1. Векторная алгебра
.pdf1
Задачи для самостоятельной работы
1. Векторная алгебра
1.Даны векторы x , y , z . Найти линейную комбинацию (вектор)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
x y |
z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и норму (длину) вектора u : |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
x |
2 e |
1 3 e 2 e 3 , y |
e 1 |
3 e 2 , z e 1 2 e 2 e 3 , |
|
||||
4, 3, 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
x |
3e 1 e 2 4 e 3 , y |
e 1 3 e 2 |
e 3 , z |
e 1 |
2 e 2 |
e 3 , |
|||
4, 3, 2; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
x |
e1 6 e 2 3 e 3 , y 3e 1 3 e 2 |
e 3 , z |
2 e 1 3 e 2 |
4 e 3 , |
|||||
7, 5, 1. |
|
|
|
|
|
|
||||
2.Найти косинус угла между векторами AB и AC , если:
1)A 2; 2; 3 , B 1; 1; 2 , C 4; 4; 5 ;
2)A 0; 2; 6 , B 12; 2; 3 , C 9; 2; 6 ;
3)A 2; 3; 1 , B 4; 5; 2 , C 3; 1; 1 .
3.На плоскости R2 заданы своими координатами три вершины A , B и C параллелограмма. Найти:
1)координаты четвёртой вершины D ;
2)косинус угла между сторонами AB и AC ;
3)длины диагоналей и косинус угла между ними.
1)A
2)A
3)A
4.В каноническом базисе декартовой системы координат пространства R3 свои-
|
|
|
|
|
|
|
ми координатами заданы векторы x и |
y |
. Найти x |
y, x |
y , если |
||
|
|
|
|
|
|
|
дано:
1)x e 1 5 e 2 e 3 , y e 1 7 e 2 e 3 ,
4, 3, 1, 2 ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2) x |
2 e 1 5 e 2 8 e 3 , y e 1 3 e 2 |
7 e 3 , |
|||||||||||||||||||||||||||
2, 5, 1, 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) x |
2 e 1 4 e 2 8 e 3 , y |
|
|
5e 1 |
3 e 2 |
|
7 e 3 , |
||||||||||||||||||||||
11, 6, 2 , 7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. Найти x |
4 y, 6 x |
y |
|
, если дано: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1) |
|
x |
4, |
|
y |
|
5, x, y |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) |
|
x |
6, |
|
y |
|
1, x, y |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3) |
x |
2,5, |
|
y |
1,5, x, |
y |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. В каноническом базисе декартовой системы координат пространства R3 свои-
ми координатами задан вектор x . Найти направляющие косинусы и орт данного вектора, если дано:
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
x |
e 1 |
2 e 2 |
4 e 3 ; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
x |
e 1 |
|
3 e 2 |
5 e 3 ; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
x |
5 e 1 |
e 2 |
6 e 3 . |
|||