, k – индекс исходного для m-й стадии продукта, то k= j-1.

Грохочение.

Для надрешетного продукта [dv]= H·[dl], или

где H – диагональная матрица с элементами 1 до размера отверстий просеивающей поверхности, (1-e) – начиная с размера отверстий просеивающей поверхности; v – индекс надрешетного продукта; l – индекс питания операции грохочения; e – эффективность грохочения.

В общем случае, если l = j, v = j+1. Уравнения баланса грохочения:

Питание Подрешетный Надрешетный

где w – индекс подрешетного продукта.

Смесь Питание

26

где t, t+1, t+2, … - индексы смешиваемых продуктов; r – индекс результирующего продукта.

Разделитель Питание Выделенный

где y – доля выделяемого p-го потока к исходному h-му.

Роль матричных моделей в последнее время возрастает в связи с распространением использования вычислений на ЭВМ, для которых ввод информации в численном дискретном виде весьма удобен.

2.2.3. Модели массообмена

Динамика многих обогатительных аппаратов определяется главным образом процессами перемешивания и переноса частиц вещества в движущейся пульпе. В одних аппаратах преобладает направленное перемещение, в других – перемешивание, в третьих эти процессы совмещаются.

Вот несколько важнейших моделей идеальных процессов. Идеальное смешение (равномерное распределение концентрации в объеме):

dC = q [Cвх (t) − C(t)], dt V

где q– объемный расход материала; Свх – концентрация вещества на входе в аппарат; С – концентрация вещества внутри аппарата и на его выходе; t – время; V – объем аппарата.

Идеальное вытеснение (течение без перемешивания вдоль потока):

∂C = −v ∂C , ∂t ∂l

где v – линейная скорость движения в направлении l.

Диффузионное перемешивание (выравнивание концентраций с неравномерным распределением вещества в объеме):

совмещение идеального смешения и выноса из емкости:

dC = q [Cвх(t) − C(t)]± С(t)k, dt V

27

где k – коэффициент пропорциональности; знак (–) означает удаление из емкости, знак (+) – внесение в емкость.

Рассмотрим получение модели массообмена на примере. Пусть в аппарате преобладает направленное движение материала вдоль оси координат l и одновременно существует градиент концентрации вдоль оси l, благодаря которому возникает диффузионный поток частиц, величина которого пропорциональна градиенту концентрации (рис. 2.22). Будем полагать, что концентрация частиц в каждом сечении потока одинакова. Тогда концентрация – функция двух переменных C(l, t).

Модели массообмена широко используются в исследованиях процессов обогащения, в частности, при получении кинетических уравнений. Они применимы к описанию процессов в аппаратах, представляющих гидравлические емкости, через которые непрерывно протекает пульпа. К таким аппаратам относятся флотационные и отсадочные машины, барабанные мельницы, классификаторы, смесители и т. д.

2.2.4. Кинетические модели

Этот класс моделей описывает скорости и механизм протекания процессов. Общей закономерностью многих процессов обогатительной технологии является кинетика. Кривые кинетики обогатительных процессов обычно отражают изменение массы исходного (первоначального) продукта по мере протекания процесса во времени и имеют общий характер типа экспоненты.

В простейшем случае можно предположить, что скорость убывания массы в некоем объеме при переходе ее части в новое состояние (извлечение в

28

концентрат, измельчение крупных кусков на более мелкие и т. п.) пропорциональна массе материала М, оставшегося в первоначальном состоянии:

dMdt = −kM,

где k – кинетическая константа.

Знак минус указывает на убывание массы.

Это дифференциальное уравнение кинетики первого порядка. Его инте-

грирование дает экспоненциальное уравнение вида: Мt=М0е-kt,

где М0 – первоначальная масса продукта: Мt – масса продукта к моменту времени t.

Полученное уравнение – наиболее простое из уравнений кинетики. Но оно из-за простоты имеет и существенный недостаток, а именно: справедливо лишь на ограниченном участке кинетической кривой, поскольку константа кинетики, в силу множества влияющих на нее факторов, не является при протекании процесса величиной постоянной.

Так, если допустить, что константа k изменяется пропорционально массе

извлекаемого материала в текущий момент времени k = k′Mn , получится дифференциальное уравнение:

dM

dt

где k′ – постоянный коэффициент; n – показатель степени, обычно определяемый экспериментально и меняющийся от 1 до 6. При интегрировании получаем:

Mt = (M0− n + k′ n t)−1/ n.

Недостаток данного двухпараметрического уравнения – в трудности его анализа и определения коэффициентов k′ и п, так как оно не линеаризуется относительно них.

Существуют универсальные уравнения, полно описывающие любой процесс, например, четырехпараметрическое уравнение типа:

dMdt = A(M0 ) tm e−ktn .

При различных значениях параметров А, k, m, п, кривая, описываемая уравнением, принимает различный вид. Оно также на практике мало применимо из-за трудностей определения коэффициентов.

Удовлетворительную для практики обогащения точность при относительной простоте имеет экспоненциально-степенное уравнение кинетики вида

Mt = M0e−ktn .

Л. П. Шуповым выведено уравнение кинетики передела, пригодное для инженерных расчетов, с учетом нереагируемого пассивного остатка Мt=∞= М0*:

(Mt − M*0 ) = (M0 − M*0 )e−ktn ,

где k и п – параметры; k характеризует вероятность изменения состояния частиц (извлечение в продукт, переход в другую крупность при измельчении).

29

Для большинства процессов п близко к 1, обычно 0,5 ≤ п ≤1,5.

При выборе нужного вида модели кинетики идут либо по пути ее экспериментального получения и дальнейшего подбора нужного вида уравнения, исходя из требований точности описания, либо по пути обоснования вида уравнения, исходя из логических предпосылок о механизме процесса.

Особое значение приобретают модели кинетики измельчения, описывающие измельчение во времени не контрольного класса, а гранулометрической характеристики материала.

Предпосылками создания моделей кинетики измельчения с использованием распределений по крупности продуктов явились идеи А. И. Загустина. В основе подхода лежит положение: скорость уменьшения массы какого-либо класса крупности пропорциональна массе этого класса:

dM+ d = f (d )M+ d , dt

где M+d – масса класса +d, а функция f(d)=ad линейна.

В результате единичного акта дробления (удара) образуется продукт,

имеющий распределение

R –=(d/d0)k+1,

С использованием этого положения выведено уравнение плотности распределения продукта по крупности после разрушения на основе функции распределения крупности исходного материала F0(d0). Практическое применение из-за сложности в общем виде нашли лишь частные уравнения. Так, при k≈0

уравнение имеет вид:

R +=F0(d)e-atd,

где t – время измельчения; a – коэффициент пропорциональности.

При F0(d)=А=const, учитывая at=a1,

R+ = Ae−a1d ,

что соответствует уравнению Розина-Раммлера с показателем степени при d, раном единице, и характеризует гранулометрический состав продуктов дробления или измельчения.

При переходе к дискретной форме задания функции размеров частиц скорость изменения массы Mi материала класса крупности i может быть получена с использованием материального баланса (модель получена Хорстом и Фри):

где k – константы скорости разрушения первого порядка; aij – коэффициенты перехода массы материала из класса i в класс j.

Коэффициенты k и aij играют ту же роль, что и функции разрушения и отбора в матричных моделях сокращения крупности.

Отметим, что кинетические модели используют обычно для процессов, протекающих в аппаратах значительного объема (флотомашины, мельницы, отсадочные машины), результаты функционирования которых связаны с многократными элементарными событиями вероятностного характера. Для аппаратов

30