e-maxx_algo

if (f[i][j+n] == 1)

printf ("%d ", j+1);

}

Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

Постановка задачи о назначениях

Задача о назначениях ставится весьма естественно.

Приведём несколько вариантов постановки (как легко видеть, все они эквивалентны друг другу):

●Есть рабочих и заданий. Для каждого рабочего известно, сколько денег он запросит за выполнение того или иного задания. Каждый рабочий может взять себе только одно задание. Требуется распределить задания по рабочим так, чтобы минимизировать суммарные расходы.

●Дана матрица размера . Требуется в каждой её строке выбрать по одному числу так, чтобы в любом столбце также было выбрано ровно по одному числу, и при этом сумма выбранных чисел была бы минимальной.

●Дана матрица размера . Требуется найти такую перестановку длины , что величина

— минимальна.

●Дан полный двудольный граф с вершинами; каждому ребру приписан некоторый вес. Требуется найти совершенное паросочетание минимального веса.

Отметим, что все приведённые выше постановки "квадратны": в них обе размерности всегда совпадают (и равны

к "квадратной", добавив строки/столбцы с нулевыми/бесконечными значениями соответственно.

Также заметим, что по аналогии с поиском минимального решения также ставить задачу поиска максимального решения. Впрочем, эти две задачи эквивалентны друг другу: достаточно все веса умножить на .

Венгерский алгоритм

Историческая справка

Алгоритм был разработан и опубликован Гарольдом Куном (Harold Kuhn) в 1955 г. Сам Кун дал алгоритму название "венгерский", потому что он был в значительной степени основан на более ранних работах двух венгерских математиков: Денеша Кёнига (Dénes Kőnig) и Эйгена Эгервари (Jenő Egerváry).

В 1957 г. Джеймс Манкрес (James Munkres) показал, что этот алгоритм работает за (строго) полиномиальное время (т.е. за время порядка полинома от , не зависящего от величины стоимостей).

Поэтому в литературе данный алгоритм известен не только как "венгерский", но и как "алгоритм Куна-Манкреса" или "алгоритм Манкреса".

Впрочем, недавно (в 2006 г.) выяснилось, что точно такой же алгоритм был изобретён за век до Куна немецким математиком Карлом Густавом Якоби (Carl Gustav Jacobi). Дело в том, что его работа "About the research of the order of a system of arbitrary ordinary differential equations", напечатанная посмертно в 1890 г., содержавшая помимо прочих результатов и полиномиальный алгоритм решения задачи о назначениях, была написана на латыни, а её публикация прошла незамеченной среди математиков.

Также стоит отметить, что первоначальный алгоритм Куна имел асимптотику , и лишь позже Джек

Эдмондс (Jack Edmonds) и Ричард Карп (Richard Karp) (и независимо от них Томидзава (Tomizawa))

показали, каким образом улучшить его до асимптотики .

Построение алгоритма за

Сразу отметим во избежание неоднозначностей, что мы в основном рассматриваем здесь задачу о назначениях в матричной постановке (т.е. дана матрица , и надо выбрать из неё ячеек, находящихся в разных строках и столбцах). Индексацию массивов мы начинаем с единицы, т.е., например, матрица имеет индексы .

Также мы будем считать, что все числа в матрице неотрицательны (если это не так, то всегда можно перейти к неотрицательной матрице, прибавив ко всем числам некоторое число).

Назовём потенциалом два произвольных массива чисел и таких, что выполняется условие:

(Как видно, числа соответствуют строкам, а числа — столбцам матрицы.) Назовём значением потенциала сумму его чисел:

С одной стороны, легко заметить, что стоимость искомого решения не меньше значения любого потенциала:

С другой стороны, оказывается, что всегда существует решение и потенциал, на которых это неравенство обращается в равенство. Венгерский алгоритм, описанный ниже, будет

конструктивным доказательством этого факта. Пока же лишь обратим внимание на то, что если какое-либо решение имеет стоимость, равную по величине какому-либо потенциалу, то это решение — оптимально.

Зафиксируем некоторый потенциал. Назовём ребро жёстким, если выполняется:

Вспомним об альтернативной постановке задачи о назначениях, с помощью двудольного графа. Обозначим через

двудольный граф, составленный только из жёстких рёбер. Фактически, венгерский алгоритм поддерживает для текущего потенциала максимальное по количеству рёбер паросочетание графа : и

как только это паросочетание станет содержать рёбер, рёбра этого паросочетания и будут являться искомым оптимальным решением.

Перейдём непосредственно к описанию алгоритма.

●В начале алгоритма потенциал полагается равным нулю , и паросочетание полагается пустым.

●Далее, на каждом шаге алгоритма мы пытаемся, не меняя потенциала, увеличить мощность текущего паросочетания на единицу (напоминаем, паросочетание ищется в графе жёстких рёбер ).

Для этого фактически используется обычный алгоритм Куна поиска максимального паросочетания в двудольных графах. Напомним здесь этот алгоритм.

Все рёбра паросочетания ориентируются по направлению от второй доли к первой, все остальные рёбра графа ориентируются в противоположную сторону.

