Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы решения экзаменационных задач по матану

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

462.06 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

ª ¨ï

®¡. ¯®

Mª(0¯®«ï, 0).

- ¤¨ ª®® ë¬ -

¥ -

•¥ ¥©¤ñ¬

| ln(1

«ë ¬ ® - ® - ¥ - ¤® ¢ë¯®« ¥ ¢ «î, ¤«ï - -- ª®«ìª ¥¬¥ •® ®¢ - . ¤ ®¡ ë - ¯® ¢

¯ y¨,

(x,y)

0 6 √zx2+y2

√

z(x,y)

6 2

x2 + y2

→

¥ ¤¨

¢ ® ¥¬ , ¨ - ¥

√x2

p¨ -

2 √3 x2y4

√x2

+y2

√x2+y2

x2+y2

(x, y)

→

(0, 0)

lim

√x2+y2

= 0

z(x, y)

(x,y)

(0,0)

→

¥«ì¬:¢¨

= ρ cos ϕ, ¯¥y =¥¬¥ρ--sin®©ϕ.

ª®«ìª•®

¤«ï

¥¢

6-ë|t|

¥¢¨©-¥¤«ï-§¨

¤® --®®©-t® ¯ «ë¢¥¤«¨¢®

¬®-¥¤ «î¢¥- ¤¥©¢® | sin t|

‡

¥«ì4.

¢¥¤«¨¢®¯

¢®-¢¥

ρ0

M (0, 0).

+ t)|

|2t|,

> 0 ρ (0, ρ0 ) ϕ

[0, 2π)

, 2

√x2+y2

}

•

® ª

¯®

-ï¬ x

¨îª-

3 y4

ρ4 sin4 ϕ

3π

ln 1+x sin q x

ln 1+ρ cos ϕ·sin r

ρ cos ϕ

6 2ρ

6 2ρ.

cos

ϕ sin

f (x) = arcctg

¥¯¥

[0, 2π)

√x2+y2

2ρ → 0

ρ → +0

¤¨ ¥ ¥- ¨ ¥¬

z(x,y)

¨ï ª -

z(x,y)

z(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)

‘«¥¤®¢

®, -

«¨ ¥

(

→

√x +y

x,y)

(0,0)

¯®«| |

¥ q

f 0

ì §«®¦¨

√

2x2

¯®« ¨ ®¤¨¬® . ¤¨ ¨¥ - ¨ ¥è¥ © •

9 − 4x4

-¨

ï¤®£®--¥

−

94 x4

f 0(x) =

x 1

−

1/2

∞

( 1)n+14n+1

4n+1

−

®¤¨¬®

ï¤ ®£® --

¤¨ • «®¢¨ï ¨§ ï ¥¤¥«ï¥

n=0

(t)dt

< 1,

¤® ª

= R.

®£40’

f (x) = f (0) +

Cαn

.¤‡¨¬¢®«

{

ë©-¤-

.¨¥-¥è¥•

¥«ì¤¨¬® ì

R =

−

4n+2

∞

( 1)n+1 4n+1

= ¥¯¥Ž+--¬¥®£®C

−

2n+1 x ®¤¨¬®. • ¨¨¯®- ¬¥«¥--ï¥®¬ ¨ï-. •®í¥£ ¨®¬®¢ -¨¨

¤¨ ® ¨¬,ï¤

n=0

= q 23 .

Cn 1

3 . . .

1) =

− 2

n! −2

= 1.

( 1)n (2n

−

1)!!

®¡ï§

®:-

¥¯

−

•®

¨í

¥ìï¤«ï¤¥«¨-§®¢®¡

ë-«ì

−2

2 (n!)

«¥¤®¢ˆ

-ì

ï¤

¤¨¬®

∞

(2n)3n

dx.

n)!

n=1

< 1,

an+1

(3n+3)!(2n)3n

(3n+1)(3n+2)(3n+3)

→ ∞

(2n+2)3n+3 (3n)!

(2n+2)3 (1+ n1 )3n

→ q

8e3

‡n¤

.6a•®.

¬¡¥«„ª--¨§¯

ï.¤¨®«î¡ï¤

ì -¥ ®¡ 4¢¥ˆ ë©«¥¤®¢¨- ¥£ì -«:

î-«®¢¨î-

+∞

.¬¥¥-¥è¥•

(√x + x3)α

(x17 + 2) arcsin

x2+2

( √x+x )

3 α

¨ «®¢¥£-ˆ

f¤¢¥(x) ®= ®¡¥--® ¨:

2--«¥>

¨0¢®¯ ¯®«ì§¨x >

(x17+2) arcsin

x2+2

+∞.

+∞

=- ¥£ f (x)dx =

f (x)dx +

f (x)dx = I1 + I2.

¨§ ¦¤ë© Š

¥¤¥«¥,

®¡¥®¥¤¥«¥-®¯¥¦¥

® ì: I

{

¥¬-¨¦-

-«¥¤®¢¨

¨«®¢¥£-¥¬¨-¨¥¢®¨¬{®¤¢

¨ï.-

„«ï

¨ï

®¢¨¥£

ªªª’¨ï.-¥-¢ª®¬-¨§¯

¥¬

¨¯

f (x) x2−

x → 0,

ï¤¨

2 −

< 1 α > 3.

’ ª ª ª f (x)

¨¯

x17−3α

x → +∞,

ï®¤¨

1741− 3α > 1 α <

. ˆ- ¥£ «

ï¤¨¬®¤¨

ì¤¨¬®‘

.ï-

ï®¤¨

¨- ¥£ ˆ I1

3‡< α <

36¡¥ .®¡ ¢¥

-ì

«-ì¥£-¨ë©--

î-«®¢¨î-®«î¡

-¬¥

(x + cos ln x)α .

+∞

sin x3 dx

.¨¥-¥è¥•

‡

®©

ì¤¨¬®«®¥£-¨-

¡ ®«î -3 §î¤ ®¤¨¬®¢® ìï ª-¨¥ ®¡«¥¤®¢¢¥--®£®¨î

• ®¢¥ ¨¬,

t = x

g(t)

−

+∞

f (t)dt

g(t) sin tdt,

¤¥ £

g(t)

2+α

cos ln

> 0.

®, - Ÿ

lim

g(t) = 0

√t

∞

→

>¯®0¯ ¨§α-

√t

α > −2

>ª −„¨2.

¨ ¯ ® ¨ ¥¬,¯ ¦ «¥, •®ª¨

¨îï ¥ ¤¨ ¨® «ª ¥£ - ¤¨

‘.Š®è¨I)

®¬

ì.

α 6 −2

®{

¯®ï

→®«ìª

1) ξ [1; +∞)

sin t dt

6 2.

¤®ª

®ì,

¬ï®.

