Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Diff

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

529.83 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

(1) , (2).

d~z	= A~z	(3)
dt

Определение: (3) получено из (1) линеаризацией в окрестности положения равновесия ~a.

Один из основных при¼мов исследования поведения решений: прежде всего изучаем уравнение

(3), и выясняем нужные нам свойства на этом уравнении, затем стараемся перенести эти результаты на уравнение (2).

2.Пусть n = 2. (Линейная автономная система второго порядка).

Имеет место следующий нетривиально доказываемый факт:

Траектории уравнения (1) в окрестности положения равновесия ведут себя , если положения равновесия системы (3) невырожденное, качественно так же, как и траектории уравнения (3).

Иллюстрация:

[ Тут будет рисунок ]

3.Устойчивость по Ляпунову

Определение: Решение ~y(t) ~a и само положение равновесия называется устойчивым по Ляпунову, åñëè:

1.	9q > 0, что при j~y(0) ~aj < q решение может быть продолжено на [0; +1),
2.	для любого " > 09 > 0; 6 q, такое, что если j~y(0) ~aj < , то j~y(t) ~aj < " при
	0 6 t < +1.

Определение: Устойчивое по Ляпунову решение ~y(t) = ~a уравнения (1), и само положение равновесия ~a называется асимптотически устойчивым, если существует такое 0 < r 6 q

(обозначение q см. в предыдущем определении), что при ~y		~a	j	< r имеет место	lim ~y(t) =
j (0)			j		t!+1

~a.

Упражнение: Рассмотрите те типы, которые были рассмотрены в x2, и выясните, какие из них являются устойчивыми, а какие к тому же асимптотически устойчивыми.

Прежде всего, мы исследуем систему (3).

Теорема: Пусть все собственные значения матрицы A лежат в левой полуплоскости. Тогда

решение системы (3) ~z(t) 0 устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво.

Доказательство: ~z(t) = etA~z(0) (см. 10 главы 1).

1	; B =	J1 .	..	0	; Js =	1
A = CBC	; B =		..		; Js =

		0		Jm		0

						0

... ......
1

| {z }

etA = CetBC 1; etB =	etJ1 ...		0	;

		0	etJm

				1	t!=1		: : :
e	tJs	= e	st		..	.	..	.
e		= e				.		.

				0			...
				0

				0	0

tks 1

(ks 1)!

.; Re s 6 < 0

t!=1

Нам важно лишь только то, что там стоят какие-то многочлены.

< ~ < 0; jetJs j 6 je stjKe(~ )t 6 e tKe(~ )t =

= Ke~t; jetAj 6 jCjjetBjjC 1j 6 Qe~t:

Итак, имеем такую оценку: j~z(t)j 6 Qe~tj~z(0)j; ~ < 0.

Центральная теорема этого параграфа. Мы возвращаемся к уравнениям (1), (2).

					~
Теорема: (Ляпунов). Пусть все собственные значения матрицы					@f		(~a) лежат в левой полуплос-
						@~y
кости. Тогда решение		системы		(или, то же самое)			~	системы		устойчиво
	~y(t) ~a		(1)						(2)
					~z(t) = 0
по Ляпунову и асимптотически устойчиво.

Замечание: Доказательство нужно проводить, используя уже более тщательные оценки.
Напоминание:		d~z
		d~z	= A + ~g(~z); j~g(~z)j = o(j~zj):			(2)

		dt
Доказательство: 80 < 9 > 0:			из j~zj 6 j j следует j~g(~z)j 6 .
Пока решение нашей задачи существует при 0 6 6 t, и j~g(~z)j 6 j~zj, (см. 10 главы 1)

	~z(t) = etA~z(0) + Z0			e(t )A~g( ) d
Из доказательства предыдущей теоремы заимствуем оценку:
			t
	j~z(t)j 6 Qe~tj~z(0)j + Z0			Qe(t )~ j~z( )j d
	e ~tj~z(t)j 6 Qj~z(0)j + Q Z				t
	e ~tj~z(t)j 6 Qj~z(0)j + Q Z				e ~j~z( )j d

По неравенству Гронуолла (см. 1 главы 3),

e ~tj~z(t)j 6 Qj~z(0)jeQ t

Таким образом,

j~z(t)j 6 Qj~z(0)je(~+Q )t

Выберем так, чтобы ~ + Q < 0. (Чтобы отрицательное число ~ мало сдвинулось вправо.) Для этого надо взять соответствующее . Теперь взяли ~, обладающее таким свойством:

Q~ < , ~ < .

