urmat
.pdf21
31. Найти закон свободных колебаний квадратной мембраны со стороной l, если в начальный момент отклонение в каждой точке определялось равенством
u(x, y,t) |
|
t =0 |
= |
|
|
l |
|
sin πx sin πy . Начальная скорость равна нулю. Вдоль контура |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
мембрана закреплена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Решение. В рассматриваемом случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ |
0 |
(x, y) = |
|
|
l |
|
|
sin πx sin πy , |
ϕ (x, y) = 0. Следовательно, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Bmn = 0, |
|
|
m =1,2,.., |
|
|
n =1,2,... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
l l |
|
|
l |
|
πx |
|
|
πy |
|
|
|
|
mπx |
|
|
|
|
|
nπy |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Amn = |
|
|
∫∫ |
|
sin |
l sin |
l |
sin |
|
|
|
sin |
|
|
|
dxdy. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
100 |
|
l |
|
|
l |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу ортогональности тригонометрической системы функций только A11 ≠ 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а все остальные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
A |
= |
|
|
|
|
|
sin2 πx dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
100l ∫ |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
4 |
|
|
1 l |
|
|
|
|
|
|
|
2πx |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
l |
|
l |
|
|
|
2πx |
|
l |
|
2 |
|
|
l |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−cos |
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
x |
|
|
− |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
100l |
2 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
100l |
|
0 |
|
2π |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
u(x, y,t) = |
|
l |
|
cos aπ |
|
|
2 t sin |
|
πx sin |
πy . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
8. Метод разделения переменных (общий случай).
Пусть требуется найти решение уравнения
|
∂2u |
|
∂ |
|
∂u |
− q(x)u |
|
ρ(x) |
∂t |
2 |
= |
|
p(x) |
|
|
|
|||||||
|
|
∂x |
∂x |
|
(где ρ(x), p(x), q(x) − достаточно гладкие функции, причем
q(x)≥0), удовлетворяющие условиям |
|
|||
αu(0,t) + β |
∂u(0,t) |
= 0, |
||
|
|
∂x |
|
|
∂u(l,t) = 0. |
||||
γu(l,t) +δ |
||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
(8.1)
p(x)>0, ρ(x)>0,
(8.2)
и начальным условиям
|
|
22 |
|
u(x,0) =ϕ(x), |
∂u(x,0) |
=ψ(x) (0 ≤ x ≤ l). |
(8.3) |
|
∂t |
|
|
Находим сначала нетривиальное решение данного уравнения, удовлетворяющее краевым условиям, в виде произведения
|
|
|
|
|
|
u(x,t) =T (t) X (x) . |
(8.4) |
||||||||||||
Подставляя (8.4) в уравнение (8.1) получим |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
dX |
|
|||||
|
ρ(x)T"(t) X (x) =T (x) |
|
p(x) |
|
|
|
− q(x)T (t) X (x) или |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
||||||
|
d |
dX |
− q(x) X (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
p(x) |
|
|
|
|
T"(t) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dx |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= −λ, где λ − некоторая постоянная. Отсюда |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||
|
|
ρ(x) X (x) |
|
|
|
|
T (t) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
dX |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
p(x) |
|
|
|
|
+ (λρ(x) − q(x))X = 0, |
(8.5) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
T"(t) + λT (t) = 0 |
|
|
(8.6) |
Так как T (t) ≠ 0, то для того чтобы функция (8.4) удовлетворяла краевым условиям (8.2), необходимо и достаточно выполнение условий:
αX (o) + βX '(0) = 0, |
(8.7) |
|
|
γX (l) +δX '(l) = 0. |
|
Таким образом, для определения функции X(x) мы пришли к следующей краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения:
Найти такие значения λ, называемые собственными значениями, при которых существует нетривиальное решение уравнения (8.5), удовлетворяющее условиям (8.7), а также найти эти нетривиальные решения, называемые собственными функциями.
Свойства собственных значений и собственных функций краевой задачи: 1. Существует счетное множество собственных значений λ1 < λ2 <... < λn <...,
которым соответствуют собственные функции X1 (x), X 2 (x),...
