Кожевников. Матрицы и СЛУ
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2) ‘«¥¤ã¥â ¨§ 1) ¨ ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 5.3. ¤
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„®áâ â®ç-® § ¯¨á âì ¬ âà¨æã ©, á®áâ®ïéãî ¨§ á⮫¡æ®¢ X1; : : :
: : : ; Xs, - ©â¨ äã-¤ ¬¥-â «ì-ãî ¬ âà¨æã ª á¨áâ¥¬ë ©T X = O, ¨ ¢§ïâì A = ªT .
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4.•ãáâì © 2 Mn£s | -¥ª®â®à ï äã-¤ ¬¥-â «ì- ï ¬ âà¨æ ¤«ï á¨á⥬ë AX = O. „®ª ¦¨â¥, çâ® ¬-®¦¥á⢮ ¢á¥å äã-¤ ¬¥-- â «ì-ëå ¬ âà¨æ ¨¬¥¥â ¢¨¤ ©S, £¤¥ S ¯à®¡¥£ ¥â ¢á¥ -¥¢ë஦- ¤¥--ë¥ ¬ âà¨æë ¯®à浪 s.
5.„®ª ¦¨â¥, çâ® ¤¢¥ ᮢ¬¥áâ-ë¥ á¨á⥬ë íª¢¨¢ «¥-â-ë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ª ¦¤®¥ ãà ¢-¥-¨¥ ®¤-®© ¨§ -¨å ï¥âáï «¨-¥©-®© ª®¬¡¨- 樥© ãà ¢-¥-¨© ¤à㣮© á¨á⥬ë.
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45
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-¨â¥«ì-®© ¯®¤¬ âà¨æ¥©, ®â¢¥ç î饩 í«¥¬¥-âã aij. „®¯®«-¨â¥«ì- -ãî ¯®¤¬ âà¨æã, ®â¢¥ç îéãî í«¥¬¥-âã aij, ¡ã¤¥¬ ®¡®§- ç âì Aij.
Š¦¤®© ª¢ ¤à â-®© ¬ âà¨æ¥ A ¯®áâ ¢¨¬ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ç¨á«®,
-§ë¢ ¥¬®¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ ¨«¨ ¤¥â¥à¬¨- -⮬ ¬ âà¨æë A. Ž¯à¥- ¤¥«¨â¥«ì ®¡®§- ç îâ jAj ¨«¨ det A.
„«ï ¬ âà¨æë A = (a11) ¯®à浪 1 ¯®«®¦¨¬ jAj = a11.
•à¥¤¯®« £ ï, çâ® ¤¥â¥à¬¨- -â 㦥 ®¯à¥¤¥«¥- ¤«ï ª¢ ¤à â-ëå |
|
¬ âà¨æ ¯®à浪 n ¡ 1, § ¤ ¤¨¬ jAj ¤«ï ¬ âà¨æë A = (aij) ¯®à浪 |
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n á«¥¤ãî饩 ä®à¬ã«®© à §«®¦¥-¨ï ¯® ¯¥à¢®¬ã á⮫¡æã: |
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(4) |
=1 |
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’¥®à¥¬ 6.1. …᫨ A = (aij) | ¢¥àå-¥âà¥ã£®«ì- ï ¬ âà¨æ ¯®- à浪 n, â® jAj = a11a22 : : : ann.
B •à¨¬¥-¨¬ ¨-¤ãªæ¨î ¯® n. „«ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 1 ã⢥ত¥- -¨¥ ¢¥à-®. •ãáâì ã⢥ত¥-¨¥ ¢¥à-® ¤«ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n ¡ 1.