Напомним (из терминологии поиска паросочетаний), что вершина называется насыщенной, если ей смежно ребро из текущего паросочетания. Вершина, которой не смежно ни одно ребро из текущего паросочетания, называется ненасыщенной. Путь нечётной длины, в котором первое ребро не принадлежит паросочетанию, а для

всех последующих рёбер происходит чередование (принадлежит/не принадлежит) — называется увеличивающим путём.

Из всех ненасыщенных вершин первой доли запускается обход в глубину/в ширину. Если в результате обхода

удалось достигнуть ненасыщенной вершины второй доли, то это означает, что мы нашли увеличивающий путь из первой доли во вторую. Если прочередовать рёбра вдоль этого пути (т.е. первое ребро включить в паросочетание, второе исключить, третье включить, и т.д.), то тем самым мы увеличим мощность паросочетания на единицу.

Если же увеличивающего пути не было, то это означает, что текущее паросочетание — максимально в графе , поэтому в таком случае переходим к следующему пункту.

●Если на текущем шаге не удалось увеличить мощность текущего паросочетания, то производится некий пересчёт потенциала таким образом, чтобы на следующих шагах появилось больше возможностей для увеличения паросочетания.

попытке поиска увеличивающей цепи; через — множество посещённых вершин второй доли. Обозначим через множество ненасыщенных вершин первой доли, через — множество ненасыщенных вершин второй доли.

Посчитаем величину :

Эта величина строго положительна.

(Доказательство. Предположим, что . Тогда существует жёсткое ребро , причём и .

насыщенную вершину , кроме как пройдя по ребру из в . Пришли к противоречию, значит, .)

— хотя левая часть неравенства и увеличивается, но всё равно неравенство сохраняется, поскольку величина

, согласно её определению — это как раз максимальное увеличение, не приводящее к нарушению неравенства.)

Кроме того, старое паросочетание из жёстких рёбер можно будет оставить, т.е. все рёбра паросочетания останутся жёсткими.

Но раз , то это означает, что ребро не могло быть ребром паросочетания, что и требовалось доказать.)

Наконец, чтобы показать, что изменения потенциала не могут происходить бесконечно, заметим, что при каждом таком изменении потенциала количество вершин, достижимых обходом, т.е. ,

строго увеличивается. (При этом нельзя утверждать, что увеличивается количество жёстких рёбер.) (Доказательство. Во-первых, любая вершина, которая была достижимой, достижимой и останется. В самом деле,

не меняется, то весь этот путь сохранится и после изменения потенциала, что и требовалось доказать. Вовторых, покажем, что в результате пересчёта потенциала появилась хотя бы одна новая достижимая вершина. Но

Таким образом, рано или поздно будет найден потенциал, которому соответствует совершенное паросочетание , являющееся ответом на задачу.

Ключевая идея: теперь мы будем добавлять в рассмотрение строки матрицы одну за одной,

ане рассматривать их все сразу. Таким образом, описанный выше алгоритм примет вид:

●Добавляем в рассмотрение очередную строку матрицы .

●Пока нет увеличивающей цепи, начинающейся в этой строке, пересчитываем потенциал.

●Как только появляется увеличивающая цепь, чередуем паросочетание вдоль неё (включая тем самым последнюю строку в паросочетание), и переходим к началу (к рассмотрению следующей строки).

Чтобы достичь требуемой асимптотики, надо реализовать шаги 2-3, выполняющиеся для каждой строки матрицы, за время (для прямоугольных задач — за ).

Для этого мы вспомним два факта, доказанных нами выше:

●При изменении потенциала вершины, которые были достижимы обходом Куна, достижимыми и останутся.

●Всего могло произойти лишь пересчётов потенциала, прежде чем будет найдена увеличивающая цепь.

Отсюда вытекают ключевые идеи, позволяющие достичь требуемой асимптотики:

●Для проверки наличия увеличивающей цепочки нет необходимости запускать обход Куна заново после каждого пересчёта потенциала. Вместо этого можно оформить обход Куна в итеративном виде: после каждого пересчёта потенциала мы просматриваем добавившиеся жёсткие рёбра и, если их левые концы были

достижимыми, помечаем их правые концы также как достижимые и продолжаем обход из них.

●Развивая эту идею дальше, можно прийти к такому представлению алгоритма: это цикл, на каждом шаге которого сначала пересчитывается потенциал, затем находится столбец, ставший достижимым (а таковой всегда найдётся, поскольку после пересчёта потенциала всегда появляются новые достижимые вершины), и если этот

столбец был ненасыщен, то найдена увеличивающая цепь, а если столбец был насыщен — то соответствующая ему в паросочетании строка также становится достижимой.

Теперь алгоритм принимает вид: цикл добавления столбцов, на каждом из которых сначала пересчитывается потенциал, а затем какой-то новый столбец помечается как достижимый.

Как легко видеть, искомая величина выражается через них следующим образом:

Таким образом, нахождение теперь можно произвести за .

меняется только для недостигнутых пока столбцов: а именно, уменьшается на ).

Таким образом, алгоритм принимает такой вид: во внешнем цикле мы добавляем в рассмотрение строки матрицы одну

Итоговая асимптотика составляет — или, если задача прямоугольна, .