®-®„®

•II)

I ® ¤

ì. ’ ª ª ¥¬¨

¨§ «¥¤ îé¥£®h(¢¥t) = ¦¤¥-¨ï:

t > t

α >

¥ª ¢ë ® í

« ¥£ - ¨

g(t)

¨ ¯

t > t

−

α > −2

α >

−

> 1

t > t0 h0(t) =

2+α

−

1 +

cos ln √t

1) ˆ§

√

-√

α√

ë-¨§¯

−

√

cos ln

√t

1 +

sin

t +

¢ª¢¨ïª

«¥¨®¡ª„¨

ªï

ª¯®

−

2+α

¯®

√t

{

ª«î

+∞

+∞.

α 6

−2 t

lim

g(t) > 1,

→

∞

α 6 −2 t0				> 1 t > t0 g(t) > 21 . ‡- ¨ ,
					δ		1		42		1
					δ		δ
δ > t0 n =					2π	+ 1 >	2π	ξ0 = 2πn > δ,
ξ	f (t) dt	=	ξ	g(t) sin t dt > 2					ξ	0	sin t dt = 2 .
0				0						0
ξ00			ξ00						ξ00
R			R						R

α 6 −2 t0 > 1

ξ00 = π2 + 2πn > δ :

ª,ˆ

ξ0

ξ00 > δ :

ξ00

•®α ª6 ¨

2¥

¨î

«¥£-¨

> δ

f (t) dt > ε0.

ε0

=Š®è¨> 0

δ > 1

−

III)

-ìî«¥¤¨¨¡„¨®€

-ˆïì.¤¨®®¥¬¨¤®

−

¥¬®¦

®-®«î ¡

¨¯«¨èìï

¨ï-¥-§

- ®

¨ • ¢ï. ¤¨

α,

ª ¨ ¯

¯ ¨

+∞

¥£

>’®£−2¤

-¯®¥£¯ ¨§«-1 ªg(t) cos¢-2¥-t ¨ïdt

ª --¢¥¨§¥-¯

α.

¨§®

® ® ë

¤¨

∞g(t) dt >

∞g(t) sin t

dt >

∞

2 t dt =

+∞

g(t) sin ¥¯® ª¨

= 21

g(t) dt − 21

g(t) cos 2t dt > 0

«¥£-¨®,¥«¥¤

+∞

®¤¨Ž|f (t¢¥)ï| dt =

g(t)| sin t| dt

ï®¤¨

«¥£-¨

g(t) dt

∞

®,ï-®«î¤¨¡

2+α

ï¨®¤

«¨¥

> 1

α > 1.

2+α

«¨¥

α¤¨¬®> 1; ì®¤¨ ï ®¬¥«®¢-®,

¤¨¬®‡−2 < α7a.6 1,

«¨¥ï,«¥¤®¢¤¨ˆ

α 6 −2.

¬5- ¦¥ ¢

ì®®-ì

-¢

î-

¥«ì«¥¤®¢¯®î-«ì-¨®ª-

= (0, 1)

= (1, +∞)

.¨¥-¥è¥1)•

fn(x) =

sin

+ sin x.

¨¬¬®

nlim fn(x) = 1 + sin x = f (x).

• x E1

→∞

E2 = (1, +∞).

Rn(x) =

f (x) − fn(x)

1 − x

sin

¨¯

xn = n

n > 2,

|Rn(xn)| = |1 − sin 1|

n > 1

sup{|Rn(x)| : x E2} > |Rn(xn)| = |1 − sin 1| > 0

¢-®¬¥-ª -¨®- ®«ì¤ïé¥©-

ªï

ì®-¥«ì

fn(x)

¥-

ïï¢«ï¥

f (x)43-

E .

¯® «¥¤®¢

¨¬¥¥¬:® ¬ «¥sinŒn2ª«®=

n2 −

· n4

, 0 < ξ < 1.

§®¬, n

ª ¨¬ï ¬®®¡¤¨ ¯® • 3)

f (x)

¥ -

- ® - ®¬¥ - ¢

E2.

fn(x)

’ ªEª1 =ª

(0, 1).

n N x E1 0 <

< 1

sin ξ

¢¨ ¨

f (t)

-¥

‹¬¥®®¡ª¨¬¢®¬’-«¥ë¬-®®

¯®¦-®£

= f (0) + f 0(0)tª«® ¥

t ,

x E1

ξ (0; 1)

: |Rn(x)| =

|f (x) − fn(x)| = |1 −

x sin ξ

¢ «¥¤® ¯®

¥«ì=

ì ®

6 2n2

→ 0

¨ ¯

n → ∞

ï - «ì - ¨® ª -

− x

sin n2

-2n2

« 2!

®: - ¥ - ¬ ¥ª ª«®‡ Œ® ª

¥ - «ë ¬ì - ® §¤¥ ® - ¨¥ ª - ï•¥ - ¬¥ ¤¨¨¬¥ ¯® ¢® - ®¥ - ® - ®¬¥ - ® «¥ ¢ ë¬ - ,•¥§®£®

-¨-¨ª¯®¢¨¬¥. ®fn(x)

f (x)

E1.

® -

o n2

ª ª

¨ª «î¡®¬

¥ ¢¥ ¥ ®¢ì, ¦ ¨ - ¡ë

¨¥ - «¥

¯ ¨ n

¨ ¯

®¬ --

→

→ ∞

|Rn(x)| =

¥ - ,¦ ¬® ¥ ¨¨, ¯ •

¯® «î

. ®¥ - ®¬¥ - ¢ ¥ -

«î¡®¬¨¯

--®¬E

R (x) =

→

0 ¯ ¨ n

→ ∞

®¡¢ ¤®¢«¥‡®§ ¬: ¢®‹ £- -.¦”® ¬¢ « -x,Œ®¬-

®¬-îé¨«¥ë¬«¥¤-.®®-«ï¤¨®®¬¥¢ë£-¢¥-¥-

-¨¨-¬®¦¥è¥¨¬--¥®¡¨¢¥¤ñ¤¨¬¯-

ì¢§ï

f 00

(ξ)

‚¨¨ï.•-§«®¦

¡®«ìè+

®¢-«¥

ªï¥

--f (ë¬t) =-sin¥ t,¢¥-t

=¢

¬.’’®.

ª ªξª

¥¢é¥

¨¢¨§

ξ = ξ(n, x)

II ¯® ®¡x, .®ªˆ- «¥¤¥«ì¥¬- ¯®¢¥¤¥® ¥--¨ª¥-¥ ¤®«¦-ª ¨¨

®¤¥¦ ì ξ.

¥«ì

Rn(x) = f (x) −

¯ ®¨§¢®‡¤¥-ì®©: n

sin n2

¨¯

¨ ®¢ --®¬ n

¯®¬®éìî

− fn(x) = 1 − x

= −x2 cos n2

−x tg n2

> 0,

¥«¨¢ 0 < α 6

tg α > α,

(x) =

−x

cos

−

sin

6’®£1¤.

n2 .

«¥

(0; 1].