45Š ª ¬®¦-® § ¬¥â¨âì, íâ® ¨ ¤à㣨¥ ᢮©á⢠®¯à¥¤¥«¨â¥«ï - 室ïâáï ¢ ᮣ« - ᨨ á ¥£® á«¥¤ãî饩 £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¨-â¥à¯à¥â 樥©. •ãáâì ¢ -¥ª®â®à®¬ ¡ §¨á¥ e1; : : : ; en n-¬¥à-®£® ¢¥ªâ®à-®£® ¯à®áâà -á⢠n ¢¥ªâ®à®¢ a1; : : : ; an § ¤ -ë ª®-
®à¤¨- â-묨 á⮫¡æ ¬¨, ª®â®àë¥ § ¯¨á -ë ¢ ¬ âà¨æã A à §¬¥à n £ n. ’®£¤ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë A | íâ® ®â-®è¥-¨¥ ®à¨¥-â¨à®¢ --ëå ®¡ê¥¬®¢ ¯ à ««¥-
V§(a1; : : : ; an)
«¥¯¨¯¥¤®¢ V§(e1; : : : ; en) .
46
‚á¥ í«¥¬¥-âë ¯¥à¢®£® á⮫¡æ ¬ âà¨æë A, ªà®¬¥ ¢®§¬®¦-® a11, à ¢-ë 0, ¯®í⮬ã jAj = a11jA11j. •® A11 | ¢¥àå-¥âà¥ã£®«ì- ï ¬ â- à¨æ ¯®à浪 n¡1 á ¤¨ £®- «ì-묨 í«¥¬¥-â ¬¨ a22; : : : ; ann, §- ç¨â,
jA11j = a22 : : : ann. ¤
‘«¥¤á⢨¥. j diag(¸1; ¸2; : : : ; ¸n)j = ¸1¸2 : : : ¸n, ¢ ç áâ-®áâ¨, jEj = = 1; jDi(¸)j = ¸.
’¥®à¥¬ 6.2 («¨-¥©-®áâì ¯® áâப ¬). |
•ãáâì ¤ -ë ª¢ ¤à â-ë¥ |
||||||||||||||||||||||
¬ âà¨æë A = |
0a1 ² |
1, A0 |
= 0a10 |
²1, A00 |
= |
0a100 |
²1; ª®â®àë¥ ®â«¨- |
||||||||||||||||
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²C |
|
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Ban00 |
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¢ë¯®«-¥-® a |
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A00 |
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= a0 |
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, â® |
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j |
j |
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k ² |
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k ² |
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j |
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j |
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2) ¥á«¨ a |
= ¸a0 |
|
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, â® |
j |
= ¸ |
A0 . |
|
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k ² |
k ² |
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j |
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j |
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j |
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|
|
|
|
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|
|
|
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1 ã⢥ত¥- |
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-¨¥ ¢¥à-®. •à¥¤¯®« £ ï, çâ® ã⢥ত¥-¨¥ ¢¥à-® ¤«ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
n |
¡ |
1, ¤®ª ¦¥¬ ¥£® ¤«ï ¬ âà¨æ A, A0, A00 |
¯®à浪 |
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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¨ |
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¤¥«ì-® k-¥ á« £ ¥¬®¥: jAj = |
|
(¡1) |
|
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|
ak1jAk1j. •à¨ |
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|
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|
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|
|
|
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|
|
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i1 |
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|
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i1 |
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|
|
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ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï áâப |
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¨ A00 . ‘®£« á-® ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨î ¨-¤ãªæ¨¨ |
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j |
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k1 |
= A0 |
= A00 |
¨ a |
i1 |
= a0 |
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= a00 |
|
¯à¨ i = k, |
|||||||||||||||||||||
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6 |
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k1 |
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k1 |
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i1 |
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6 |
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¨¬¥¥¬ |
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|
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+ |
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A00 |
) + ( |
|
1)k+1(a0 |
|
+ a00 ) |
|
|
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= |
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|
