МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544
.pdf
Глава 2 . Произведения векторов |
69 |
Рис. 2.6.1
Теорема доказана.
– высота параллелепи- педа с основанием S, откуда (см. рис. 2.6.1)
V = |
|
→ → → |
|
|
|
|
|||
|
( a , b , c ) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
Наконец,
→ → →
( a , b , c ) =
→ → →
= | [ a, b ] | | c | cos α,
что и позволяет сделать заключение о знаке сме- шанного произведения.
Свойства смешанного произведения
Для смешанного произведения справедливы тождества:
→ → → |
→ → → |
→ → → |
|
||
1°. (a, b, c) = (c, a, b) = |
(b, c, a) = |
|
|||
|
|
→ → → |
→ → → |
→ → → |
|
|
|
= −(b, a, c) |
= −(c, b, a) = −(a, c, b) ; |
||
→ → → |
|
→ → → |
|
|
|
2°. (λ a, b, c) = λ(a, b, c) ; |
|
||||
→ |
→ → → |
→ → → |
→ → → |
||
3°. ( a1 |
+ a2 , b , c ) = ( a1 , b , c ) + ( a2 , b , c ) , |
||||
справедливость которых следует из определения смешанного произ- ведения и теоремы 2.6.1.
70 |
Аналитическая геометрия и линейная алгебра |
Отметим, наконец, что смешанное произведение равно нулю, если среди сомножителей имеется хотя бы одна пара коллинеарных векто- ров.
§2.7. Выражение смешанного произведения
вкоординатах
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
||
|
Пусть задан правый базис {g1 , g2 , g3} и три вектора a , |
b и c, |
||||||||||||||||||||||
координатные |
|
разложения |
которых |
в этом |
базисе |
|
имеют |
вид |
||||||||||||||||
→ |
→ |
|
→ |
|
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|||||
a |
= ξ1 g1 + ξ2 g 2 |
+ ξ3 g3 , |
b = h1 g1 |
+ h2 g 2 + h3 g3 |
и соответст- |
|||||||||||||||||||
|
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
венно c = k1 g1 + k |
2 g 2 + k3 g3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
По свойствам векторного произведения имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
→ → |
|
x |
2 |
x |
3 |
|
→ |
- det |
|
x |
1 |
x |
3 |
|
→ |
+ det |
|
x |
1 |
x |
2 |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
[a, b] = det |
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
f 2 |
|
|
|
|
f3 , |
|||||||||
|
|
|
h2 |
h3 |
|
|
|
|
h1 |
h3 |
|
|
|
|
h1 |
h2 |
|
|
||||||
→→ →
где векторы |
f1 , f 2 , f 3 |
были определены в § 2.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
→ |
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
вытекает, |
|
|
|
, g 2 , g3 ), k = j, |
|
|
||||||||||||||||
Откуда |
|
что (g k , f j ) = |
(g1 |
и |
для |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ¹ j, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
||||||||
→ → → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a , b , c ) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
→ → → |
|
→ → |
|
→ |
= (κ1 det |
|
ξ 2 |
ξ3 |
|
− κ 2 det |
|
ξ1 |
ξ3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(a, b, c ) = ([a, b], c ) |
|
|
|
+ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η2 |
η3 |
|
|
|
|
η1 |
η3 |
|
|
|||||
|
|
ξ1 |
ξ 2 |
|
|
|
→ → → |
|
|
|
ξ1 |
ξ2 |
|
ξ3 |
|
|
|
→ |
→ |
→ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
+ κ3 det |
|
|
|
|
|
|
|
η1 |
η2 |
|
η3 |
|
|
|
||||||||||
|
η |
η |
|
|
)(g1 , g 2 , g3 ) = det |
|
|
|
|
|
(g1 , g 2 , g3 ), |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
κ1 |
κ 2 |
|
κ3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 2 . Произведения векторов |
71 |
поскольку выражение, стоящее в больших круглых скобках, является разложением определителя 3-го порядка по последней строке. (См. тео-
рему 1.1.1.)