α =

‡- ¨ ,

Rn(x)

-¨¯®«

0 < Rn(x) < Rn(1) = 1 − n

sin

ª¨¬’

¬,

®¡

x 1 E1 1|Rn(x)|

= f (x)

−

(x)

sin

< 1

−

| −

ì®-

→ 0

¨¯

n → ∞

ï-«ì-¨®ª-

−¯®n«¥¤®sin n2

6n4

+ o n4

f (x)

¢-44®¬¥ -® ®¤¨ ï ª f (x)

E .

¥¯®«ì§¢ˆ.¤«ï®¡¯®¤«¨¢ë¥III¯

¢-¢¥¥-¥¬

x −

6 sin x 6 x,

¢®-¢¥•¥

x > 0.

.¨ï«¥ª

¥¬¦„®ª

¢®-¥¤¢¥-

sin x 6 x

-ì«®§ë¢¤®ª

¥¬-¥®

x −

6 sin x

‹¥¬ë¥®¯®¬®é¨¨¯

®¦-£

¯® «¥¤®¢

= (0 1).

¥¬,

t > 0

‹ϕ(x£)

-¦ϕ(0), -= ®¤¨¬:ϕ0(ξ)x, 0 < ξ < x.

ïï - ¨¬¥ ¯ ¦¤ë „¢

−

ϕ(x) = sin x −x +

= (cos ξ −1 +

+ ξ2‘«¥¤®¢)x = (− sin¥«ìη-+®,

η)ξx > 0, 0 < η < ξ < x,

ª ª

3¨ ¥¡®¢ «® ì.

|2t − sin t|

6 |t|

|Rn(x)|

−

¥¤¥¬,

ϕ2

− sin

→ 0

¯ ¨ n → ∞.

6n6

6n4

ª - ìï ¤¨¢ ® ¥ ®®«¥¤¦ - - ˆ ®¬¥ . - ¥«ì¢ ì ¬ ¤¨¬¨

- ®¤¨¬®

î - ®¬¥ - ¢

fn(x)

f (x)

E1.

ì ® -

-ª ¨©E

(0 1)

= (1, +

∞

)

. ¨¥ - ¥è¥•

x 2.

2) • ¬® ¨¬ x E1 E2

nlim fn(x) = x = f (x).

fn(x) = n ln 1 + n

‘ ¤¨¬® ì

¬®

→∞

fn(¥

- ¢¥ ¥ - ¢¥¤«¨¢ë ¯

¦ „®ª

¥ ¢ ¤«ï ®

→ ∞

®¬¥

‹ ¥¬ ¥®

¦ - £

t −-2

6 ln(1 + t) 6 t

ïï - ¨¬¥ •

¤¨¬: ¥«ì

(t) = t

ln(1 + t) =

¨ ª ª

®,

= 1+η t > 0,

0 < η, ξ < t

1+ξ t >¥¡®¢0

ψ«®(t)ì.=12ln(1‘«¥¤®¢+ t) − t +-2

ª ¨©

→∞x

6 t2

t > 0 |t − ln(1 + t)| 2

= 2n 6 2n

→ ∞

→

= n nx

− ln 1 + nx

6 n · 2xn2 =

|Rn(x)| = x − n ln 1 + nx

¨¯

•3)

ï.-®¬¥-¢

ì¤¨¬®

¨¯

E2 = (1, +∞). |Rn(n)| = n| ln 2 − 1| → +∞

¯®

‘

¢¥«¥¤®¢¦-ˆ

-®¢¤¨¬®

ï¨.ì-

î-®¬¥-¢

¥ì¤¨¬«¥¤®¢•¨

-¥«ì

(0, a)

(a, +∞)

ìE

x) =

x ln(xn)

.¨¥-¥è¥•

ì•2)

lim f

(x) = 0 = f (x).

Rn(x) = fn(x) − 0 =

ln(xn)

12n‚®§¬®¦N R-0®,(x-)¥ =¢¥

ln(xn)+1

, R0

xn =

(x) = 0

, Rn(xn) =

¢®

¨¯

¥ -¥ - ¤® ¤®ª §ë¢ ì íln(1+® -¥t) 645¢¥t-¤®ª¢®.§ë¢ «® ì -

ª®¬‚.¨ï«¥ª

, R

(x ) =

0) =

a−en3

en3 ,

|Rn(+0)| =

−

|Rn a

ln an ,

sup

(x)

: x

= max

ln an

{en3

n2 |

{| n

¨¯

n → ∞

-ì®¤¨¬®‘

en3

+ n2

| ln an| → 0

ï.-®¬¥3)-¢‘

¤¨¬® n ì -N sup{|Rn(x)| : x E2} = |Rn(+∞)| = +∞.

‡

7¡. E2

ï.-®¬¥-«¥¤®¢¥-

¬4-®¦ˆ¥ ¢

-ì

î-®¬¥-¢¨ì®¤¨¬®

∞

E1 = (0, 1) E2 = (1, +∞)

ï¤

ªªª’1)

x E1

n N 0 < un(x) =

•¥è¥sh-¨¥. .

n=1 x+n

∞

x+n sh n n2 , n → ∞

ï¤«®¢®©¨¨

n=1 n2

ï¨§®¤¨¯

®),-«®¢®©¨(í

¨ïª.ª-’¥-2)

ª x E1 E2 ï¤

un(x) ®¤¨ ï ¯®

ª-

n=1

ï¤ x E1 n N |un(x)| 6 n1 sh n1

, n → ∞

∞ 1

∞

-ª ¨®- «ì-ë© ï¤2

è‚¥©¥¥¬¥¥®¯®®ï,®¤¨

n=1 n

®¥¬,¦„®ª

E2. P «¥- -ª ¨®- «ì-®£®

ï¤

¨¬ ¬® • 3)

un(x)

ï ¤¨

- ® - ®¬¥ - ¢

E1.

n=1

®¡é¨©

∞

- ®¬¥ - ¢ ¥ -

un(x)

n=1

®ï,®¤¨

«î.-ªï¥¬¨

-ªªª’

ï¤

nlim un(x)

„ «¥¥, |un(x)| =

→∞

«î«¨¥ì-¤¨¬®ï¥¬¨®ï-®¬¥-¢¥ï¤--¥«¥¤¤ª®¡é¨©®

= 3 sh 2 > 0

un(x)

= 2n E2; |un(xn)| =

®,®¬¥-¥¢ë¯®«-

∞

£®

®£®-«ì-¬®¥¨¤

ï¤

un(x),

.¥¥®¡ï¤¨--ì-®-¤¨‡(

¨-ª®ª¤¨¬®ª,¥®©-«¥¤.®¬¥-¢1)¥Š®è¨ª-¥£®¨ï¯46¥-¨«®¢¨¥ª®¢«¥-ˆ§

n=1

ï¤®£®-«ì-¨®ª-¥¤¥«¯

¨Š®è¨¤¨¬®«®¢¨¥®©-¤¥«¥,®¬¥-¬®¬¢‚®13,.¥-

nlim |un(xn)|

→∞

n+p−1

ε > 0 N N n > N p x E

k=n

uk(x)

< ε

¤«ï

¥« : ¤ ¥ ¯¢¨ ª®«ìª¨¬¥¥ •®

ε > 0 N

(x)

< ε.

p = 1

nlim |un(xn)| = 2ε0 > 0

( ) ε0 > 0 N

→∞

¥-ï¤‡¥¨¬¥Š®è¨¯¨î¥¨ª¯®

¥-®«ìª®¬¥-¢Š®è¨ï«®¢¨¥

¯®¢ë¯®«N¤ïé¨¬®¥n-ï¥> Nï-¨ xn

E : |un(xn)| >

ε0.

un(xn.) = 2 sh 2 > 0.