2.При q(x) ≥ 0 и (p(x) X n (x) X n' (x))xx==l0 ≤ 0 все собственные значения λn положительны.
3.Собственные функции на отрезке [0,l] образуют ортогональную с весом ρ(x) и
|
нормированную систему: |
m ≠ n, |
|
|
l |
0, |
при |
|
|
∫ρ(x) X n (x) X m (x) = |
при |
m = n. |
(8.8) |
|
0 |
1, |
|
4. (Теорема Стеклова). Всякая функция f (x), удовлетворяющая краевым условиям
23
(8.7) и имеющая непрерывную первую производную и кусочно-непрерывную вторую производную, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собст-
∞ |
l |
венным функциям X n (x) : f (x) = ∑an X n (x), |
an = ∫ρ(x) X n (x) f (x)dx. |
n=1 |
0 |
Далее, для каждого собственного значения λn решаем уравнение (8.6). Общее решение уравнения (8.6) при λ = λn (обозначим его через Tn (t) ) имеет вид
Tn (t) = an cos λn t +bn sin λn t, где an и bn −произвольные постоянные. Таким образом, мы получили бесчисленное множество решений уравнения
(8.1) вида un (x,t) =Tn (t) X n (x) = (an cos λn t +bn sin λn t) X n (x).
Чтобы удовлетворить начальным условиям (8.3), составим ряд
∞
u(x,t) = ∑(an cos λn t +bn sin λn t) X n (x) (8.9)
n=1
Если этот ряд сходится равномерно, так же как и ряды, получающиеся из него двукратным почленным дифференцированием по x и t, то сумма его будет удовлетворять уравнению (8.1) и краевым условиям (8.2).
Для выполнения начальных условий (8.3) найдем постоянные an и bn как коэффициенты разложения функций ϕ и ψ в обобщенные ряды Фурье по ортонормированной (с весом) системе функций (X n ).
Теперь можно сделать некоторые общие замечания относительно области применения метода разделения переменных.
В основе применимости метода лежит линейность как самих дифференциальных уравнений, так и краевых условий. Коэффициенты исходных дифференциальных уравнений должны быть либо постоянными, либо представляться в виде функций, каждая из которых содержит лишь одну из переменных. Например, в случае
дифференциального уравнения с двумя независимыми переменными x и t соответствующее дифференциальное уравнение должно иметь вид
A(x) |
∂2u |
+ B(t) |
∂2u |
+C(x) |
∂u |
+ D(t) |
∂u |
+(F |
(x) + F (t))u = 0 или приводиться |
|
∂x2 |
|
∂t2 |
|
∂x |
|
∂t |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
к этому виду. Краевые условия должны быть однородными. Если в исходной задаче эти условия не однородны, надо привести их к однородным. В случае двумерных (не считая времени) задач граница рассматриваемой области должна состоять из координатных линий (в трехмерном случае − из координатных поверхностей). Таким образом, если используется декартова система координат, границы области − отрезки прямых, параллельных осям координат (куски плоскостей, параллельных координатным плоскостям); при использовании полярной системы координат границы области − дуги окружностей с центрами в полюсе и отрезки лучей, выходящих из полюса, и т.д.
Это обстоятельство сильно ограничивает применимость метода. И в задаче распространения волн в пространстве, и в задачах расчета тепловых режимов, и в
24
теории потенциала приходится при использовании метода разделения переменных ограничиваться лишь самыми простыми конфигурациями исследуемых областей.
9. Вывод уравнения теплопроводности для стержня.
Рассмотрим однородный теплоизолированный с боков стержень конечной длины l, имеющий постоянную по длине толщину, и настолько тонкий, чтобы в любой момент времени температуру тела во всех точках поперечного сечения можно было бы считать одинаковой.
Выберем ось x (направив ее по оси стержня) так, чтобы стержень совпадал с отрезком [0;l] оси x.
|
|
|
|
|
x |
o |
|
|
|
|
|
x |
x + |
|
|
||
|
x |
Рисунок 5.