Замечания. 1°. Из последней формулы и теоремы 2.6.1 следует спра-
ведливость теоремы 1.6.3. |
|
|
|
|
|
|
|||
2°. В |
случае ортонормированного |
правого базиса |
|||||||
→ |
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
( e1 ,e2 , e3 ) = 1, поэтому в таком базисе |
|||||||||
|
→ → → |
|
ξ1 |
ξ2 |
ξ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(a, b, c ) = det |
|
η1 |
η2 |
η3 |
|
|
|
. |
|
|
|
κ1 |
κ2 |
κ3 |
|
|
|
|
→ → →
3°. Для введенных в § 2.5 векторов f1 , f2 , f3 справед-
лива
|
→ → → |
Теорема |
Тройка векторов { f1 , f 2 , f 3 } образует базис (назы- |
2.7.1. |
→ → → |
|
ваемый взаимным базису {g1 , g2 , g3 } ). |
Доказательство.
Для доказательства достаточно показать, что векторы
→→ →
f1 , f 2 , f 3 линейно независимы.
Пусть существуют числа λ1 , λ 2 , λ3 , такие, что
→ |
|
→ |
|
→ |
→ |
λ1 f1 |
+ λ |
2 f 2 |
+ λ |
3 f3 |
= o . |
Умножив последовательно обе части этого равенства скалярно
→ |
|
|
|
на g j , j = [1, 3] , получим |
|
||
→ → |
|
→ → |
→ → |
λ1 ( f1 , g j ) |
+ λ |
2 ( f 2 , g j ) + λ |
3 ( f3 , g j ) = 0 , j = [1,3] . |
|
|
|
(2.7.1) |
72 |
Аналитическая геометрия и линейная алгебра |
|||
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
||
|
Для девяти выражений ( fi , g j ) , i = [1, 3] , j = [1, 3] имеем |
|||
|
||||
|
→ → |
a, i = j, |
a ¹ 0 . Действительно, выраже- |
|
|
( fi , g j ) |
= |
, где |
|
|
|
0, i ¹ |
j, |
|
→→
ния ( fi , gi ) , i = [1, 3] суть смешанные произведения не-
→→ →
компланарных векторов g1 , g2 , g3 и потому отличны от ну-
→ →
ля. Остальные шесть выражений ( fi , g j ) , i ¹ j будут рав-
ны нулю как смешанные произведения векторов, среди кото- рых имеется пара равных.
Подставляя значения выражений в систему равенств (2.7.1),
получим, что все l i = 0 , i = [1, 3] , что доказывает линейную
→→ →
зависимость векторов f1 , f2 , f3 .
Теорема доказана.
§ 2.8. Двойное векторное произведение
|
|
|
|
→ |
→ |
Определение |
Двойным векторным произведением векторов a , |
b |
|||
2.8.1. |
|
→ |
→ → → |
|
|
|
|
и c называется вектор [a,[b, c ]] . |
|
|
|
Для решения ряда задач оказывается полезной |
|
|
|||
Теорема |
Имеет место равенство |
|
|
|
|
2.8.1. |
|
|
|
|
|
|
|
→ → → → → → → → → |
→ → → |
|
|
|
|
[a,[b, c ]] = b(a, c ) - c (a, b) |
" a, b, c . |
|
|
Глава 2 . Произведения векторов |
73 |
Доказательство.
→ → →
Заметим, что если векторы a, b, c попарно ортогональны, то
доказываемое равенство очевидно, поэтому далее будем предпо-
→ → → →
лагать, что числа (a, b) и (a, c ) не равны нулю одновременно.