® ¥¤¥«•

ª E.¬®‚¦--®è¥¬®¡êï -¨ ì

¯®lim

¥ |

n→∞ï¢«ï|

nlim |un(xn)|

2ε0

-¥-¢ë¯®«

«®¢¨¥

→∞

«¨¡®

ï¥¬¨

( ).

-®¡é¨©«î-,®¨ª--‡

-«¥

ï¤

¤ £®¬

un(x)

-¤¨¬®¥®¬¥-¢

E, «¨¡® ¥¬¨ ïï¢«ï¥ª - «î

•® ª

∞

¤ïé¨¬.E

¤ïé¥£®,ï¤¨--‡ï

un(x)

n=1

-¥£®¨-¤«ï-®ª¤¨¬®

ï¤®¢:¥®¡-ë--«ì®£®--¨®¢ë¯®«ª-

«®¢¨¥®¬¥ -®¢-®¬¥®¬¥E,-®©ª ªï

«¨ï¤-«¥

-¢

-¬®¬

-«ì-¨®ª-

ï¤

®¡é¨©

…

¥¤¥«¯

«î.¢-ïé¥

-‚«¥.-¥-¢ë¯®«®®¡é¨©

ï¤

¤¥«¥,

-¤®¯

¨¢

¤¨¬,-«®¢¨¥®®¥,-,¨¢®¥¯

nlim |un(xn)|

( )

→∞

un(x) 0

•®

®£

nlim sup{|un(x)| : x E} =

¢-¢¥¥-ª¨¥¯®¨§

→∞

¥ª¢ë¨®-¥«ì«¥¤®¢

,¥

¥¬¥¥®¯®

®©¦§

sup¯® {|un(x)| : x E}

|un(xn)|

«®¢¨î.

«®¬í¤ïé¨¬,¨-‡

ï¤¥

¥ª¨¢®¯

nlim |un(xn)| = 0

→∞

∞

®®-®¬¥-

-ï

un(x) -¥ ï¢«ï¥ ï

n=1

¤®ª¡¥§

¥«ì13• ¢¨¬. ª ®¬ ¬®¦-® ¯®«ì§®¢E.47ìï ¢ ¯¨

®©--ì¬¥

¥¡®

„®ªï?‚¢¨¤¤¨.®¨¥-¥è¥•

¥-¨«¨£®ì,®-§

ì-¢-

¢-n=1

- ‡

2 n=1 an + 2 n=1 n2

¨ ¬¥ ¨

. 8 ¥¤ ¤ ‡

ï¤ ì¢¥ •

∞

(¬¥¦¤ï¤

® ®¬ «¨, ¨¬¥ - ¯ ‚¥ ï. £ ¤¨ ®¢¥ ¯ ®

- î « ® ¡

- ® , ¨ - § ï,

n=1

∞ an

n=1

an2

+ n12

ï¤

ª¨¬ ¥ ¨ £¥®¬¥ ¨¬-

¨¬-¥¤

¥ ª¨¬)2

∞

¨ï.-

,¨

ï¤

¯®ï¤¨

ª-¨§¯

ï.®¤¨

n=1 n

¤‡

§ 3. ‚ ¨ - Œ”’ˆ-71

¥ª®

¢«ë¨-¥¥¤¨®©®¢¨¢ë©¯¥¨©•

-ª A¨î(1,¯®0)

î--¤ì

®-ª¬ ¨¨«¥ f’(¥©«®x, y) = ln(sh®ª ¥ +3)-®. •¨ §«®® ¦ª

A(1, 0) ¤®

o((x•−¥è¥1) -+¨¥y.).

∂f

−

;

∂x

sh x

∂f

ch x

;

∂y

sh y

∂f

∂f dy;

df (x, y) =

∂x

∂y

df (1, 0) =

1 dy;

∂2f

(1, 0) =

d ∂f

(x, 0)

x=1

0 = 0;

∂x2

dx ∂x

−

¥©«® ¨¬¥¥

− 4

∂2f

∂f

d 1

∂x∂y

(1 0) =

dx ∂y

(x, 0)

x=1 =

dx 3x

x=1 =

− 2

x=1 =

−

;

∂2f

d ∂f

d ch y

∂y2

(1, 0)

dy ∂y

(1, y)

y=0

dy sh y+3

y=0

sh y(sh y+3)

ch y ch y

−

|y=0

−

;

(sh y+3)

d2f = ∂∂xf2 dx2 + 2

∂ f

dxdy+

∂∂yf2 dy2;

∂x∂y

d”®f (1¬, 0)«

=’−

3 dxdy −

9 dy

.¢¨¤:

d2f

ë¢¨“

ï,

4f = df + 2!

+ o(ρ

dx = (x − 1), dy48= (y 0), f (1, 0) = f (x, y)

− f (1, 0)1= f (x, y) −1

ln 3, ρ

= (x −

1)2 + y2,

- ®¤¨¬ f (x, y) =

= lnŽ3 +¢¥3 (:y − 0) − 3 (x − 1)(y − 0) −

(y − 0)

+ o((x − 1)

+ y

df (A) =

31 dy; d2f (A) = −

32 dxdy − 91 dy2; f (x, y) =

= ln‡3 +¤

3 (y −2.0) −

(x − 1)(y − 0) −

(y − 0)

+ o((x − 1)

+ y

¨¢®©:ª£¨¤-¤«¨¨©•

y =

(ln cos x +

+•®lnªsin¥è¥x)-,

£¨¤

¨¢®©ª

.¨¥

6 x„«¨6 -.

− sin x + cos x

cos 2x

R,p

1 + y 2

®«ìª

1 + y02

dx.

cos x

sin x

2 sin x cos x

ln(2

¤¨ ¥ ¥

¥¬® ì

2π

¤¨ ¥ ¥¤¨ ¥ ¥

1 + ctg2 2x

sin y

sin 2x

d cos y

−

1−cos2 y

−

1−t2

−

1−t

1+t

¥ ª ®

¨ -

1+t

ln 3

‡

= .

1−t

|− 2

= 2 + y +

•¥è¥M (0-,¨¥0).

„®ª-ª ¨î¦¥¬,z(x, y)®= -ª+¨ïy + 5

x2y4).

