P2_10_13
.pdf2013-2014 уч. год, №2, 10 кл. Физика.
Основы молекулярно-кинетической теории. Законы идеального газа
слорода (O2 )и гелия (He). Найдите парциальные давления газов и
плотность смеси газов.
Решение. Пусть смесь газов находится в сосуде объёмом V , а m− масса каждой компоненты смеси (по условию массы азота, кислорода и гелия одинаковы). Запишем уравнение состояния для смеси газов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
m |
|
m |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pV = |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
RT . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Mаз |
Mк |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mг |
|
||||||||
Здесь |
Mаз =28г/моль−молярная масса азота, Mк =32 г/моль− мо- |
|||||||||||||||||||||
лярная |
масса |
кислорода, |
Mг =4 г/моль−молярная |
масса гелия, |
||||||||||||||||||
T =300 К. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Общая масса содержимого сосуда равна 3m . Тогда, |
воспользовав- |
|||||||||||||||||||||
шись уравнением состояния, для плотности смеси получаем |
||||||||||||||||||||||
ρсм = |
3m |
|
= |
3p |
|
|
|
|
Mаз Mк Mг |
|
|
|
|
=0,38 кг/м3 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
V RT |
Mаз Mк +Mаз Mг +Mк Mг |
|
|||||||||||||||||
Для парциальных давлений азота, кислорода и гелия находим |
||||||||||||||||||||||
pаз = |
mRT |
= p |
|
|
|
|
Mк Mг |
|
|
|
|
= 0,113 105 Па, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
VMаз |
|
|
|
|
Mаз Mк + Mаз Mг + Mк Mг |
|
|||||||||||||||
pк = mRT = p |
|
|
|
|
Mаз Mг |
|
|
|
|
|
= 0,099 105 Па, |
|||||||||||
Mаз Mк +Mаз Mг + M |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
VMк |
|
|
к Mг |
|
pг = p − pаз − pк = 0,788 105 Па.
7. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа
7.1. Модель идеального газа в молекулярно-кинетической теории
Законы идеальных газов, найденные опытным путём, находят довольно простое объяснение в молекулярно-кинетической теории (МКТ). Она исходит при этом из упрощённых представлений о строении газа. Это обусловлено рядом причин, в частности неточным знанием сил взаимодействия между молекулами. Однако, как оказывается, даже такая упрощённая модель газа позволяет найти уравнение состояния, правильно описывающее его поведение.
В молекулярно-кинетической теории принимается следующая идеализированная модель газа – идеальный газ. Молекулы газа считаются твёрдыми, абсолютно упругими шариками, причём размеры молекул малы по сравнению со средним расстоянием между ними. Это означает, что собственный суммарный объём молекул значительно меньше объ-
© 2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичёв Сергей Дмитриевич
21
2013-2014 уч. год, №2, 10 кл. Физика.
Основы молекулярно-кинетической теории. Законы идеального газа
ёма сосуда, в котором находится газ. Взаимодействие между молекулами проявляется только при непосредственном столкновении их друг с другом. Между столкновениями молекулы движутся по инерции. Движение молекул подчиняется законам механики Ньютона.
Для нахождения уравнения состояния газа необходимо сделать ещё важное упрощающее предположение, а именно, считать движение любой молекулы газа беспорядочным, хаотичным.
Аккуратный вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа требует принимать во внимание ряд моментов, например, наличие в газе молекул, движущихся с разными по величине скоростями, столкновения молекул между собой, характер столкновения отдельной молекулы со стенкой сосуда (упругий или неупругий). В разделе 7.3 будет рассмотрен упрощённый вариант вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории.
7.2. Давление идеального газа
Давление, которое оказывает газ на стенку сосуда, есть результат ударов молекул газа о стенку. Если бы в сосуде содержалось всего несколько молекул, то их удары следовали бы друг за другом редко и беспорядочно. Поэтому нельзя было бы говорить ни о какой регулярной силе давления, действующей на стенку. Стенка подвергалась бы отдельным практически мгновенным бесконечно малым толчкам. Если же число молекул в сосуде очень велико, то велико и число ударов их о стенку сосуда. Одновременно о стенку сосуда ударяется громадное количество молекул. Очень слабые силы отдельных ударов складываются при этом в значительную по величине и почти постоянную силу, действующую на стенку. Среднее по времени значение этой силы, отнесённое к единичной площадке, и есть давление газа, с которым имеет дело термодинамика.