Реализация венгерского алгоритма за ()

Приведённая реализация фактически была разработана Андреем Лопатиным несколько лет назад. Её отличает удивительная лаконичность: весь алгоритм помещается в 30 строк кода.

Матрица хранится в -индексации в целях удобства и краткости кода. Дело в том, что в данной реализации вводятся фиктивные нулевая строка и нулевой столбец, что позволяет написать многие циклы в общем виде, без дополнительных проверок.

из нуля строк. (Отметим, что для данной реализации не важно, имеются или нет в матрице отрицательные числа.)

надо хранить номер строки, а также завести ещё один массив: для каждой строки запомнить номер столбца, из которого мы в неё пришли. Однако вместо этого можно заметить, что алгоритм Куна всегда попадает в строки, проходя по ребру паросочетания из столбцов, поэтому номера строк для восстановления цепочки всегда можно взять из паросочетания (т.е. из массива ). Таким образом, для каждого столбца содержит

номер предшествующего столбца (или , если такого нет).

Сам алгоритм представляет из себя внешний цикл по строкам матрицы, внутри которого

происходит добавление в рассмотрение -ой строки матрицы. Внутренняя часть представляет собой цикл "do-while (p[j0] !

а изначально при берётся -ая строка). Из-за появления новой посещённой строки нужно

равной нулю, что означает, что на текущем шаге потенциал можно не менять: новый достижимый столбец есть и без того). После этого производится пересчёт потенциала , соответствующее изменение массива .

По окончании цикла "do-while" мы нашли увеличивающую цепочку, оканчивающуюся в столбце , "раскрутить"

}while (p[j0] != 0); do {

int j1 = way[j0]; p[j0] = p[j1]; j0 = j1;

}while (j0);

}

поскольку пока нет увеличивающей цепи, число достижимых строк ровно на единицу больше числа достижимых столбцов (только текущая строка не имеет себе "пары" в виде посещённого столбца):

int cost = -v[0];

Примеры задач

Приведём здесь несколько примеров на решение задачи о назначениях: начиная от совсем тривиальных, и заканчивая менее очевидными задачами:

●Дан двудольный граф, требуется найти в нём паросочетание максимальное паросочетание минимального веса (т.е. в первую очередь максимизируется размер паросочетания, во вторую — минимизируется его стоимость).

●Ravindra Ahuja, Thomas Magnanti, James Orlin. Network Flows [1993]

●Harold Kuhn. The Hungarian Method for the Assignment Problem [1955]

●James Munkres. Algorithms for Assignment and Transportation Problems [1957]

Задачи в online judges

Список задач на решение задачи о назначениях:

Нахождение минимального разреза. Алгоритм Штор-Вагнера

Постановка задачи

Дан неориентированный взвешенный граф с вершинами и рёбрами. Разрезом называется некоторое подмножество вершин (фактически, разрез — разбиение вершин на два множества: принадлежащие и все остальные). Весом разреза называется сумма весов рёбер, проходящих через разрез, т.е. таких рёбер, ровно один конец которых принадлежит :

где через обозначено множество всех рёбер графа , а через — вес ребра .

Требуется найти разрез минимального веса.

Иногда эту задачу называют "глобальным минимальным разрезом" — по контрасту с задачей, когда заданы вершинысток и исток, и требуется найти минимальный разрез , содержащий сток и не содержащий исток.

Глобальный минимальный разрез равен минимуму среди разрезов минимальной стоимости по всевозможным парам исток-сток.

для всевозможных пар истока и стока), однако ниже описан гораздо более простой и быстрый алгоритм, предложенный Матильдой Штор (Mechthild Stoer) и Франком Вагнером (Frank Wagner) в 1994 г.

В общем случае допускаются петли и кратные рёбра, хотя, понятно, петли абсолютно никак не влияют на результат, а все кратные рёбра можно заменить одним ребром с их суммарным весом. Поэтому мы для простоты будем считать, что во входном графе петли и кратные рёбра отсутствуют.

Описание алгоритма

Базовая идея алгоритма очень проста. Будем итеративно повторять следующий процесс: находить

Таким образом, мы свели задачу к следующей: для данного графа найти минимальный разрез между какой-нибудь, произвольной, парой вершин и . Для решения этой задачи был предложен следующий, тоже итеративный процесс. Вводим некоторое множество вершин , которое изначально содержит единственную произвольную вершину. На каждом шаге находится вершина,

(т.е. максимальна сумма весов рёбер, один конец которых , а другой принадлежит ).

Опять же, этот процесс завершится через итерацию, когда все вершины перейдут в множество (кстати говоря, этот процесс очень напоминает алгоритм Прима). Тогда, как утверждает теорема Штор-Вагнера,

если мы обозначим через и последние две добавленные в вершины, то минимальный разрез между вершинами и будет состоять из единственной вершины — . Доказательство этой теоремы будет приведено в следующем разделе (как это часто бывает, само по себе оно никак не способствует пониманию алгоритма).

наибольшим значением и добавляется в множество , после чего пересчитываются значения