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= |
( 1)i+1a ( A0 |
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||||||||||||||||||||
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j j |
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k1 |
j |
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|
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|||||||||
|
|
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(¡1)i+1ai1jAi01j + (¡1)k+1ak0 1jAk1j1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
|
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0 |
+ |
|
|
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|
|
|
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|
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i6=k |
|
(¡1)i+1ai1jAi001j + (¡1)k+1ak001jAk1j1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
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+ 0 |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
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@X |
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|
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|
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i=6k
47
@X |
( |
¡ |
1)i+1ai0 |
1 |
j |
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1 |
j |
¡ |
j |
jA |
= 0 |
|
|
|
+ ( 1)k+1ak0 1 |
Ak0 1 |
1+ |
i=6k
0
+ @X(¡1)i+1
i=6k
1
a00i1jA00i1j + (¡1)k+1a00k1jA00k1jA = jA0j + jA00j:
2) €- «®£¨ç-® 1), jAj = P(¡1)i+1ai1jAi1j + (¡1)k+1ak1jAk1j =
i6=k
|
|
X |
( |
|
1)i+1a0 |
(¸ |
A0 ) + ( |
|
1)k+1(¸a0 |
) A0 |
= |
|||
|
|
= |
¡ |
¡ |
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|
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i6=k |
|
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i1 |
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k1 |
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k1j |
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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= ¸ |
Ãi=k(¡1)i+1ai01jAi01j + (¡1)k+1ak0 1jAk0 1j! = ¸jA0j: ¤ |
||||||||||||
|
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P |
|
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|
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6 |
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¯à¥®¡à §®¢ -¨ï |
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¸. |
|
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B ‚ ã⢥ত¥-¨¨ 2) â¥®à¥¬ë ¤®áâ â®ç-® ¯®«®¦¨âì ¸ = 0. ¤
„ «¥¥ ¤®ª ¦¥¬, çâ® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¨§¬¥-¨â §- ª, ¥á«¨ ¯®¬¥-ïâì ¬¥áâ ¬¨ ¤¢¥ áâப¨ ¬ âà¨æë. ‚- ç «¥ à áᬮâਬ á«ãç © ¤¢ãå á®- ᥤ-¨å áâப.
‹¥¬¬ . •ãáâì ª¢ ¤à â-ë¥ ¬ âà¨æë A ¨ A0 â ª®¢ë, çâ® (¤«ï -¥- |
|
B „«ï ¬ âà¨æ e |
(A) = A0. ’®£¤ jA0j = ¡jAj. |
ª®â®à®£® -®¬¥à k) Pk k+1 |
|
¯®à浪 |
1 -¥ç¥£® ¤®ª §ë¢ âì. •à¥¤¯®« £ ï, çâ® |
ã⢥ত¥-¨¥ ¢¥à-® ¤«ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n ¡1, ¤®ª ¦¥¬ ¥£® ¤«ï ¬ â-
à¨æ ¯®à浪 |
n. |
0a1 ²1, A0 |
|
0a10 |
|
1, £¤¥ ai0 |
|
|
|
|
|||||||
•®«®¦¨¬ A = |
= |
² |
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= ai |
|
¯à¨ i = k; k +1, |
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
a0 |
Ban. ²C |
|
|
Ban0. |
²C |
² |
|
² |
6 |
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= a |
|
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, |
@ |
= A |
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@ |
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A |
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|
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k+1² |
k+1 ² |
a |
k ² |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
k ² |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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á⮫¡æã, |
¢ë¤¥«¨¢ ®â- |
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|
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
||||||||||
¤¥«ì-® k-¥ ¨ (k + 1)-¥ á« £ ¥¬ë¥: jAj = |
|
|
|
|
(¡1) ai1jAi1j + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
+ (¡1) ak1jAk1j + (¡1) ak+1 1jAk+1 1j |
|
i6=k;k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i 6= k; k + 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Ai1 ¨ Ai0 |
1 |
|
¯®«ãç îâáï ¤à㣠¨§ ¤à㣠|
|
¯¥à¥áâ -®¢ª®© ¤¢ãå á®á¥¤-¨å |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