Обозначим температуру стержня в сечении x в момент t через u(x,t). Тогда функция u=u(x,t) дает закон распределения температуры в стержне. Выведем дифференциальное уравнение для этой функции.
Выделим элемент стержня [x,x+ x] и составим для него уравнение теплового баланса, согласно которому скорость изменения количества тепла в рассматриваемом объеме (изменение количества тепла в единицу времени), обусловленная теплоемкостью материала, равна количеству тепла, поступившему в этот объем в единицу времени вследствие теплопроводности.
Скорость изменения тепла в выделенном элементе стержня равна
x + |
x |
∂u ( x, t ) |
|
|
∫ |
cρs |
dx , |
где с − теплоемкость материала стержня; ρ − плотность; |
|
x |
|
∂t |
|
|
s − площадь поперечного сечения. Применяя к этому интегралу теорему о среднем,
x+ |
x |
∂u(x,t) |
|
∂u(x +θ1 |
x,t) |
|
|
|
|
получим ∫ |
cρ s |
dx = cρ s |
x, где 0 |
<θ1 |
<1. |
||||
∂t |
∂t |
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
Теперь найдем количества тепла, поступившее в выделенный элемент стержня за единицу времени. Так как стержень теплоизолирован с боков, то тепло может поступать только через сечения, ограничивающие выделенный элемент стержня. Известно, что количество тепла, протекающее через сечение с абсциссой x за единицу
времени, равно −k |
∂u(x,t) s , где k − коэффициент теплопроводности, а s − пло- |
|
∂x |
щадь сечения.
Поэтому искомое количество тепла равно
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
−ks |
∂u(x,t) |
|
|
− k |
∂u(x + x,t) |
|
∂u(x + |
x,t) |
− |
∂u(x,t) |
= |
|||
∂x |
|
s − |
∂x |
s |
= ks |
∂x |
|
∂x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ks |
∂2u(x +θ |
2 x,t) |
x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где 0 <θ2 <1. ( Здесь применяется формула конечных приращений Лагранжа к
∂u(x,t)
функции ∂x ).
Составим уравнение теплового баланса
cρs |
∂u(x +θ1 |
x,t) |
x = ks |
∂2u(x +θ2 |
x,t) |
x. |
∂t |
|
∂x2 |
|
|||
|
|
|
|
|
Разделим обе части этого уравнения на s x (объем выделенного элемента стержня) и устремим x к нулю (стягивая выделенный элемент стержня к сечению). Получим
∂u(x,t) |
|
2 ∂2u(x,t) |
|
2 |
|
k |
|
|
∂t |
= a |
∂x2 |
a |
|
= |
|
. |
(9.1) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
cρ |
|
Это уравнение называется уравнением теплопроводности для однородного стержня.
Величина a = |
k |
называется коэффициентом температуропроводности. Иско- |
|
cρ |
|
мая функция u(x,t) должна удовлетворять уравнению (9.1), начальному условию u(x,t) t =0 = u(x,0) = f (x) (0 ≤ x ≤ l), где f(x)− заданная функция от x (это усло-
вие выражает закон распределения температуры по длине стержня в начальный момент времени t =0), и граничным условиям
u(x,t) |
|
|
= u(0,t) =ϕ |
|
(t), |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x=0 |
|
1 |
|
(0 ≤ t ≤ +∞), где ϕ1 (t) и ϕ2 (t) − заданные функции |
|
u(x,t) |
|
|
= u(l,t) =ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
(t). |
|
|||
|
|
x=l |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
от времени t . Они определяют температуру, поддерживаемую на концах стержня. Отметим, что уравнение не учитывает тепловой обмен между поверхностью стержня и окружающим пространством.
10. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности.
Пусть Ω − конечная область трехмерного пространства. Обозначим через Q в пространстве переменных (x,y,z,t) цилиндр, основание которого есть область Ω и
образующие которого параллельны оси Ot. Пусть QT −часть этого цилиндра, ограниченного снизу плоскостью t=0 и сверху плоскостью t=T(T>0).Часть границы цилиндра QT , состоящую из его нижнего основания (t=0) и боковой поверхности, обозначим через Г .