Начальные значения подчиняются условию:

j~z(0)j < ~

(4)

Если для 0 6 6 t решение ~z(t) определено, имеет место j~zj 6 и выполняется условие (4), то

j~z(t)j 6 Qj~z(0)je(~+Q )t

(5)

Сейчас мы докажем, что решение действительно определено, прич¼м для всех t, и для всех решений ~z не выходит за указанные пределы. (Иначе говоря, эти предположения выполняются).

Возьм¼м цилиндр S, такой, что

S : f0 6 t < +1; j~zj 6 g

Задача Коши с такими начальными данными имеет решение. Теперь докажем, что оно не выходит за пределы цилиндра.

				f0 6 t 6 T; j~zj 6 g; 0 < T любое
			S :	f0 6 t 6 T; j~zj 6 g; 0 < T любое
			~		[ Тут будет рисунок ]
Èç	(5)	получаем, что	~	.	j~z(t)j 6	.
	(5)		j~z(t)j <		j~z(t)j 6

Теорема доказана.

Замечание: Докажите, что если хотя бы одно собственное значение матрицы лежит в правой полуплоскости, то решение не является устойчивым по Ляпунову. Подсказка: ограничиться случаем уравнения (3).

Глава 5. Первые интегралы. Линейные однородные дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка.

В этой главе все величины вещественны.

1. Первые интегралы.

1.Мы будем рассматривать такую систему:

dx1	=	dx2	= =	dxn	(1)
F1(x1; : : : ; xn)		F2(x1; : : : ; xn)		Fn(x1; : : : ; xn)

обращались в 0). При рисовании фазовых траекторий стрелки

ãäå F1; : : : ; Fn определены в области x1;:::;xG	n, непрерывны там вместе с первыми частными про-
изводными, в каждой точке G имеет место F1 6= 0, èëè : : :, èëè Fn 6= 0.

Возьм¼м 8~a 2 G; 9k : Fk(~a) 6= 0. Построим вспомогательную нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

	dx1	=	dF1	dxk+1		=	dFk+1
			dFk				dFk
	dxk			dxk
dxk 1			dFk 1		dxn		dFn	(2k)
		=				=
dxk			dFk				dFk
					dxk

Каждое решение системы (2k) по определению называется решением системы (1)

Теорема: Пусть на каком-либо решении (2k) имеет место Fs 6= 0. Тогда это решение удовлетворяет (2s).

Замечание: Важно, что эти конкурирующие возможности не противоречат друг другу.

Доказательство: x

= '(x

dxs

= 0. По теореме о неявной функции, x

= '(x

)

xk = (xs), ãäå 0

непрерывна.

dxp	=	dxp	dxk	=	Fp	Fk	=	Fp	:
		dxs dxk			Fs Fk
dxs								Fs

Определение: Система (1) симметричная форма записи нормальной системы дифференциальных уравнений.

Замечание: В нормальной системе предопределено, какие из переменных независимы, а какие будут искомыми функциями. В симметричной системе (1) это не указано.

[ Тут будет рисунок ]

Из рисунка видно, что разным точкам ставим в соответствие разные наборы независимых переменных.

dx1

= =

dxn

d~x

= ~

(~x);

~x =

x.1

;

F.1

(3)

Замечание: Автономная система (3) не имеет положения равновесия. (Запрещено, чтобы

в какой-либо точке все Fk рисовать не надо.

На нашей области задана функция u. Мы хотим вычислить производную этой функции вдоль

решений системы. Но для этого надо знать решение. Теорема говорит, что знать это необязательно.

Теорема: Пусть u(~x) определена в G и непрерывна там вместе с первыми частными производными. Пусть ~x(t) какое-либо решение системы (3). Тогда

dt	n	Fk(~x) @xk		(4)
	= k=1
du ~x(t)	X		@u(~x)

Доказательство: Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

du ~x(t)	n	@u	@x	n	Fk	@u	:
dt	= k=1	@xk	@tk	= k=1	Fk	@xk	:
	X			X

Определение: Пусть u(~x) определена в G и непрерывна там вместе с первыми частными производными. Функция u(x) называется первым интегралом системы (1), если u(~x) постоянна на каждом решении системы (1).

Замечание: Пример. Иногда рассматриваются с.д.у, описывающие движение механической системы. Из физических соображений вводится понятие полной энергии, и доказывается, что имеет место закон сохранения энергии. В нашем определении эта энергия есть первый интеграл той системы, про которую ид¼т речь.