Пусть в сосуде объёма V находятся N одинаковых молекул идеального газа, а m0 – масса одной молекулы. В рамках молекулярно-
кинетической теории показывается, что давление P газа определяется выражением
P = 1 m0n |
|
, |
(11) |
|
v2 |
||||
3 |
|
|
|
|
где n = N / V – концентрация молекул |
газа, |
v2 |
– среднее значение |
квадрата скорости молекулы. Выражение (11) называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа.
Заметим, что величина m0 v2 / 2 есть средняя кинетическая энергия
E поступательного движения молекулы. Поэтому полученную формулу можно представить в другом виде:
© 2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичёв Сергей Дмитриевич
22
2013-2014 уч. год, №2, 10 кл. Физика.
Основы молекулярно-кинетической теории. Законы идеального газа
P = |
2 |
|
|
|
(12) |
|
nE. |
|
|||||
3 |
||||||
|
|
|
|
|
Ниже приводится один из способов вывода уравнения (11). Данный раздел при первом прочтении можно пропустить.
7.3.* Вывод основного уравнения МКТ идеального газа
Вычислим среднее давление газа на стенку сосуда.
Для простоты будем считать, что удар молекулы о стенку происхо-
дит абсолютно упруго, а сама стенка |
|
|
Y |
|
идеально гладкая и молекула после |
|
|
|
|
удара отражается от неё под тем же |
|
r′ |
|
|
углом, под каким она падала на стенку |
|
|
|
|
(см. рис. 10), или, как говорят, зеркаль- |
|
v |
|
|
но (однако ясно, что никаких гладких |
α |
|
|
X |
стенок не существует: ведь сама стенка |
|
O |
||
|
|
|||
состоит из молекул). |
α |
|
|
|
Введём систему координат, напра- |
|
|
||
v |
|
|
|
|
вив ось OX перпендикулярно стенке, а |
|
|
|
|
ось OY – вдоль стенки (см. рис. 10). |
|
|
|
|
Пронумеруем все молекулы от i =1 |
|
|
|
|
до i = N. Пусть vi ,x , (vi ,x > 0)− проек- |
|
|
|
|
|
Рис. 10 |
|
||
ция скорости i -ой молекулы на ось до |
|
|
||
|
|
|
|
удара. При абсолютно упругом ударе о стенку проекция скорости на ось OX изменяет знак: v′i ,x = −vi ,x . Изменение проекции импульса молекулы на ось OX при столкновении молекулы со стенкой равно
pi,x = m0 vi′,x −m0 vi,x = −2m0 vi,x ,
а передаваемый стенке импульс равен
pi,x, стен = − pi,x = 2m0 vi,x .
Так как давление газа не зависит от формы сосуда, возьмём для простоты сосуд в форме куба с ребром l . Тогда промежуток времени между двумя последовательными столкновениями молекулы с одной и той же стенкой составит τi = 2lvi,x , а за большой интервал времени t она
столкнётся со стенкой Nстолк,i =tτi раз. Переданный стенке одной молекулой за это время импульс равен
2m0 vi ,x Nстолк,i = 2m0 vi ,x v2i ,xlt = m0 vi2,x tl .
Так как в сосуде находятся N молекул, то полный переданный стенке импульс всех молекул равен
© 2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичёв Сергей Дмитриевич
23
2013-2014 уч. год, №2, 10 кл. Физика.