áâப, §- ç¨â, ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨î ¨-¤ãªæ¨¨ jAi1j = ¡jAi0 |
1j. |
|
“ç¨- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
âë¢ ï, çâ® Ak1 |
|
= Ak0 +1 1, Ak+1 1 |
|
= Ak0 1, ak1 |
|
= ak0 +1 1, ak+1 1 |
= ak0 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
¨ a |
|
= a0 |
|
¯à¨ i = k; k + 1, ¨¬¥¥¬ |
j |
A |
j |
= |
|
|
|
|
( |
¡ |
1)i+1a0 |
( |
|
A0 ) + |
||||||||||||||||||||
|
|
|
i1 |
|
|
i1 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
i1 |
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i1j |
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k+1 |
a0 |
A0 |
+( |
|
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k+2 |
a0 |
|
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A0 |
|
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|
|
( 1) |
i+1 |
a0 |
|
A0 |
|||||||||||||||
¡ |
1) |
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¡ |
1) |
|
|
|
= |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+1 1j |
|
k+1 1j |
|
|
|
|
k 1j |
k 1j |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
i1j |
i1j¡ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k;k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( 1) |
k+2 |
a0 |
|
A0 |
|
( 1) |
k+1 |
a0 |
|
A0 |
|
|
|
i6=P |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
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k+1 1j ¡ |
¡ |
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k 1j |
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k 1j |
¡j j ¤ |
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•à¥¤«®¦¥-¨¥ 6.1. •ãáâì ¬ âà¨æ A0 ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¬ âà¨æë A
¯à¨¬0 ¥-¥-¨¥¬ í«¥¬¥-â à-®£® ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï áâப II ⨯ . ’®£¤
jA j = ¡jAj.
Pkl, |
¬®¦-® ¯®«ãç¨âì, e |
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= Pkl(A). •ãáâì ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥--®á⨠k < l. ’®£¤ |
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: : : Pl¡2 l¡1 |
; Pl¡1 l; Pl¡2 l¡1; : : : ; Pk+1 k+2 |
; Pk k+1. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, Pkl |
|||||||||||
¬®¦-® ®áãé¥á⢨âì § ( |
2(l |
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k) ¡ 1 |
) ®¡¬¥-®¢ á®á¥¤-¨å áâப. •® ¨§ |
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«¥¬¬ë á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ १ã«ìâ ⥠-¥ç¥â-®£® ç¨á« ®¡¬¥-®¢ á®á¥¤-¨å áâப jAj ¯®¬¥-ï¥âáï - ¡jAj. ¤
‘«¥¤á⢨¥ 1. Ž¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë, ᮤ¥à¦ 饩 ¤¢¥ à ¢-ë¥ áâப¨, à ¢¥- 0.
‘«¥¤á⢨¥ 2. jPijj = ¡1.
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 6.2. •ãáâì ¬ âà¨æ A0 ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¬ âà¨æë A
¯à¨¬0 ¥-¥-¨¥¬ í«¥¬¥-â à-®£® ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï áâப III ⨯ . ’®£¤
jA j = jAj.
B •ãáâì ¬ âà¨æ |
A0 ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¬ âà¨æë A = |
0a1 ² |
1 |
¯à¥®¡- |
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² |
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² |
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e |
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Ban0. |
C |
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@ |
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49 |
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= ak |
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. • áᬮâਬ ¬ âà¨æã A00 |
= 0a100 |
² |
1, ª®â®à ï ¯®«ã- |
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² |
k |
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. •® ⥮६¥ 6.2 ¨¬¥¥¬ |
j |
j |
j |
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+ ¸ A00 |
j |
, -® ¯® á«¥¤á⢨î |
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j |
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j |
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1 ¨§ ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 6.1, jA00j = 0. ¤ |
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‘«¥¤á⢨¥. jTij(¸)j = 1. |
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’¥®à¥¬ |
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6.3 (ªà¨â¥à¨© -¥¢ë஦¤¥--®áâ¨-2). „«ï ¬ âà¨æë |
|||||||||||||||||
A 2 Mn£n íª¢¨¢ «¥-â-ë á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï: A -¥¢ë஦¤¥-- ï (= ®¡à ⨬ ï) , jAj =6 0.