26
Рассмотрим следующую задачу: найти в цилиндре QT решение уравнения теплопроводности
∂u |
|
|
∂ |
2 |
u |
|
∂ |
2 |
u |
|
∂ |
2 |
u |
|
||
= a |
2 |
|
+ |
|
+ |
|
|
|||||||||
∂t |
|
∂x |
2 |
∂y |
2 |
∂z |
2 |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяющее начальному условию u t =0 =ϕ(x, y, z)
и граничному условию
u s =ψ(P,t) (t [0,T ]),
(10.1)
(10.2)
(10.3)
где S− граница области Ω, Р − точка поверхности S. Функцииϕ и ψ непрерывны,
причем значения ψ при t=0 совпадают со значениями ϕ на границе S.
Задача нахождения решения уравнения (10.1) при условиях (10.2), (10.3) называется первой краевой задачей для уравнения теплопроводности.
Теорема. Функция u(x,y,z,t), удовлетворяющая однородному уравнению теплопроводности (10.1) внутри цилиндра QT и непрерывная вплоть до его границы, принимает наибольшее и наименьшее значения на Г, т.е. или при t=0, или на боковой поверхности цилиндра QT .
Из этой теоремы непосредственно вытекает, что:
1)Решение первой краевой задачи (10.1)-(10.3) единственно.
2)Решение первой краевой задачи (10.1)-(10.3) непрерывно зависит от правых частей начального и граничного условий.
3)Если функция и, непрерывная на замыкании QT и удовлетворяющая первой краевой задаче (10.1)-(10.3), равна нулю на Г, то она тождественно равна нулю в замыкании QT .
11. Интегрирование уравнения распространения тепла в ограниченном стержне методом Фурье.
Задача о распространении тепла в теплоизолированном с боков стержне длины l приводится к нахождению решения уравнения
∂u |
= a2 ∂2u |
(11.1) |
∂t |
∂x2 |
|
в области 0≤ x ≤ l, 0≤ t <+∞, удовлетворяющего начальному условию
u(x,0) = f (x) (0 ≤ x ≤ l) |
(11.2) |
и граничным условиям |
u(0,t) =ϕ |
(t), |
(0 |
≤ t < +∞). |
1 |
|
|||
|
u(l,t) =ϕ2 (t) |
|
|
Ограничимся рассмотрением случая, когда на концах стержня поддерживается постоянная температура, т.е. когда граничные условия имеют вид:
27
u(0,t) = u0 = const, |
(0 ≤ t < +∞). (11.3) |
|
u(l,t) = u1 = const |
|
|
|
|
Не умаляя общности можно считать, что u0 = 0, u1 = 0, ибо в противном случае этого всегда можно добиться при помощи замены искомой функции u(x,t) по формуле
v(x,t) = u(x,t) −u0 |
− |
u1 −u0 |
x, |
(11.4) |
|
l |
|||||
|
|
|
|
где v − новая неизвестная функция. Действительно, так как
∂∂vt = ∂∂ut ,
функция и:
∂2v = ∂2v , ∂x2 ∂x2
∂v = a2 ∂2v . ∂t ∂x2
Далее из (11.4) и (11.3) следует, что
v(0,t) = 0, |
(0 ≤ t < +∞). |
|
v(l,t) = 0 |
|
|
|
|
Таким образом, достаточно найти решение уравнения (11.1), удовлетворяющее начальному условию (11.2) и граничным условиям
u(0,t) = 0, |
(0 ≤ t < +∞). |
|
u(l,t) = 0 |
|
|
|
|
Как и в случае волнового уравнения, будем искать решение уравнения (11.1) в виде произведения двух функций
u = X (x)T (t), |
(11.5) |
одна из которых зависит только от x , а другая −только от t; причем X (x) ≠ 0 и T (t) ≠ 0 , ибо в противном случае u(x,t)≡ 0, что невозможно: функция и≡ 0 не
удовлетворяет начальному условию (11.2), поскольку предполагается, что f(x)≠ 0. В силу граничных условий функция X(x) должна обращаться в нуль на концах
интервала [0; l ]: |
X (0) = 0 X (l) = 0. Подставляя (11.5) в (11.1), получим |
|||||||||||
X (x) T |
' |
(t) = a |
2 |
X |
'' |
(x) T (t) или |
|
T ' (t) |
= |
X '' (x) |
= −λ. |
|
|
|
|
|
a2T (t) |
X (x) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда заключаем, что функции X (x) |
и T (t) должны быть решениями однород- |
|||||||||||
ных линейных дифференциальных уравнений |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X '' + λX = 0 |
|
|
|
|
(11.6) |
|
|
|
|
|
|
|
T ' + a2λT = 0 |
|
|
|
|
(11.7) |
Ненулевые решения уравнения (11.6) существуют только при λ = λk , где |
||||||||||||
πk |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
λk = |
|
|
(k =1,2,..), причем в качестве этих решений можно взять функции |
|||||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
X k = sin |
kπ |
x |
(k =1,2,...). |
Заменяя в уравнении (11.7) λ на λk , получаем |