Основы молекулярно-кинетической теории. Законы идеального газа
i=N |
m t i=N |
||
px,∑ = ∑ pi,x, стен = |
0 |
∑vi2,x . |
|
l |
|||
i=1 |
i=1 |
Среднюю силу давления на стенку можно получить, разделив полный передаваемый стенке импульс на время t :
|
px,∑ |
|
m |
i=N |
|
Fx, ср = |
|
= |
0 |
∑vi2,x , |
|
t |
l |
||||
|
|
i=1 |
а давление P – разделив эту силу на площадь стенки S =l 2 :
|
Fx, ср |
|
m |
i=N |
m |
i=N |
|
P = |
|
= |
|
0 |
∑vi2,x = |
0 |
∑vi2,x . |
S |
l |
3 |
V |
||||
|
|
|
i=1 |
i=1 |
Здесь учтено, что объём сосуда V =l 3 . Если ввести среднее значение квадрата проекции скорости одной молекулы
|
|
|
1 |
i =N |
|
|
|
|||||
|
vx2 |
= |
∑vi2,x , |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
N i=1 |
|
|
|
|||||
то для давления P получаем |
|
|
|
|||||||||
|
P = |
m0 N |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
vx2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|||||
Входящую в это выражение величину |
vx2 |
можно выразить через |
||||||||||
среднее значение квадрата скорости молекулы. |
Из |
соотношения |
||||||||||
v2 = vx2 + v2y + vz2 для средних значений имеем: |
v2 = vx2 |
+ v2y |
+ vz2 . Так как |
движение молекул беспорядочное, то все направления движения равновероятны и средние значения квадратов проекций на любое направле-
ние должны быть равны vx2 = |
v2y |
= vz2 . Отсюда получаем: v2 =3vx2 , что |
|||||||||
позволяет записать выражение для давления в виде |
|
|
|||||||||
|
1 m0 N |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
P = |
v |
2 |
, |
или P = |
m0 nv |
2 |
, |
||||
3 V |
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где n = N / V – концентрация молекул газа.
8. Молекулярно-кинетический смысл температуры
Найдём связь между средней кинетической энергией E поступательного движения молекулы газа и его температурой T . Учитывая соотношение n = N / V , перепишем уравнение (10) в виде:
PV = 23 N E.
Сравнивая полученное уравнение с уравнением Менделеева– Клапейрона
© 2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичёв Сергей Дмитриевич
24
2013-2014 уч. год, №2, 10 кл. Физика.
Основы молекулярно-кинетической теории. Законы идеального газа
PV =vRT = |
N |
RT , |
|
||
|
NA |
получаем для средней кинетической энергии E :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
m0 v2 |
= |
3 |
|
R |
T = |
3 |
kT , |
||
E |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
2 |
|
NA |
2 |
|
где k =1,38 10−23 Дж/К– постоянная Больцмана. С учётом этого соотношения выражение (12) для давления можно записать в виде:
P =nkT .
В состоянии теплового равновесия средняя кинетическая энергия поступательного движения любых молекул имеет одно и то же значение, т. е. средняя кинетическая энергия молекул обладает основным свойством температуры – в состоянии теплового равновесия она одинакова для всех молекул газов, находящихся в тепловом контакте, а также для различных молекул газовой смеси. Величину E можно принять, поэтому, за меру температуры газа. В этом и состоит физический смысл температуры с молекулярно-кинетической точки зрения.
Скорость хаотического (теплового) движения молекул характеризу-
ется средней квадратичной скоростью
v |
= |
|
= 3kT . |
v2 |
|||
ср.кв |
|
|
m0 |
|
|
|
Задача 8. В сосуде объёмом V =0,54 м3 находится m =1 кг газа при давлении P =105 Па . Найдите среднюю квадратичную скорость молекул газа и их суммарную среднюю кинетическую энергию поступательного движения.
Решение. Если m0 − масса одной молекулы, то полное число молекул газа в сосуде N = m / m0 . Тогда из основного уравнения молекуляр- но-кинетической теории идеального газа имеем
kT = PVN = PVm m0 .
Подставим полученное соотношение в выражение для средней кинетической энергии E поступательного движения одной молекулы через абсолютную температуру T
|
|
= |
m0 |
v2 |
|
= 3 kT = |
3 PV m . |
|||
E |
||||||||||
|
|
|
||||||||
2 |
2 |
2 |
m |
0 |
||||||
|
Решая полученное уравнение, для средней квадратичной скорости находим
© 2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичёв Сергей Дмитриевич
25
2013-2014 уч. год, №2, 10 кл. Физика.
