umf
.pdf2.5. Закон сохранения энергии. Теорема единственности волнового уравнения. |
21 |
Cледствие. (Теорема единственности) Рассмотрим задачу Коши
|
∂2u = c2 u + f(x, t) |
|
|||
|
|t=0 |
|
0 |
| | → ∞ |
|
u |
|
|
= u (x) |
|
|
|
∂t2 |
= u (x) |
, где u0, u1, f достаточно быстро убывают при x |
||
u |
|
||||
|
|
t|t=0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Тогда классическое решение (достаточно быстро убывающее) единственно.
Доказательство. Предположим, что таких решения два: u и v. Рассмотрим w = u − v. Очевидно,что
w |
|
|
|
= 0 |
|
||
|
∂2w |
= c2 |
w |
||||
w |
|
|
|
= 0 |
|
||
|
∂t2 |
|
|
|
|||
|
|
|t=0 |
|
|
|||
|
|
|
t|t=0 |
|
|
||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∂w 2 |
2 |
|||
E(t) = |
|
|
( |
∂t ) + ( w) dx |
|||
|
c2 |
||||||
Rn
˙
E = 0, по закону сохранения энергии
E(t) = E(0) = 0, так как w|t=0 = 0 и wt|t=0 = 0
Откуда сразу слудет, что wt = 0 и w = 0, то есть w = const, а именно w = 0.
Глава 3
Обобщенные функции
Наша цель состоит в том, чтобы посмотреть на эти уравнения с некоторой единой и немножко более общей точки зрения. Напомню, что, если у вас, например, имеется уравнение Пуассона u = f, то, если x R3, для решения этого уравнения имеется явная формула (формула Ньютона)
u(x) = − |
1 |
RZ3 |
f(y) |
|
|
dy |
|||
4π |
|x − y| |
|||
Эта формула похожа на формулу для обратного оператора. У нас есть оператор Лапласа, который действует на функции, есть уравнение u = f, - линейный оператор. Если бы этот оператор был бы конечномерный, то, решая уравнение Au = f, мы бы получали решение вида u = A−1f. Если в конечномерном случае мы знаем эту матрицу, то спокойно можем решать уравнение с любой правой частью. Примерно так же дело обстоит с линейными дифференциальными уравнениями. Пусть есть система
u˙ = Au + f,
где A-матрица, зависящая от t. Чтобы решить такую систему, нам тоже нужно знать в некотором смысле обратный оператор - фундаментальную систему Φ. Если мы ее знаем, то, во-первых, можем решить любую задачу Коши, во-вторых, любую задачу с правой частью. Φ - аналог обратного оператора.
Наша задача - понять, что для уравнения u = f аналог фундаментальной матрицы или обратного оператора. Будем выяснять, как устроены фундаментальные решения дифференциального оператора. Фундаментальные решения естественным образом определяются, если рассматривать не классические решения дифференциальных уравнений u = f, а обобщенные. Из формулы Ньютона это хорошо видно. Под интегралом
стоит произведение функции f(y) и функции ε(x) = − |
1 |
|
1 |
|
. ε(x) - это и есть решение соответствующего |
4π |x − y| |
|||||
уравнения (решение имеет особенность в точке x=y, оно неклассическое).
3.1Общие сведения об обобщенных функциях
В данной параграфе мы напомним лишь главные сведения об обобщенных функциях. Предполагается, что читатель уже знаком с этими объектами из курса математического анализа и функционального анализа. Как известно, обобщенные функции это функционалы, заданные на каком-то пространстве функций. Рассмотрим для начала пространство основных функций.
Определение. Пространство основных функций D(Rn). ϕ(x) D(Rn), если ϕ(x) C∞(Rn) и ϕ(x) ≡ 0 вне некоторого компактного множества. Так же о таких функциях говорят, что ϕ(x) C0∞(Rn).
Стоит определить сходимость в D(Rn).
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Пусть ϕk D(Rn). Тогда ϕk → ϕ, если: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) компакт Ω, k ϕk = 0 вне Ω. |
∂|m|ϕk |
|
∂|m|ϕ |
, где |m| = m1 |
+ ... + mn, а |
∂|m|ϕ |
|
|||
2) m = (m1, ..., mn) mj ≥ 0 - целые числа, ∂mϕk = |
|
|
|
|
|
= |
||||
∂xm |
∂xm |
∂xm |
||||||||
∂|m|ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x1 |
...∂xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Обобщенная функция - линейный непрерывный функционал на D.
f[cϕ + c˜ϕ˜] = cf[ϕ] + cf˜ [ϕ˜]
D
Если ϕk → ϕ, то f[ϕk] → f[ϕ]
22
3.1. Общие сведения об обобщенных функциях |
23 |
Примеры
1) f(x) - локально интегрируема. Такие обобщенные функции называются регулярными.
Z
f[ϕ] = f(x)ϕ(x)dx
Rn
2)δ(x−x0), x0 Rn. Данная обобщенная функция уже не является регулярной. При действии на функцию ϕ она дает значение этой фунции в точке x0.
δ(x − x0)[ϕ] = ϕ(x0)
3) Пусть M - гладкая компактная k-мерная поверхность в Rn, k < n.
Z
δM [ϕ] = ϕdσ, где dσ - форма объема на М
M
4) Пусть x R1. Под θ-функцией Хевисайда понимается следующая функция:
θ(x) = |
0, |
x < 0 |
|
|
1, |
x > 0 |
|
θ[ϕ] =−∞Z θ(x)ϕ(x)dx = Z0 |
ϕ(x)dx |
||
+∞ |
|
∞ |
|
5) Пусть D - компактная область в Rn с гладкой границей.
θD = |
1, |
в D |
0, |
вне D |
|
θD[ϕ] = Z |
ϕ(x)dx |
|
|
D |
|
Стоит определить и сходимость обобщенных функций. Пусть fk - последовательность обобщенных функций. Линейное пространство обобщенных функций D′ - пространство функционалов на D со слабой сходимостью:
w
fk → f, если ϕ Dfk[ϕ]→f[ϕ]
Определение. f D′(Rn) гладкая функция, если
Z
f0(x) C∞(Rn) : ϕ Df[ϕ] = f0(x)ϕ(x)dx
Rn