|||||||||||
|
|||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
akπ |
|||
|
|
' |
akπ |
|
|
|
|
− |
|
|
t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
уравнение T |
T = 0. |
Его общим решением будет T |
= c |
|
e |
l |
|
, где |
|||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
k |
|
l |
k |
k |
|
k |
|
|
|
|
|
ck −произвольная постоянная, соответствующая взятому значению k .
Подставляя найденные значения X = X k |
u T =Tk в (11.5), получим решение |
|||||||
уравнения (11.1) в виде |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
akπ |
|
kπ |
|
|
|
|||
− |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
uk (x,t) = ck e l |
|
|
sin |
x |
(k =1,2,..) |
(11.8) |
||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
Каждая из функций (11.8) удовлетворяет граничным условиям. Можно показать, что функция
∞ |
akπ |
2 |
|
kπ |
|
|
||
− |
|
|
t |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
u(x,t) = ∑ck e |
|
l |
|
|
sin |
x |
(11.9) |
|
|
|
|||||||
k =1 |
|
|
|
|
|
l |
|
тоже является решением уравнения (11.1), удовлетворяющим граничным условиям. Выберем теперь коэффициенты Ck таким образом, чтобы функция (11.9)
удовлетворяла и начальному условию (11.2). Полагая в (11.9) t=0, получим
∞ |
kπ |
|
|
|
f (x) = ∑ck sin |
x |
(11.10) |
||
|
||||
k =1 |
l |
|
Предположим, что функция f(x) разложима в равномерно и абсолютно сходящийся ряд Фурье по синусам
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f (x) = ∑bk sin |
x |
|
|
|
|
|
(11.11) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 l |
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда bk = |
|
∫ f (x) sin |
|
|
xdx. Сравнивая (11.10), (11.11), видим, что |
|
|||||||||||||||
l |
l |
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 l |
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ck = bk ,т.е. ck = |
|
∫ f (x) sin |
|
|
xdx, чем и завершается решение задачи. |
||||||||||||||||
l |
l |
||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ∂2u |
|||||
Пример1. Найти решение уравнения теплопроводности |
∂u |
= a |
|||||||||||||||||||
∂t |
|
∂x2 |
|||||||||||||||||||
при граничных условиях u(0;t) = 0, u(l;t) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
и начальном условии |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, если 0 ≤ x < |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
u(x;0) = |
l |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l − x, если |
≤ x ≤ l. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Решение определяется формулой
29
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
−a2π2n2t |
|
|
|
|
|
πnx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
u(x;t) = ∑cne |
|
|
|
l2 |
|
sin |
где cn |
вычисляется по формулам |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
πnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫x sin |
dx + |
∫(l − x) sin |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cn = l |
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Вычисляя интегралы, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
πnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
l2 |
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫x sin |
dx = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
l |
|
|
|
cos 2 |
+ |
|
|
|
sin |
|
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2πn |
π 2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
πnx |
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
πn |
l2 |
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∫(l − x) sin |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
l |
= |
|
|
cos |
2 + |
|
sin |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2πn |
πn2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4l |
|
sin |
|
|||
Складывая вычисленные интегралы, найдем, что c |
n |
= |
|
|
2 |
. Так как |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
||||