BŠ ª ¬ë ¯®ª § «¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å ã⢥ত¥-¨ïå, ãá«®¢¨¥ jAj =
=0 -¥ ¨§¬¥-ï¥âáï ¯à¨ í«¥¬¥-â à-ëå ¯à¥®¡à §®¢ -¨ïå áâப. …᫨ A
-¥¢ë஦¤¥-- ï, â® ¯® ⥮६¥ 4.3 A ¯à¨¢®¤¨âáï í«¥¬¥-â à-묨 ¯à¥- ®¡à §®¢ -¨ï¬¨ áâப ª ¥¤¨-¨ç-®© ¬ âà¨æ¥, ¯®í⮬ã jAj 6= 0. …᫨ ¦¥ A ¢ë஦¤¥- , â® ®- ¯à¨¢®¤¨âáï í«¥¬¥-â à-묨 ¯à¥®¡à §®¢ -¨- ﬨ áâப ª -¥ª®â®à®© ¬ âà¨æ¥ A0 ã¯à®é¥--®£® ¢¨¤ , ᮤ¥à¦ 饩 áâபã -ã«¥©. •®í⮬ã (á¬. á«¥¤á⢨¥ 2 ¨§ ⥮६ë 6.2) jA0j = 0 )
jAj = 0. ¤
‘«¥¤ãîé ï ⥮६ | ®¡ ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï ¬ âà¨æ.46 ‚- з «¥ ¤®ª ¦¥¬ «¥¬¬г (п¢«пойгобп з бв-л¬ б«гз ¥¬ в¥®а¥¬л).
‹¥¬¬ . •ãáâì S; A 2 Mn£n, ¯à¨ç¥¬ S | í«¥¬¥-â à- ï ¬ âà¨æ .
’®£¤ jSAj = jSj ¢ jAj.
B Š ª - ¬ ¨§¢¥áâ-® (¯à¥¤«®¦¥-¨¥ 4.2), SA | íâ® ¬ âà¨æ , ¯®- «ãç¥-- ï ¨§ A ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 í«¥¬¥-â à-ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ -¨¥¬
áâப. ‘®£« á-® ⥮६¥ 6.2 ¨ ¯à¥¤«®¦¥-¨ï¬ 6.1, 6.2, ¨¬¥¥¬: ¥á«¨ |
|||||||
jSj = ¸ jSAj = jDi(¸)(A)j = |
ej j |
ij |
j j = 1 |
|
|||
S = Pij |
, â® jSj = ¡1, jSAj = jPij(A)j = ¡jAj; ¥á«¨ S = Di(¸), â® |
||||||
|
, |
e |
¤ |
¸ A ; |
¥á«¨ S = T (¸), â® |
S |
, |
|
|
||||||
jSAj = j ej ¢ j j |
|
|
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|
||
jSAj = jTij(¸)(A)j = jAj. Š ª ¢¨¤¨¬, ¢® ¢á¥å âà¥å á«ãç ïå à ¢¥-á⢮ |
|||||||
S A |
¢ë¯®«-¥-®. |
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46•в в¥®а¥¬ ¨¬¥¥в б«¥¤гойго ва ªв®¢ªг. • бᬮва¨¬ «¨-¥©-л¥ ¯а¥®¡а §®- ¢ -¨п ' : Rn ! Rn ¨ à : Rn ! Rn, § ¤ --ë¥ (¢ -¥ª®â®à®¬ ¡ §¨á¥) ¬ âà¨æ ¬¨ A
¨ B. ’®£¤ jAj | ª®íää¨æ¨¥-â ¨§¬¥-¥-¨ï ®à¨¥-â¨à®¢ --®£® ®¡ê¥¬ ¯à¨ ¢ë¯®«- -¥-¨¨ ', jBj | ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ª®íää¨æ¨¥-â ¤«ï Ã, jABj | ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ª®íää¨æ¨¥-â ¤«ï 'Ã.