ЛЕКЦИЯ 3. Числовые поля +

11

Геометрическая интерпретация и тригонометрическая форма ком-

плексных чисел. Проводим на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые линии и принимаем точку их пересечения за начало системы координат O . Выбираем на этих прямых положительное направление, откладывая от начала O один и тот же масштабный отрезок единичной длины. Горизонтальную прямую называют осью абсцисс и обозначают OX . Вертикальную прямую называют осью ординат и обозначают OY . При таком построении каждой точке плоскости взаимно однозначным образом ставятся в соответствие два действительных (вещественных) числа x и y , которые называются её декартовыми координа-

тами – абсциссой и ординатой соответственно. Приходим к декартовой системе координат.

которого также равны x и y . Угол, образованный радиус-вектором точки P и

положительным направлением оси OX , называется полярным углом, за положительное направление отсчёта полярного угла принимается направление поворота радиус-вектора против часовой стрелки. Итак, каждой точке декартовой плоскости ставятся в соответствие полярные координаты – длина радиус-вектора r и

полярный угол . Получаем полярную систему координат.

Принимается соглашение, в соответствие с которым комплексные числа z a, b (или z a ib) изображают точками на декартовой плоскости,

причём число a является абсциссой, а число b – ординатой точки z . Вещественные числа изображаются точками на оси абсцисс, а мнимые числа – точками на оси ординат. В начало координат помещают число 0 0, 0 (рисунок 3.1). При таком соглашении устанавливается взаимно однозначное (биективное) соответствие между точками плоскости и множеством комплексных чисел.

Определение 3.5. Декартова плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс на комплексной плоскости называется вещественной осью, а ось ординат называется мни-

мой осью.

12

Определение 3.6. Модулем комплексного числа z называется длина ради- ус-вектора точки z на комплексной плоскости. Аргументом комплексного числа z называется полярный угол точки, изображающей это число.

Модуль комплексного числа z обозначается z , аргумент комплексного числа z обозначается arg z . Аргумент комплексного числа 0 0, 0 не имеет смысла. Положительным направлением отсчёта аргумента комплексного числа считается направление от положительной полуоси вещественной оси к положительной полуоси мнимой оси, то есть против часовой стрелки. Очевидно, что все возможные значения аргумента комплексного числа z даются формулой:

0 2k ,

где k 0, 1, 2, – аргумент комплексного числа многозначен. Справедливы формулы:

Теорема 3.3. Для модуля суммы и разности двух комплексных чисел и

имеют место неравенства:

13

1),

2),

3),

4).

До к а з а т е л ь с т в о. Докажем, например, неравенство 1. Пусть

r1 cos 1 i sin 1 , r2 cos 2 i sin 2 ,

где r1 , r2 . Для

r1 cos 1 r2 cos 2 i r1 sin 1 r2 sin 2

получаем:

2 r1 cos 1 r2 cos 2 2 r1 sin 1 r2 sin 2 2

r12 cos2 1 2r1r2 cos 1 cos 2

r22 cos2 2 r12 sin2 1 2r1r2 sin 1 sin 2 r22 sin2 2

r12 cos2 1 sin2 1

2r1r2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 r22 cos2 2 sin2 2

квадраты одинаковы. Поэтому имеем:

.

Для доказательства неравенства 3. применим неравенство 2 к

( ) ,

получим:

.

Для неравенства 4 имеем:

14

.

Если записать комплексные числа в тригонометрической форме

1 r1 cos 1 i sin 1 , 2 r2 cos 2 i sin 2 ,

Эти формулы распространяются на произведение любого конечного числа сомножителей.

Формула для частного двух комплексных чисел, записанных в тригоно-

Определение 3.7. Корнем n -й степени из комплексного числа называ-

ется такое комплексное число n , что справедливо равенство

def

n .

Формула извлечения корня n -й степени из комплексного числа в тригонометрической форме записи является результатом доказательства следующей теоремы.

Теорема 3.4. Корни n -й степени из комплексного числа существуют и

все они даются формулой