sinπn = 0, то и c |
2n |
= 0. |
Далее имеем c |
2n+1 |
|
= |
|
|
4l |
|
|
(−1)n−1 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π 2 |
|
(2n −1)2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение задачи запишется так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4l |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
π 2 a 2 |
(2n−1) |
2 |
|
|
|
|
π(2n −1) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
l 2 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
u(x,t) = |
|
|
∑(−1) |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
l |
|
|
x . |
|||||||||||||||||||||||||||
π 2 |
|
|
|
|
|
(2n −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32. Дан тонкий однородный стержень длины l, на концах которого поддерживается постоянная температура, равная нулю. Начальная температура стержня определяет-
ся уравнением u(x,0) = 3sin |
πx |
− 2sin |
3πx |
|
. Определить температуру стержня при |
|||||||
l |
|
l |
||||||||||
t > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
π 2 a 2t |
|
|
|
9π 2 a 2t |
|
|
|
|||||
− |
|
πx |
− |
|
3πx |
|
||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
Ответ. u(x,t) = 3e |
l |
|
sin |
|
−2e |
|
l |
|
|
sin |
|
. |
|
l |
|
|
|
l |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33. Концы стержня длиной l=100 см поддерживаются при температуре, равной нулю. Определить температуру u(x,t) в точках стержня для любого момента времени
t, если известно начальное распределение температуры
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x, |
|
|
если |
0 ≤ x ≤ 25, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
u(x,0) = |
5 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
100 |
− |
|
|
, если 25 < x ≤100. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
15 |
||||||||||
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
||||||
|
160 |
∞ |
sin nπ e |
− |
a 2 n2t |
πnx . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ. u(x,t) = |
∑ |
1 |
|
|
|
l |
2 |
|
sin |
|||||||
3π 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 n2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
34. Концы стержня длиной l поддерживаются при температуре, равной нулю. На-
чальная температура определяется формулой u(x,0) = 5sin πlx −2sin 3πl x . Опреде-
лить температуру стержня для любого момента времени.
− |
a 2π |
2t |
πx |
|
||
l |
2 |
|
sin |
−2e |
||
Ответ. u(x,t) = 5e |
|
|
l |
|||
|
|
|
|
|
|
−9a 2π 2t l 2
sin 3πl x .
35. Найти распределение температуры в стержне длиной l, если на концах его поддерживается температура, равная нулю, а начальная температура равна единице вдоль всего стержня.
|
|
4 |
∞ |
1 |
− |
(2n+1)2 π 2 a 2t |
2n +1 |
|
|||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
l |
2 |
|
|
|
||||||||
Ответ. u(x,t) = |
e |
|
|
|
sin |
πx. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
π |
2n −1 |
|
|
|
|
l |
|||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
|
|
|
36. Найти решение уравнения |
∂u |
= |
∂ |
, удовлетворяющее граничным условиям |
|||||||||||
∂t |
∂x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(0,t) = u(π,t) = 0 и начальному условию u(x,0) = 3sin 2x. Ответ. u(x,t) = 3e−4t sin 2x.
37. Конец стержня x = 0 имеет температуру u(0,t) = 0, а на конце x=l поддерживается температура u(l,t) =100o. Вычислить распределение температуры u(x,t) в
точках стержня для любого момента времени t, если известно распределение ее в начальный момент
|
200 |
x, |
если |
0 ≤ x ≤ |
l |
, |
|
|
|
|
|||||
l |
|
2 |
|
||||
u(x,0) = |
|
|
|||||
100, |
если |
l |
< x ≤ l. |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Указание. Эту задачу целесообразно свести к задаче с нулевыми граничными условиями.
|
100x |
|
400 |
∞ |
− |
a2 n2t |
(2n −1)πx |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
Ответ. u(x,t) = |
+ |
∑e |
|
l 2 sin |
. |
|||||
l |
π2 |
|
|
|
||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
l |