Основы молекулярно-кинетической теории. Законы идеального газа
vср.кв = |
|
= |
3PV |
≈ 402, 5 м/с. |
v2 |
||||
|
|
|
m |
|
Для суммарной средней кинетической энергии поступательного
движения получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= N |
m0 |
|
|
m 3 |
PV m |
|
3 PV = 81 |
|
||||
|
|
|
v2 |
= |
= |
кДж. |
||||||||
E |
сум |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
m0 2 |
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
m |
0 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы и задачи, отмеченные знаком *, относятся к задачам повышенной сложности.
Контрольные вопросы
1. В молекулярно-кинетической теории газов используется модель идеального газа. Укажите наиболее важные особенности этой модели газа, а также условия, при выполнении которых свойства реальных газов близки к свойствам идеального газа.
2. |
Рассчитайте плотность воздуха на вершине Эвереста при |
||||
температуре |
t = 0oC. Давление на |
вершине |
принять |
равным |
|
p = 250 ммрт.ст. Молярная масса воздуха M В = |
29 г/ моль. |
||||
3. |
Шина автомобиля накачана воздухом до давления |
2,2 атм. |
|||
Определите |
массу воздуха в шине |
объёмом V =12 л, |
если его |
температура равна t = 27oC.
4. Два моля идеального газа сначала изобарически расширяются. |
|||||||||||||
При этом объём газа увеличивается вдвое: V2 |
= 2V1 |
. Затем |
|
газ |
|||||||||
нагревается |
при |
постоянном объёме |
до |
давления p3 |
= |
2 p1 . |
Далее |
||||||
происходит изотермическое расширение газа до |
давления |
p4 |
|
= p1 . |
|||||||||
Нарисуйте график этого процесса в координатах |
p, V ; |
V , T; |
|
p, T . |
|||||||||
Температура и давление газа в начальном |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
состоянии 1 равны t1 = −23oC и P1=104 Па, |
|
ρ |
|
|
|
|
|
||||||
соответственно. |
Определите |
значения |
ρ |
|
|
|
|
|
|
||||
неизвестных температур, объёмов и давлений |
0 |
|
1 |
|
|
|
2 |
||||||
газа в состояниях 1, 2, 3, 4. |
|
T , ρ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
5*. На рисунке 11 в |
координатах |
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||
(температура, плотность) изображён график |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
теплового процесса для постоянной массы |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
идеального газа. Точка 1 соответствует |
|
|
|
|
|
|
T |
||||||
начальному |
состоянию |
газа, |
точка |
3 |
– |
|
0 |
T0 |
|
2T0 |
|||
конечному. Нарисуйте график этого процесса |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
в координатах |
p, V ; V , T . |
Определите |
|
Рис. 11 |
|
|
значения давления газа в состояниях 1, 2 и 3.
Считать известными величины ρ0 , T0 и M (молярная масса газа).
© 2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичёв Сергей Дмитриевич
26
2013-2014 уч. год, №2, 10 кл. Физика. |
|
|
|
Основы молекулярно-кинетической теории. Законы идеального газа |
|||
6*. При нагревании идеального газа была |
|
Р, Па |
|
получена зависимость давления от темпера- |
|
2 |
|
туры, изображённая на рис. 12. Определите, что |
|
||
производилось во время нагревания газа: |
|
|
|
сжатие или расширение? T − |
абсолютная |
|
|
температура. |
|
|
1 |
7. Находившуюся в воздухе небольшую про- |
|
|
|
бирку погружают в воду в вертикальном поло- |
0 |
Т, К |
|
жении открытым концом вниз. Определите |
|||
глубину погружения, если известно, что воздух |
|
Рис. 12 |
|
на этой глубине занимает половину объёма |
|
||
|
|
||
пробирки. Температуру воды считать постоянной, давлением паров во- |
|||
ды пренебречь, давление атмосферного воздуха равно 1 атм. |
8.Каково давление газа, если при температуре t = 77DC в одном кубическом сантиметре находится 1015 молекул?
9.При некоторой температуре средняя квадратичная скорость молекулы кислорода равна 400 м/с. Какова при этой же температуре средняя квадратичная скорость атома гелия?