ρ¯® ®¡

(x, y)

∂f

x2y4

¨ -

¥ ª ® ¢

M (0, 0).

(0, 0) =

¨ï ªª ª ’

∂f

∂x

f (x, 0) x=0

2 = 0,

∂y

(0, 0) =

f (0, y) y=0

¥¬ ¨ -

¥ ª¨ ® ¢

f (0, 0) = 2,

f (x, y)

dy (2 + y)|y=0

= 1

ª ¨ï

(x,y)→(0,0)

M (049, 0).

2+y+ √5

® ª

M (0, 0) ®£¤

¤ ®£ ®«ìª® ¨

¤ ª®£ ,

x2y4

−2−y

lim

= 0.

•

√x2

+y2

(x,y)

(0,0)

→

ρ =

x2 + y2 > 0.

¤ ’®£

0 6

√x

+y2

√5

x2y4

√

→

(x, y)

→

2/5 4/5

6®¢

¥«ì

®,

5 ρ =

x2 + y2

¨¯

(0, 0). ‘«¥-

(2+y+ √5

)

x2y4

¥¬¨-¨ ¥ ¥¤

− −

= 0

-¨

f (x, y)

lim

√x2+y2

®¡.¯®

¥©¤ñ¬•¥

¬:-¤¨ª®®ë¬-¯®«ï

ª ¨ï

’®£

ρ > 0 ϕ [0, 2π)

√x2

+y2

= ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ.

√5 x2y4

√ρ → 0

ρ → +0.

√5

ρ6 cos2

ϕ sin4 ϕ

¨¯

®,-¥«ì

‘«¥¤®¢

√5

)

(2+y+

x2y4

lim

¥ª®

− −

¨ïª-¨

f (x, y)

√x2+y2

(x,y)

(0,0)

→

«¥¥,„

M-ª(0,¨ï¤¨0). ® -¥®©

®©--¥¬¥¯¥

¥¥ª¤¨®

ln u

¥¨ï¥ª-¤¨

f (0, 0), ® ª «®¦- ï

z(x, y) = ln f (x, y)

¨-

¥ª

M (0Ž, 0)¢¥-¯®:¨-¥®¬ë¥¬¥ -ª ¨©.

¨¬®¥¨-

¨¨ ®¬¯®§¨

¤‡

z(x, y)

-¥¥¤¨

¢¥¬

¥ M (0, 0).

.¨¥-¥è¥•

- ®

« - ì ¥£ - ¨ ë© -- ˆ

î - «®¢ ¨ î - ®«î ¡

¤¨ «¥¤®¢

(ex −1−x)(√x+ √x)α

3 ˆ «¥¤®¢ ì -

ï¤ ì ®¤¨¬®

sh2 n.

¥ ®¡ ¢¥

∞

2n(n!)3

n=1

(3n)!

an+1

2n+1((n+1)!)3(3n)!

sh2(n+1)

(3n+3)!2n (n!)3

sh2 n

2(n+1)3

sh2(n+1)

→

2e2

ª-¨§¯•®

=„ «¤¨¬®‡¬¡¥ ì 5aï¤. ®

ï.

< 1,

→ ∞

(3n+1)(3n+2)(3n+3)

sh n

ln(1+ x2 )

. ¬¥¥ - ¥è¥ •

+∞ ch x

− −

dx.

ch x

ln(1+

)

¨«®¢¥£-ˆ

¤¢¥

--¡¥®®

− −

> 0

f (x) =

¨:®

¨¢®¢¯¨¥£«¥-

(ex −1−x)(√x+

√x)α

+∞.

+∞

¢ -R

RI2

=- ¥£ f (x)dx =

f (x)dx +

f (x)dx = I1 + I2.

¨§ ¦¤ë© Š

¥¬,-¨¦

-®¢«®¢¥£¦¨¬¥¥

®¤

ì:®--®¡¥

{

¨ï-«¥¤®¢¨

I2 ®{¤¨¬®¢¢¥ -¨¥¬- ¯

- ¨¥¤¥«¥

¨ï.-

„«ï

¥¬¯®«ì§¢®

¨¯ªªª’¨ï.-¥-¢ª®¬-¨§¯

x →2 0

¨¬¥¥¬

x −

−

− ln(1

+ 2 ) = 6 x

+ o(x

), e

− 1 − x =

+ o(x

x +

x =

√6

x),

, x → 0.

®¬•®í

ï«®¢¤¨

x + o(

f (x) x 6 −2

ªª

¨¯

x → +∞,

®¤¨¬®ï

− 2 < 1 α < 18.

f (x) x 2

α2 > 1

ˆα

>«¥¤®¢2. - ¥£¤¨¬®« I¡ì®«î¤¨ ï I1

I2‡

¤¨ ï5¡. 2 < α < 18.

®‘

ï.-®«î¡

ì -¥ ®¡ 5¢¥--ë© ¨- ¥£ì -«

¨î-

î-

+∞

arctg x

14.¨¥-¥è¥•

x −

sin(2x + 3)dx.

xα

+∞

+∞ x

arctg x

sin(2x + 3)dx =

I =

f (x)dx =

− xα

∞

arctg x

¤¥£

I) g€(x¡¯) sin(2®¨« î¤¨x +-3)ïdx,¥ «¨® ¤g¨(x¬¯®) =¨§

− xα .

|f (x)|

arctg x

− xα

→ +∞.

•®

+ª

-¨ï¤¨-¥-¢

xα−1

∞

¥£ |f («x)|dx

ï,

«¥£-¨

--ˆï.

xα−1 dx

¥£

+∞

«¨

ï®¤¨

α − 1 > 1 α > 2.

ª¨¬’

®¡ §®¬, ¥ xα−1 dx

® ¤ ¨α¬ >® 2,

¥£¯®«ì§-.®‚®ì

¥¬I ï®¤¨¯ ¨§ï- ª®¬ „¨-®¨. «¥.

1)II) ‘R

ξ [1; +∞)

sin(2x + 3) dx

6 1.

¡ ®«î

arctg x

ì.-¥ª-¯®¢,¦.«¥¤®¢¤¨¬®í¯¥®¢.(ªñ¨-î¥ª«¥¯--¨§«®¢¨¯¥-¥¬¢í,ì®î¨¬¥--¯ï«--®,¨§¨¬¥-¥¬51¯¤®¡«¥¤®¢¥¬“§.•®.

(®¯¨«¨¬14¤¨¬®.¥¤¥«ñ‚[2])-¥è¥.ªlim--‚ì®¢-ë¬¯¨¨¥¤ë¤¨®¡g(¯x«¥¤)¨¢®¤¨§é¨¤¨¢=¬®-lim¬¥¯¨ï)ì,-ï..£-ì− α 1

= 0

−

1 > 0

α > 1.

x→+∞

−

¥ ë ñ

¥«ì

¡ ®«î

«¥£-¨

¯ ¨§

1 x > x0

α > 1

α > 1 x0

g0(x) =

g(x)

= x−

α arctg x

−

− (α − 1)

= x−

(1 − α + o(1)) < 0

¨,

1+x2

§®¬,®¡ª¨¬

¯- ª¨ „¨[x¨, +«¥ -)•®ª. ¤¨¬, ®

1)ˆ§

{

¯®3)

∞

III)

“I «¥£ ¢¤¨- ï.