|
→ |
→ → → |
|
|
Обозначим x = [a,[b, c ]]. По определению векторного произ- |
||||
|
|
→ |
→ → |
→ |
ведения вектор |
x ортогонален как вектору [b, c] , так и |
a . |
||
1º. По |
свойствам смешанного |
произведения |
условие |
|
→ |
→ → |
→ → → |
|
|
( x,[b, c ]) = ( x, b, c ) = 0 означает, что тройка векторов
→→ →
{x, b, c} компланарная и в силу леммы 1.4.1
|
|
→ |
→ |
|
→ |
|
|
где λ и μ − |
x = λ b |
+ μ c , |
|
||
|
некоторые числа. |
|
|
|
||
|
|
→ → |
|
|
|
|
2º. |
Из условия ( x, a) = 0 следует, что |
|
||||
|
→ |
→ → |
|
→ → |
→ → |
|
|
(λ b + μ c , a) = 0 или λ(b , a) + μ(c , a) = 0 . |
|||||
|
|
|
→ |
|
|
|
3º. |
Рассмотрим теперь вектор |
r , |
удовлетворяющий следую- |
|||
|
щему набору условий: |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
а) r (так же как и вектор |
x ) принадлежит плоскости, |
||||
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
проходящей через векторы b и c ; |
|
||||
|
→ → |
→ → |
|
|
|
|
|
б) (r , b) = |
0 и (r , c) > 0 . (См. рис. 2.8.1.) |
||||
Найдем теперь выражение для смешанного произведения вида
→ → → → → → → →
(a, r ,[b, c ]) = (a,[ r ,[b, c ]]). С одной стороны, по свойствам
→ →
смешанного произведения и в силу (r , b) = 0 имеем
74 |
Аналитическая геометрия и линейная алгебра |
Рис. 2.8.1
→ → → → |
|
|
→ → → → |
|
= - |
|
|
→ → → → |
→ → |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(a, r ,[b, c ]) |
= - ( r ,a,[b, c ]) |
( r ,[a,[b, c]]) = -( r ,x) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
→ → |
→ → |
|
|||||||||||||||||
= - ( r , l b + m c) |
= -l( r , b) |
- m( r , c) |
= -m( r , c). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ → |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|||||||||
С другой стороны, |
вектор [ r ,[b, c ]] сонаправлен с |
b , то есть |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ → |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
||||||||||||
κ > 0 такое, что [ r ,[b, c ] ] = k b . Поэтому |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → → → |
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a, r ,[b, c ] ) = k(a, b) . |
|
|
||||||||||||||||||||
Значение κ найдем из соотношений |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k |
|
|
|
→ |
|
|
|
= |
|
|
|
→ |
|
→ → |
|
|
= |
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
→ |
→ → |
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
[ r ,[b, c ] ] |
|
|
r |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
c |
sin a sin(Ð{r ;[b, c ]}) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
cos( p |
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
→ |
|
|
k = |
→ → |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
|
b |
|
|
|
|
c |
|
- a) = ( r , c ) |
|
b |
|
|
( r , c ) , |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 2 . Произведения векторов |
75 |
→→ →
поскольку угол между r и [b, c] прямой. Значит,
→ → → → |
→ → |
→ → |
(a, r ,[b, c ] ) = (a, b) × |
( r , c). |
|
|
→ → → → |
|
Приравнивая выражения для (a, r ,[b, c ] ) , получаем
→ → |
→ → → → |
→ → |
- m(r , c ) = (a, b) × ( r , c ) |
или m = -(a, b) . |
|
Наконец, из соотношения, полученного в п. 2º, находим, что
→ →
l = (a, c ) .
Теорема доказана.
Альтернативное доказательство этой теоремы приводится в При- ложении 4 (см. Прил. 4.5).
§2.9. Замечания об инвариантности произведений векторов
Операции векторных произведений были введены независимо от координатного представления сомножителей и, значит, независимо и от используемого базиса. С другой стороны, естественным представ- ляется вопрос о возможности (и соответственно целесообразности) дать определения операций произведения векторов непосредственно в координатной форме.
→ |
→ |
В общем случае каждой упорядоченной паре векторов a |
и b , |
→ → → |
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x2 |
|
|
|
|
имеющих в базисе {g1 , g2 , g3} координатные представления |
|
|
|
и |
|
|
|
x3 |
|
|
|
76 |
Аналитическая геометрия и линейная алгебра |
η1
η2 , естественно поставить в соответствие девятку попарных произ-
η3
ведений ξk ηi ; k, i = 1, 2, 3 , которую можно записать в виде матри-
цы
ξ1η1 |
ξ1η2 |
ξ1η3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ξ2 η1 |
ξ2 η2 |
ξ2 η3 |
|
|
|
. |
(2.9.1) |
ξ3η1 |
ξ3η2 |
ξ3η3 |
|
|
|
|
|
На первый взгляд, зависимость компонент этой матрицы от выбо- ра базиса делает координатный способ введения произведений векто- ров малоцелесообразным, ибо придется давать их определение для каждого из возможных базисов.