Теорема: Пусть u(~x) определена в G и непрерывна там вместе с первыми частными производными. Тогда u(~x) первый интеграл системы (1) в том и только том случае, когда выполняется уравнение (5):

@u(~x)

= 0 8~x 2 G

(~x) @xk

(5)

Доказательство: u(~x) первый интеграл системы (1)

u(~x) постоянно на каждом

решении

du(~x(t))

= 0 на каждом решении

@u(~x)

íà

(1)

@u(~x)

(1)

Pk=1 Fk( )

@xk

= 0

каждом решении (1)

Pk=1 Fk(~x)

= 0 в каждой точке G.

@xk

Это был материал, относящийся к тому, что мы называем первым интегралом, и какие условия

нужно наложить, чтобы функция была первым интегралом.
	1	k		тоже первый
2. Åñëè u1(~x); : : : ; uk(~x) первые интегралы уравнения (1) и u1(~x); : : : ; uk(~x)						какая-
опишем совокупность всех				(1).	интеграл. Во втором пункте мы
либо гладкая функция, то u (~x); : : : ; u			(~x)		интеграл. Во втором пункте мы

первый интегралов

Замечание: Мы покажем, что всегда есть несколько первых интегралов, и все остальные выражаются через них с помощью суперпозиций. Все дальнейшие исследования локальные. Это означает, что мы фиксируем ~a 2 G, и рассматриваем вс¼ в некоторой окрестности этой

точки ~a.

Определение: Пусть u1(~x); : : : ; uk(~x) первые интегралы (1), определ¼нные в некоторой окрестности точки ~a, ~a 2 G. Эти первые интегралы называются независимыми в точке ~a,

åñëè

@u1(~a)

@x1

@uk(~a)

@x1

	@u1(~a)
	@xn			= k:
				= k:

	@uk(~a)

	@xn

(матрица размера n k)

Теорема: Для каждой точки ~a 2 G существует (n 1) независимых первых интегралов (1) и не существует большего числа независимых первых интегралов (1).

Доказательство: u1(~x); : : : ; uk(~x) независимые в ~a первые интегралы (1).

F1(~a)	@u1(~a)	+ : : : + Fn(~a)	@u1(~a)	= 0
	@x1		@xn
	@uk(~a)		@uk(~a)
F1(~a)		+ : : : + Fn(~a)		= 0
	@x1		@xn

Система линейных автономных уравнений относительно F1(~a); : : : ; Fn(~a), матрица системы

@xj (~a) . Эта СЛАУ имеет нетривиальное решение, Rg @xj (~a) , k < n, k 6 n 1.

@ui

= 0

n( ) = 0

dx1

= g1(~x)

dxn

(6)

dxn 1

= g

n 1

(~x)

dxk

[ Тут будет рисунок ]

gr(~x) = Fn непрерывна вместе с первыми частными производными.

(6)	рассмотрим в некоторой окрестности точки			~.
(6)				~a = 0
Задача Коши: xn = 0; x1 = 1; : : : ; xn 1			= n 1.
	2	x1	= '1(xn; 1; : : : ; n 1)		(7)
	4 xn 1 = 'n 1(xn; 1; : : : ; n 1)

Из результатов x4 Главы 3 следует, что '1; : : : ; 'n 1 определены в некоторой окрестности ~a и непрерывна вместе с первыми частными производными.

Поэтому

@ r

'k(0; 1; : : : ; n 1) = k:

x=0 = kr (символ Кронекера, kr

0; k = r

)

@'k

def

1; k = r

Ïðè ýòîì

@('1; : : : ; 'n 1)

...

= 1 = 0

@( 1

; : : : ; n

(7) , (8)

в нек. окрестности ~a

<1 = p1(~x)

; (8)

: n 1 = pn 1(~x)

ãäå p1; : : : ; pn 1 непрерывны вместе в первыми частными производными.

Докажем, что p1(~x); : : : ; pn 1(~x) именно нужные нам независимые первые интегралы (1). Ясно, что они являются первыми интегралами, осталось доказать независимость.

@(p1; : : : ; pn 1)	= 1.	@('1; : : : ; 'n 1)	= 1 1 = 1 6= 0:
@(x1; : : : ; xn 1)		@( 1; : : : ; n 1)

Замечание: Не нужно думать, что эти и только эти интегралы являются искомой совокупностью независимых первых интегралов. Мы построили всего лишь частный случай.