ìì.®¤¨¬®¤¨ª®

¥¬,¦

ì¤¨¬®

¢ (1;ª §2]

--¨- ¬ ¯ ®¬¥¦«I ì®

ï-§¥

ªª’®«î¬¥.¡¯®-«®¢©-

® «®¥£-¨¤®

¤®ª

¥ ®¡ ¢¥-®©α

¨,-¢¤¨¬®®¢«¥-¢®©

¨¯ì¥

®£®--

«¥£-

+∞

«¨dx-¥©-® α¨ -¥ ®¡(1; ¢¥2].--‘®£®£®«¨--¥£ «

I¬®-=® ®--®|f (¨x)¨|

+∞

∞

1 R

∞

g(x) sin2(2x + 3)

g(x)| sin(2x + 3)|

+∞

g(x)

dx − 2

g(x) cos 2(2x + 3)

> 0.

«¥£-ˆ

+∞

®í ¨ ¨¥

(I).gˆ(x-) dx¥£ « ®¤¨ ï ¯ ¨ α (1; 2].

¥ ª - ¨§ ®¯¢ - ®¢«¥ - ® •

g(x)

0 ¯ ¨

«¥, ¨ „¨

ª ®¬¥ª g¢(x¯) cos-ª 2(2¥ (II)x + 3)

-dx®¢«¥-®¤¨®, ï® ¯®

x’

>ª¨¬x0,®¡¨,

¥£®£®,®¢-¨¥£§®¬,

ξ [1; +∞)

cos 2(2x + 3) dx

6 1.

-ï®¬¡¨-¨ª-¥©¤ïé¥£®¥¤¥«-¯«¨®

∞

¥ªª¦¬¨ï-¥¤

¨ï¤ïé¥£®-¨ï. «¨ˆ-gï(-x¥£•®«ì§ë¬¨)-sin¥£®(2x«®¢-+3)¢«ï¥¤¨dxª -

.¨ï•-¥¬¦-¢IV)¤®ª

¥£ì.-¨®ì¤¨¬®¬

®ª

ª-¨§Š®è¨,¯®¨¥¬¯ï¥¨

ìï

¨¯

α 6 1. ’ ª ª ª

α 6 1

lim

g(x)

526 1

> 1

x > x

g(x) >

→

2 .

∞

¤’®£

α 6 1

> 1

δ > x0

ξ0

2πn−3

§®¬,¥®¡ª¨¬

ξ0

¥«£®¢¨ï

ª ¨ ¥ ¨ï

> δ, ξ00

2 +22

−

δ :

f (x) dx

= ξ

g(x) sin(2x +

πn

ξ00

+ 3) dx >

®¡ §®¬, α 6 1

sin(2x + 3) dx =

4 .

’ ª¨¬

2πn 6 (2x + 3) 6 2 + 2πn.

«¨ ì

ξ00

ï«® ì

ξ0

ε0

41 > 0 δ > 1 ξ0 > δ ξ00

> δ :

f (x) dx

- ¨¥ - ¨®£® -- ® ¢¥ ®¡ ¥ - ¢¥¤«¨¢® ¨ ¯ ¨î { ¥ ®¨¤¨¬® ª

Š®è¨

> ε0

‡

¤¨ ¥ ¢

+∞

¯ ¨ ¢ ¥R

α 6 1.

Š®è¨

« ¥£ -

f (x)

dx.

•®

¢ë¡¨Š®è¨¨ï¥¨ª¤«ï¤«ï®¡ë

-®¥-¤¢®©

¢®-

[ξ0, ξ00]

-¢ë¯®«

ξŽ ¢¥ξ

¤ï ïï¨§¡¤¨® î®¢¨©-®,2πn¥ «¨= 2ξ +3, 2ξ

+3 = π +2πn.

«¨

α¤¨¬®> 2; ì®¤¨ ï ®¬¥«®¢-®,

¤¨¬®‡1 < α 66a.2

«¨¥«¥¤®¢ï,¯®¨

α 6 1.

¬4-ˆ¦¥ ¢

ì®®-ì

-¢

î-

¥«ì

= (0, 1)

1= (1, +∞)

î-«ì-¨®ª-

.¨¥-¥è¥1)•

fn(x) = n(e

− 1).

¯® «¥¤®¢

E1 fn(x)

x ¬®E1 E2

nlim fn(x) =

x = f (x).

•

¨¬

→∞

E1 = (0, 1).

¨ ¯

n > 2,

−

xn = n

Rn(x) = f (x) − fn(x)| =

− n(e nx

\|Rn(xn)\| = n\|2 − e\|
n > 2 sup{\|Rn(x)\| : x E1} > \|Rn(xn)\| = n\|2 − e\|
nlim sup{\|Rn(x)\| : x E1} 6= 0
→∞
¢-®¬¥-ª -¨®- ®«ì¤ïé¥©-	ªï	¥«ì-® ì fn(x)	¥-	ïï¢«ï¥
•		f (x) - E1.
®¤¨ï ª f (x53) -¥ ¢-®¬¥ -®.

¥¥¬‡-®§

.¥¨-

ì¯¨‡

nlim sup{|Rn(x)|

: x

E1}

@ nlim sup{|Rn(x)|

→∞

E1} =

ì ¥

«¨¡®

: x

→∞

«¨¡®

sup{|Rn(x)| : x E1},

nlim

@- nlim

sup{|Rn(x)| : x E1}

→∞

∞

ˆ«¥¤

→∞

¨¬®¡¬®•¯®3)

nlim sup{|Rn(x)| : x E1} 6= 0.

→∞

’ ªEª2 =ª

(1, +∞).

Œ«¥¬®¨¬¥¥¬:

-¥ª«®

® n ® -Në¬ x E2

<® nx

< 1,

¢®¬-«¥

¦¯®-®£‹¬¥

= 1 + nx1 + e2!

, 0 < ξ < 1.

®¡ª¨¬’

§®¬,

n2x2

n N

¢¥

1x E2

ξ ξ (0; 1)

: |Rn(x)| =

|f (x) − fn(x)| =

}

(x)

− n(e nx − 1)

2nx2

6 2n

nlim sup{|Rn(x)| : x

¥¬

→∞

ï - «ì - ¨® ª - ï ®¤¨ ®¡ - ¯® ®¬¥ - ¢

ì ® - ¥«ì «¥¤®¢ ¯®

- ¯®¢¥¤¥

¨¨ ª - ¨¥ -

f (x)

E2.

¨¯

Rn(x) = f (x) −

− 1)

®¬--®¢¨¨ª

− fn

(x) =

− n(e

[1; +

¤«ïªªª’

et >

1 +

ï¥-¢ë¯®«

(x) =

e nx

−

1 > 0

¨ ¯

¨®

¥«ì

®¬¥

•x¥è¥-¨¥.