Задачи
1. Определите химическую формулу соединения углерода с кислородом, если m =1г этого вещества в газообразном состоянии создаёт в
сосуде |
объёмом V =1л при температуре t = 27 oC давление |
P =0,57 атм. Молярные массы углерода и кислорода равны, соответ- |
|
ственно, |
M c = 0,012 кг/моль и M o = 0,016 кг/моль. |
2. В вертикальном цилиндре с гладкими стенками под невесомым поршнем находится ν =50 моль газа, занимающего объём V =1 м3 при температуре T = 500 К. С какой силой надо действовать на пор-
шень перпендикулярно его поверхности, чтобы он оставался непод- |
|
вижным? Атмосферное давление P0 |
=100 кПа, площадь поршня |
S = 20 см2 . |
|
3. Спутник погрузился в тень Земли. При этом температура внутри |
|||||||
спутника, равная вначале T0 |
=300 К, упала на 1%, из-за чего давление |
||||||
воздуха понизилось на |
P =1000 Па. Определите массу воздуха в |
||||||
спутнике, если воздух занимает объём V |
=10 м3 . |
|
|
||||
4. В резервуаре объёмом V =1 м3 находится воздух при давлении |
|||||||
p =2 атм. К |
резервуару подсоединен |
насос, который при каждом |
|||||
рабочем ходе |
захватывает |
V0 |
=1 л |
воздуха из |
атмосферы |
при |
|
нормальных условиях |
(P0 =105 |
Па, T0 |
= 273 К) и |
нагнетает |
его в |
резервуар. Температура в резервуаре постоянна и равна T = 364 К.
© 2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичёв Сергей Дмитриевич
27
2013-2014 уч. год, №2, 10 кл. Физика.
Основы молекулярно-кинетической теории. Законы идеального газа
Сколько ходов должен сделать поршень насоса, чтобы повысить давление воздуха в резервуаре в 5 раз?
5. Газ находится в вертикальном цилиндре с гладкими стенками под тяжелым поршнем с площадью поперечного сечения S =30 см2 . Когда цилиндр перевернули открытым концом вниз, оказалось, что в новом равновесном состоянии объём газа в три раза больше
первоначального. Определите массу поршня. Атмосферное давление |
|||||||||||||
P0 |
= |
105 |
Па , |
g =10 м/с2 . Температура поддерживается постоянной. |
|||||||||
V0 |
6. |
При |
давлении P0 |
=106 |
Па идеальный |
газ занимает |
объём |
||||||
= |
5 л. |
В |
результате |
изотермического |
расширения |
его |
объём |
||||||
увеличился |
на |
V =1 л, |
а |
концентрация |
молекул |
стала |
равна |
||||||
n =3,62 1026 |
м−3 . При какой температуре проводился опыт? |
|
|||||||||||
|
7. |
Плотность |
газа, состоящего из смеси гелия и аргона, |
равна |
|||||||||
ρ = 2 кг/м3 |
|
при |
давлении |
p =150 кПа |
и температуреt = 27 oC. |
Определите парциальные давления гелия и аргона, а также полное
число атомов гелия в 1 см3 . |
|
|
8. В вертикально расположенной тонкостенной трубке |
длиной |
|
3L =840 мм с открытым в |
атмосферу верхним концом, столбиком |
|
ртути длиной L = 280 мм |
заперт слой воздуха длиной L . |
Какой |
максимальной длины слой ртути можно долить сверху в трубку, чтобы она из трубки не выливалась? Опыт производится при постоянной
температуре, |
внешнее |
давление |
составляет |
770 мм. рт.ст. |
||
(МФТИ, 2000 г.) |
|
|
|
|
|
|
9. Плотность газа, |
состоящего |
из смеси |
гелия |
и |
аргона, |
|
ρ = 2 кг / м3 |
при давлении p =150 кПа и температуре |
(t |
= 27 oC). |
Определите парциальные давления гелия и аргона, а также среднюю кинетическую энергию поступательного движения всех атомов гелия в
1см3 .
10.Воздушный шарик, вынесенный из тёплой комнаты (t1 = 27 oC) на мороз (t2 = −23oC), некоторое время свободно плавает в воздухе.
Определите |
массу резиновой оболочки |
шарика. Объём шарика |
V =0,2 м3 , |
атмосферное давление |
p0 =105 Па. Упругостью |
оболочки пренебречь.
© 2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичёв Сергей Дмитриевич
28