Дополнение к теореме. Графики решений системы (6) (то есть графики функций (7)) заполняют некоторую окрестность ~a (см. (8)).

Вопрос: Один из первых интегралов можно ли выразить через остальные?

Ответ: Нельзя, потому что первый интеграл выражается через совокупность независимых первых интегралов, прич¼м единственным образом, следовательно, через остальные он выражен быть не может.

Замечание: Определение независимых интегралов было введено демонстративно математи- чески. Теперь рассмотрим теорему, раскрывающую смысл этого определения.

Теорема: Пусть u1(~x); : : : ; un 1(~x) какие-либо независимые в ~a первые интегралы (1). Пусть u(~x) первый интеграл (1), определ¼нный в некоторой окрестности ~a. Тогда существует функция (u1; : : : ; un 1), непрерывная вместе с первыми частными производными такая, что

u(~x) = u1(~x); : : : ; un 1(~x)

в некоторой окрестности ~a. Функция единственна в некоторой окрестности значений u1(~a); : : : ; un 1(~a).

Доказательство: Для определ¼нности ~a = 0 Также для определ¼нности бер¼м

@(u1; : : : ; un 1)

6= 0:

@(x1; : : : ; xn 1) ~x=~a

Докажем, что Fn(~a) 6= 0. Допустим противное. Пусть Fn(~a) = 0. Тогда имеет место соотношение

@u1

+ : : : + Fn 1

@u1

= 0

@x1

@xn 1

: : :

@un

= 0

> F1 @x1

+ : : : + Fn 1 @xn 1

Система автономных

F1; : : : ; Fn 1 имеет решение F1 =

линейных уравнений относительно

: : : = Fn 1 = 0. Противоречие.

***

Тогда система приводится к виду:

		dx1	= g1(x1; : : : ; xn)
			= g1(x1; : : : ; xn)
(1) ,		dxn		: : :				;
(1) ,	dxn 1			: : :				;
	dxn 1		= g	n 1	(x	; : : : ; x		)
	dxn			n 1	1		n

g1; : : : ; gn 1 определены в некоторой окрестности ~a и непрерывна там вместе с первыми частными производными.

Случай xn = 0:

= u1(x:1:;:: : : ; xn 1)

det

@ui

= 0

(9)

@xj

< un

= un

(x1; : : : ; xn

~a 6

По теореме о неявных функциях,

2 x1 = q1(u:1:;:: : : ; un 1)

(9)

â íåê. îêð. ~a

;

4 x1 = q1(u1; : : : ; un 1)

ãäå q1; : : : ; qn 1 непрерывны вместе со своими частными производными.

Замечание: u1; : : : ; un 1 создают криволинейную систему координат.

u(x1; : : : ; xn 1; 0) = u q1(u1; : : : ; un 1); : : : ; qn 1(u1; : : : ; un 1); 0 =

(u1; : : : ; un 1), определена однозначно и непрерывна вместе с первыми частными производными. xn = 0.

u(~x) = u1(~x); : : : ; un 1(~x)

[ Тут будет рисунок ] Для этой системы рассмотрим задачу Коши:

xn = 0; x1 = 1; : : : ; xn 1 = n 1

Графики решения заполняют всю некоторую окрестность ~a.

Вдоль каждой траектории каждый из аргументов оста¼тся постоянным (как первый интеграл). u1; : : : ; un 1 постоянны. Поэтому если равенство имело место в начале траектории, то оно имеет

место в течение всей кривой.				~a
на каждом решении,				~a
Èç òîãî, ÷òî u(~x) = u1(~x); : : : ; un 1(~x)		ïðè xn = 0, следует, что u(~x) = u1(~x); : : : ; un 1(~x)
то есть в некоторой окрестности .
***
Общая формула первых интегралов в некоторой окрестности ~a:
ãäå u1(~x); : : : ; un 1(~x) какие-либо			~a
u(~x) = u1(~x); : : : ; un 1					(~x) ;
	независимые в первые интегралы, функция					непрерывна
вместе с первыми частными производными.