ª ª ª ’ 1)

ª¨¬ ’

§®¬, ¨®¡

- ‡

Rn(x) = n 1 + nx − e

< 0.

Rn(x) 0

+ t,

sup{|Rn(x)| : x E2} = −Rn(1) = n

− 1

− 1.

E R

(x) = f (x)

−

(x) =

| n

lim

1 +

n + o

lim sup

Rn(x)

: x

1 = 0

n(e nx − 1)

e n − 1

− 1; nlim n

e n − 1

− 1

n→∞

− −

n→∞

−

→∞

® - ®¬¥

0 ®¤¨

ª -ï

-«ì-

«¥¤®¢¯

ì®-

fn(x)

¢E-2

} =

¤¨¬®‡

6¡.

f (x)

E .

¬4-®¦ˆ¥ «¥¤®¢¢

-ì

¨ì¤¨¬®®

-¢

î-

3n3

E1 = (0, 1) E2 = (1, +∞)

ï¤

∞

n=1

+n2

x E1 E2 n N 0 < un(x) =

x3n3

x6+n2

¯ ¨ n → ∞

n=1

ï¤ «®¢®© ¨ ¨

ï®¤¨

¤¨ï¤

∞

un(x) ¥® ¤¨¥¬¥ ï ¯® ¯ ¨§- ª

n=1

x3n3

ï¤ x E1 n N |un(x)|

x6+n2

∞

¯®®ï,

è‚¥©¥

n=1 n

ª’

ªª

∞

un(x)

ï¤¨

-®-®¬¥-¢

E1.

n=1

∞

•ï¤®

ï«ï¥ï

ï¤ïé¨¬ìì¤¨¬®¦¨-®¬¥-¢

un(x)

nlim |un(n)|

th 1

n=1

→∞

E2.

ï®¤¨¨î

-®-®¬¥-¢¥-

1).

¤‡

§«®(

-®¢«¥-¨¥¯¥ï¤¤¨¬®

¥ª-¯¢

•

¯®

-ï¬ ¯®«x

¥-

f (x) =

= arccos•¥è¥

¨¤¨©-¨

®£®--

.ï¤

.¨¥-

√4+x4

−

∞

f 0(x) =

−

( 1)n x n

4+x

4 1+ x

−

n=0

∞ ( 1)n+1x4n+1

ï¤

¤¨«®¢¨ï•¥¥¯¨§ïï¥

®£®--¥¯®«

=®¯ ¥¤¥« −

n=0

¤¨¬® ¨

< 1,

® ª ¤¨¬®x ¨< √

(

n+1

4n+2

∞

f•®í¥£(x)¨®¬=®¢f (0)+-¨¨

(t)Ÿ¢«ï¥dt--=®£® +

−¤¨ ª ¨ï

. • ¨ ¯®- «¥¬¥--®¬ï¥ ¨--ï

4n (4n+2)

n=0

¤‡

8.√

R =

-¨«¨ï

z(x, y) = sin

®¬¥-¢

+2y

ë¢¥¥¯--®

®¡«

.¨¥-¥è¥

®© - ¬¥‡

--ëG := {x2 + y2 + y < 0}?

ªï¢®¤¨

ï¢«ï¥ ï «¨u

= -ªx, ¨ïv

= y + 1

f (u, v) =

®©-ë¢¥¥¯--®-

¨®¡«

− sin 1

®¬¥-

−

¯¥ ¥¬¥

−

Mn = (un, vn) = 0, q1 − 2πn H

¤®

) =

−

¨¬¥¥¬:

) =

π(1+4n)

= (u

, v

ρ(Mn, M

¨ ¯

ª® - ®¤

−M

f (M 0

→

→ p

→ ∞π

−

(un − un0

)2 + (vn − vn0 )2

1 − 2πn

1 − π(1+4n)

+ z

¯¥ ¢ë©

= 1 > 0 δ >

H Mn0

-®¥¯¨¥ ë¢-¨¥-®-¥®¡¨. ®¤¨¬®£®>¨

− sin 2πn + sin

+ 2πn

’ ª¨¬ ®¡ §®¬, ε0

H :

ρ(M , M )

< δ |f (Mn) − f (Mn0 )|

ε0,

¤‡

-¨¨‚ª4.

81-Œ”’ˆ

ª¥è¥®

¨©•

«ë¨-¥¥¤¨®©®¢¨

¢- -¨¥¬A(1 1, 1)

®-¥ï¢-

− dz2.

•®¤ ¢«ïï ¢¬¥ ® dz

¬¬

2dx + 2dy

¨§

(2), - ®¤¨¬

•

. ¨¥ -

”® ¬ «ì-® ¤¨ arctg¥ ¥z-=¨0. ï ®

−

2 −

−

π4 + z −

¢«ïï •®¤

- ®¤¨¬ dz − xdx − ydy − 1+z2

= 0 (1).

−

− arctg z = 0,

”® ¬ «ì-x®= 1¤¨, y =¥1,¥z-=¨1, ï-

(1)®¤¨¬¤¨¬dz =¨2dxï+ 2dy (2).

-ë¬¨,--®ï¯®

®¤¨¬

¢«ïï•®¤

d2z·(1+z )−2zdz2

= 0.

xˆ ª 0

d z − dx

− dy

−

(1+z )2

d2z = 2dx2 + 2dy2 −

x = 1, y = 1, z = 1,

® -

d2z

Ž= −¢¥2dx:

2 − 8dxdy − 2dy2.

¤ ‡

dz2.(A) = 2dx + 2dy, d2z(A) = −2dx2 − 8dxdy − 2dy2.

¨®

x = 2 sin t, y = 2 cos2 t ¢®ª £

Oy, t

2 .

.¨¥¥è¥•

π/2

σ = 2π

x 2 + y 2dt =

π/2R

= 2π

2 sin tp4 cos2 t + 1656cos2 t sin2 tdt =

π/2

= 4π

2 sin t cos t

1 + 4 sin2 tdt =

π/2

π/R

√

= 4π

sin 2t

1 + 2(1 − cos 2t)dt =

= π

− 2 cos 2td(3 − 2 cos 2t) =

¤‡

2π √

= π

√

5 − 1).

udu =

= −2 ¨ - © ¨

+ 8¤¨x•+¥è¥9) -®¢¤¨¬®¨¥ï¤.

- ì «¥¤®¢ ˆ

ï¤ ì ®¤¨¬®

∞

2nn!

. ¨¥ - ¥è¥ •

n=1

(n + 1)

=•® lim‡¯ ¨§¤ - ª n+2 n ¬¡¥= lim¦¨ï¤ì

¤¨n =ï.lim

n+1 =

e < 1.

an+1

2n+1

(n+1)!(n+1)n

lim

(n+2)n+1 2nn!

2(n+1)

n→∞

«„4.