Однако было замечено, что существуют некоторые линейные ком- бинации чисел ξk η i ; k, i = 1,2,3 , инвариантные (то есть не изме-
няющиеся) при замене базиса, которые можно принять за определение произведений векторов в координатном представлении.
Покажем в качестве примера, что сумма элементов матрицы 2.9.1, стоящих на ее главной диагонали, не меняется при переходе от одного ортонормированного базиса к другому.
→ → → |
|
||
Рассмотрим два ортонормированных базиса {e′, e′ |
, e′ |
} и |
|
1 |
2 |
3 |
|
→ → |
→ |
|
|
|
σ11 |
σ12 |
σ13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
σ21 |
σ22 |
σ23 |
|
|
|
|
||
{e1 , e2 |
, e3 |
} с матрицей перехода |
S |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
σ31 |
σ32 |
σ33 |
|
|
|
|
Согласно § 1.8, в этом случае для базисных векторов имеют место
→ 3 →
соотношения et′ = ∑σ pt ep ; t = 1, 2, 3 , а для координат соответс-
p=1
Глава 2 . Произведения векторов |
|
|
|
|
|
|
|
77 |
||||||||||||||||
твенно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
′ |
; s = 1, 2, 3; ηs = |
3 |
|
|
|
′ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ξs = ∑σsi ξi |
∑σst ηt ; s = 1, 2, 3. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть δit – |
символ Кронекера (см. § 2.3), тогда из условия орто- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → → |
|
|
→ → → |
|
|
|||||||||
нормированности базисов {e′, e |
′ |
, e′ |
} и {e , e |
2 |
, e |
} имеем |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|||||
|
→ → |
= δit |
|
|
3 |
|
→ |
3 |
|
|
|
|
→ |
|
3 |
|
3 |
|
|
→ → |
||||
(ei′, et′) |
= (∑σsi es , ∑σ pt e p ) = ∑∑σsi σ pt (es , ep ) = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
s =1 |
|
p=1 |
|
|
|
|
|
s =1 p=1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑∑σsi σ pt δsp |
=∑σsi σst ; |
t |
= 1, 2, 3 . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
s=1 |
p=1 |
|
|
|
|
s=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
= δit , i, t |
|
|
|
||||
Отметим, |
|
что соотношения |
∑σsi σst |
= 1, 2, 3, являются |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
свойством матрицы перехода |
|
S |
|
от одного ортонормированного |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
базиса к другому. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Найдем |
|
теперь |
|
выражение |
для |
линейной |
комбинации |
||||||||||||||||
ξ η + ξ |
|
η |
|
+ ξ |
η |
|
|
|
|
|
|
→ → → |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
3 |
в базисе |
{e′, e′ |
, e′ |
} , |
используя |
зависимости |
||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
между компонентами матрицы перехода и определение символа Кро- некера:
3 |
3 |
3 |
|
′ |
3 |
|
′ |
|
3 3 |
′ ′ |
3 |
∑ξi ηi = ∑(∑σsi ξi )( ∑σst ηt ) |
= ∑∑ξi ηt |
∑σsi σst = |
|||||||||
i=1 |
i=1 s=1 |
|
|
t =1 |
|
|
|
i=1 t =1 |
|
s =1 |
|
|
3 |
3 |
′ |
′ |
3 |
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= ∑∑ξi |
ηt δit |
= ∑ξt |
ηt . |
|
|
|
|
|||
|
i=1 |
t =1 |
|
|
t =1 |
|
|
|
|
|
|
Полученное |
равенство |
доказывает |
инвариантность суммы |
||||||||
ξ1η1 + ξ2 η2 + ξ3η3 при замене одного ортонормированного базиса
78 |
Аналитическая геометрия и линейная алгебра |
другим, которая может быть принята в этих базисах за определение скалярного произведения векторов.
Покажите самостоятельно, что при переходе от одного ортонор- мированного базиса к другому ортонормированному базису инвари- антными также оказываются и линейные комбинации вида
ξ2 η3 − ξ3η2 ,
ξ3η1 − ξ1η3 ,
ξ1η2 − ξ2 η1 .
Выясните, каков геометрический смысл этой инвариантности.