Замечание:

1. Если мы получили некоторое количество независимых первых интегралов u1(~x); : : : ; un 1(~x), то в некоторой окрестности ~a имеет место

		u1(~x) = c1
		: : :
ãäå c1; : : : ; ck константы. Rg @xj		uk(~x) = ck
ãäå c1; : : : ; ck константы. Rg @xj		= k. По теореме о неявной функции (почему?),
	@ui


можно понизить порядок системы (1).
2. Рассмотрим такое уравнение:
p(x; y) dx + q(x; y) dy = 0

в некоторой области G. p; q непрерывны вместе с первыми частными производными в каждой точке p 6= 0 или q 6= 0. Это уравнение мы рассматривали ещ¼ на самой первой

лекции. С другой стороны эта система из одного уравнения подходит под наш случай. (n = 2, n 1 = 1)

	dx	=	dy
	Q	=	P
	Q		P
u1(x; y) система независимых первых интегралов, Rg				@u	@u	= 1.
u1(x; y) система независимых первых интегралов, Rg				@x1 (x; y);	@y1 (x; y)	= 1.

Вс¼ в окрестности некоторой точки ~a.

du1(x; y) =

@u1(x; y)

dx +

@u1(x; y)

dy = 0

Следовательно, существует непрерывная функция (x; y), (x; y) не обращается в 0, та-

êàÿ, ÷òî

@u1

p =

; q =

Только сейчас мы доказали, что при некоторых предположениях, интегрирующий мно-

житель всегда существует.

d~y

= f~(z; ~y); ~y =

y.1

; f~ =

f.1

(11)

f определена в области G и непрерывна там вместе с первыми частными производными.

dy1	= : : : =	dyn	=	dz

f1		fn		1

Система (11) имеет в каждой точке (z0; ~y0) n независимых первых интегралов (и не больше).

d~y	~
dz	= f(~z) автономная система

и непрерывны там вместе с первыми част-

Пусть ~	~	. Заметим, что система	dy1		dyn	имеет	n 1	независимых первых
			f1
f(~a) 6= 0				= : : : =	fn
интегралов.

Пусть автономная система дифференциальных уравнений рассматривается в окрестности точки не являющейся положением равновесия. Тогда в некоторой окрестности этой точки существует n 1 независимых первых интегралов, являющихся функциям

y1; : : : ; yn (то есть не зависящие от z).

Замечание: Эти рассуждения относятся к несовершенству терминологий: казалось бы, количество первых интегралов не изменится, так как случай автономных систем это просто очередной частный случай.

2. Линейные однородные дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка.

1.		@u			@u
	F1(x1; : : : ; xn)	@u	+ : : : + Fn(x1; : : : ; xn)		@u	= 0

		@x1			@xn
F1; : : : ; Fn	определены в некоторой области			G
F1; : : : ; Fn				x1;:::;xn

ными производными. В каждой точке G имеет место F1 6= 0 èëè : : : èëè Fn 6= 0. Для этого уравнения составляем вспомогательную систему

	x.1	= ~x;	F.1				=	~
								F
xn			F	n
			F


	dx1					dxn
	F1(~x)	=	=		Fn(~x)

(1)

(2)

[ Тут будет рисунок ] Область как бы расслаивается на решения.

Определение: Графики решений системы (2) называются характеристиками уравнения (1).

Определение: Пусть u(~x) непрерывна вместе с первыми частными производными, u(~x) называется решением (1) если u(~x) удовлетворяет (1) в каждой точке.

Теорема: Пусть u(~x) непрерывна в G вместе с первыми частными производными. Тогда u(~x) решение (1) , u(~x) первый интеграл (2).

Доказательство: (см. 1)

Общая формула решения (1) в некоторой окрестности ~a.

u(~x) = u1(~x); : : : ; un 1(~x) ;

ãäå u1(~x); : : : ; un 1(~x) какие-либо независимые в ~a первые интегралы (2) непрерывна вместе с первыми частными производными.

Доказательство: (см. 1)

2. Задача Коши для уравнения (1)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.20154.16 Mб22CUDA Intro.pdf
#
03.06.20151.72 Mб21CUDA Memory.pdf
#
27.03.2016276.18 Кб13Curve.pdf
#
03.06.2015180.02 Кб11Describing graphs.pdf
#
03.06.2015713.59 Кб14devcpp_2.pdf
#
03.06.2015529.83 Кб20Diff.pdf
#
27.03.20161.89 Mб19diploma_0.0.2.pdf
#
03.06.20151.39 Mб88DV-16235-2-S2FTLY.PDF
#
30.08.201978.34 Кб2d_c12_rb.doc
#
03.06.20156.19 Mб120e-maxx_algo.pdf
#
27.03.2016996.89 Кб11Engineering Biology for Drugs and Fuels.pdf