→∞

(n+2)( n+1 )

→∞

(1+

)

→∞

n+1

( n+1 )

§•

-ª ¨î y(x) = (x + 2) ln(2x2 +

= x + 2.

’®£¤ x = t − 2 ¨ y(x) =

y(t − 2)

t ln(1 + 2t2)

∞

(

−

1)n+1 2n

t2n =

f (t)

î-®¡

¬¥2-t

¯¥<

n=1

<®¤¨¬

= R.

∞

( 1)n+1

2n+1

¨®¤¨¬®

®¯ −

¤¨«®¢¨ï•

®£®--¥¯®«

:ï¤¢¥®

¨§ï¥¤¥«ï¥

n=1

®¨§¢¥¤ï•

| |

√

(

1)n+1

∞

¤¨¬®‡

−5a.

2n+1

y(x) =

n=1

(x + 2)

; R = √2 .

¬5-®¦ˆ¥«¥¤®¢¢

-ì

¨ì®¤¨¬®

î-®¬¥-¢

= (0, 1)

= (1, +∞)

ì®-¥«ì«¥¤®¢¯®î-«ì-¨®ª-

.¨¥-¥è¥1)•

fn(x) = sin

2 + n2x .

πn

¨¬

¯® «¥¤®¢ ¥«ì ® ì

2 • x ¬®E1

E2 nlim fn(x) = 0 = f (x).

→∞

E2 = (1, +∞). n N x E2

®-¥-¢ë¯®«

6 π|Rn(x)| = |f (x) − fn(x)| =

sin

2+n2x

πn

0 6 sup{|Rn(x)| : x E2} 6 n

nlim sup{|Rn(x)| : x E2} = 0

→∞

®¤¨ -ïª ¨®- «ì- ï

fn(x)

®-®¬¥-¢

3) • ¬®f (x)¨¬-

E2.

¢¨-®¬¥-ª- ¨®®¬¥- «ì¯® «¥¤®¢ ¥«ì

n ®¤ïé¥©

= (0, 1).

¨ ¯

xn = n2 E1

πn n > 2,

πn

Rn(x) = f (x) − fn(x) =

sin

¯® «¥¤®¢

2+n2x

|Rn(xn)| = | sin

3 |

πn

¥¤¯®«®¦¨¢,

| sin

3 | > 0.

• sup{|Rn(x)| : x E1} >

E1}

nlim sup{|Rn(x)|

→∞

= 0,

§ ® ¥¬¥ ¥®

®© ¦

® ì®¤¨¬, - ® ¨ ® -

nlim | sin πn3 | = 0,

- ® í

ª. ‡- ¨ , nlim sup{|Rn(x)| : x

→∞

ï¢«ï¥

- ¥«ì

fn(x)

¥ -

E1} 6= 0

ªï

f (x)

0 -

E1. fn(x)

¤¨¬®‡

f5¡.(x)

-«¥¤®¢-ˆ

E1.

¨ «®¢®©

5-®¦¥ ¢

-ì

î-®¬¥-¢¨ì®¤¨¬®

ë©-«ì-¨®ª-

ï¤

= 3(0, 1)

= (1,

∞

)

∞

.¨¥-¥è¥•

1) ’ ª ª ª n− n

ch xn − 1 .

ch n

− 1

x E1 E2 n N 0 < un(x) =

= n− n

2n2 , n58→ ∞

ï¤

n=1 n2

∞

‹

¯®¦-®

Œ«¥

ë¬-®®

®«ìª

∞

¯®®¤¨¯2)¬¥¨§•ï- (íª¬ «®¨¬-¢),-¨¬¥¥¬:®-¨ï¬ .

x E1 E2

ï¤

un(x) «¥Š¤¨®¬¥ï

2¤¨

n=1

n n

< 1,

= (0, 1).ª«®’ ¥ª ª

n N x E1

0 <

x6 ch ξ

®£®,

− 1

2n2

, 0 < ξ < 1.

¨ ¨

n−

6 1.

x E1 n N |un(x)| 6 2n2

∞ C

-¨®ª-

ch 1

ª •®

ï¤«®¢®©

∞

ï¤ë©-«ì

n=1 n

=P√3 n

> 2

E .

ª’

ªª

lim

u (x ) =

un(x)

- ¨® - ª ®¬¥ - ¢

E1.

n=1

→∞

ï¤

-®

ë©-«ì-

nn−1/3 | ch 1 − 1| = | ch 1 − 1| > 0,

nlim

→∞

∞

-®-®¬¥-¥«¥¤®¢-ˆï¥®¤¨ª¯

¤¨¬®‡- un(x)

. 1)

(

ï¤ ì ®¤¨¬®

- ®¢«¥

. ¢ 6

n=1

ì ¨- ¥£ 5

-ì

î-®«î¡

î-«®¢

+∞

α(1 + x2)

.¨¥-¥è¥•

dx.

√

+ x4

plnα(1+x2)

¤«ï

¥¢

f (x)

= √√

+x4

α.

¨¬¥¥«¥£-ˆ

¤¢¥

¨:®--®¡¥®

-® «¥ì:¨¢® ¯®«ì§+∞. I =

+∞

=- ¥£ f («®¢x)dx =

f (x)dx +

f (x)dx = I1 + I2.

¨§ ¦¤ë© Š

¥¤¥«¥,

¦¥

--®¡¥®¥¤¥«¥-®¯

{

¥¬-¨¦-

-«¥¤®¢¨

¨ï

¨«®¢¥£-¥¬¨-¨¥¢®¨¬{®¤¢

¨ï.-®¢¨¥£

„«ï

¨ï.--¢ª®¬-§

ªªª’

¥¬

f (x)

¨¯

→

0, ®

x 4 −2α

ï¤¨

’ ª ª ª f (x)

− 2α < 1 α > −8 .

x2 ln−α x

¯ ¨1

¨§

x → +∞,

¥¢¨¯59ï®¤¨

ˆ- ¥£ « I

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.2018434.18 Кб17Метод.реком.по самост.работе -МПОСР-2011.doc
#
27.03.2016656.27 Кб115Методические указания. РТ цепи и сигналы. Озерский.pdf
#
27.11.2019594.94 Кб13Методичка по Деталям машин и ОК исправленная.doc
#
17.11.2019838.14 Кб17Методичка САТ РГР.doc
#
03.06.20154.1 Mб180Методичка_Громов.pdf
#
03.06.2015462.06 Кб27Методы решения экзаменационных задач по матану.pdf
#
03.06.2015349.18 Кб16Мир теорий (А_Ослон).doc
#
03.06.2015983.52 Кб75МИФИ.pdf
#
03.06.201528.16 Кб85Мнемоника (биология).doc
#
27.03.2016297.09 Кб18МНОГОМЕРНЫЕ_КУБИЧЕСКИЕ_СПЛАЙНЫ.pdf
#
08.08.2019357.86 Кб19Молекулярная физика и термодинамика.docx