ТФКП методичка
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¢®§м¬¥¬ б®®в¢¥вбв¢гойго ªа¨¢го °3 á - ç «®¬ ¢ â®çª¥ 0 + i0 ¨ ª®-殬 ¢ â®çª¥ x. •® ä®à¬ã«¥ (1) ¯®«ãç ¥¬
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¨ h(1) = ¡i¼.
„«ï à §«®¦¥-¨ï äã-ªæ¨¨ h(z) ¢ àï¤ ‹®à - ¢ ®ªà¥áâ-®á⨠¡¥áª®-¥ç-®á⨠¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ G ¬-®£®§- ç-ãî äã-ªæ¨î ¢ ¢¨¤¥
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h(z) ¡ h1(z) + h2(z) 2 Ln(¡1);
â. ¥. h(z) ¡ h1(z) + h2(z) = i(¼ + 2¼k(z));
£¤¥ k(z) ¯à¨-¨¬ ¥â 楫®ç¨á«¥--ë¥ §- ç¥-¨ï. ’ ª ª ª ¢ à -
¢¥-á⢥ á«¥¢ áâ®ïâ -¥¯à¥àë¢-ë¥ äã-ªæ¨¨, â® k(z) = k0 = const.
•¥à¥å®¤ï ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ z ! 1, ¯®«ãç ¥¬ h(1) = i(¼ + 2¼k0), â. ¥. h(z) = h1(z) ¡ h2(z) + h(1) ¯à¨ jzj > 1. Žâáî¤ ¯®«ãç ¥¬ àï¤ ‹®à - (¢ ᨫ㠥£® ¥¤¨-á⢥--®áâ¨) äã-ªæ¨¨ h ¢¨¤
h(z) = i¼ + |
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x 6. ˆ-â¥£à «ë ®â ॣã«ïà-ëå ¢¥â¢¥©
‘¯à ¢®ç-ë¥ á¢¥¤¥-¨ï
ˆ-â¥£à «ë ®â ॣã«ïà-ëå ¢¥â¢¥© ¬-®£®§- ç-ëå äã-ªæ¨© - 室ïâáï á ¯®¬®éìî ¢ëç¨á«¥-¨ï §- ç¥-¨© ॣã«ïà-ëå ¢¥â¢¥© ¬-®£®§- ç-ëå äã-ªæ¨©, à §«®¦¥-¨© íâ¨å ¢¥â¢¥© ¢ àï¤ë ‹®à - ¨ á ¨á¯®«ì§®¢ -¨¥¬ ⥮ਨ ¢ëç¥â®¢.
•à¨¬¥àë á à¥è¥-¨ï¬¨
•à¨¬¥à. •ãáâì ॣã«ïà- ï ¢¥â¢ì g(z) ¬-®£®§- ç-®© äã-ª- |
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43 |
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„«ï ¢ëç¨á«¥-¨ï ¨-â¥£à « J ¯® ⥮ਨ ¢ëç¥â®¢ - ¤® - ©â¨
®á®¡ë¥ â®çª¨ ¯®¤ë-â¥£à «ì-®© äã-ªæ¨¨, â. ¥. â®çª¨, ¢ ª®â®àëå á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥-á⢮ g(z) = 3z. —â®¡ë ¨å - ©â¨, § ¬¥ç ¥¬,
çâ® ¨§ ¯®á«¥¤-¥£® à ¢¥-á⢠᫥¤ã¥â g2(z) = (3z)2. ’ ª ª ª
¯® ®¯à¥¤¥«¥-¨î ª®à-ï g2(z) = z2 ¡ 4, â® ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥-á⢮
z2 ¡ 4 = 9z2, â. ¥. z1;2 = §pi2 | â®çª¨, ¢ ª®â®àëå ¢®§¬®¦-® à ¢¥-á⢮ g(z) = 3z.
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¢ â®çª¥ z = 0. „®¯ãá⨬, çâ® ¬ë §- ¥¬ §- ç¥-¨¥ g(0). ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¤¥©á⢨⥫ì-®£® ç¨á« x > 2 ¢ëç¨á«¨¬ §- ç¥-¨¥ g(x) ¯® ä®à¬ã«¥ (2) ¨§ x 18:
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â. ¥. à ¢¥-á⢮ g(z) = 3z á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ â®çª¥ z = ¡pi |
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’ ª |
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´ = 31 |
6= 3. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, â®çª |
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g(z) |
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2 |
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z = ¡p |
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¥áâì ¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯®¤ë-â¥£à «ì-®© äã-ª- |
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2 |
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‘¯à ¢®ç-ë¥ á¢¥¤¥-¨ï
1. Œ¥â®¤ ¢ëç¨á«¥-¨ï -¥á®¡á⢥--ëå ¨-â¥£à «®¢ á ¯®¬®éìî â¥®à¥¬ë Š®è¨ ® ¢ëç¥â å (á¬. x 14) á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬. •ãáâì
âॡã¥âáï ¢ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à « ®â ¤¥©á⢨⥫ì-®© äã-ªæ¨¨ f(x) ¯® ª ª®¬ã-«¨¡® (ª®-¥ç-®¬ã ¨«¨ ¡¥áª®-¥ç-®¬ã) ¨-â¥à¢ «ã (a; b) ®á¨ R. ’®£¤ (a; b) ¤®¯®«-ï¥âáï ª ª®©--¨¡ã¤ì ªà¨¢®© ¡, ª®â®à ï
x 7. ‚ëç¨á«¥-¨¥ -¥á®¡á⢥--ëå ¨-â¥£à «®¢ |
45 |
¢¬¥áâ¥ á ¨-â¥à¢ «®¬ (a; b) ®£à -¨ç¨¢ ¥â -¥ª®â®àãî ®¡« áâì D ¢ C. …᫨ äã-ªæ¨ï f(x) ॣã«ïà-® ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¢ D (¨ -¥¯à¥- àë¢-® ¢ D), § ¨áª«îç¥-¨¥¬ ª®-¥ç-®£® ç¨á« ¨§®«¨à®¢ --ëå
®á®¡ëå â®ç¥ª ak |
2 D, k = 1; 2; : : : ; n, â® ¯® ⥮६¥ Š®è¨ ® |
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¢ëç¥â å ¯®«ãç ¥¬ |
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f(z) dz = 2¼i 0j=1 z=aj |
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f(z) dz = |
|
f(x) dx + |
|
res f(z) |
A |
: |
@D |
a |
|
¡ |
@X |
|
||
㤠¥âáï ¢ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à « |
|
Rf(z) dz ¨«¨ ¢ëà §¨âì ¥£® ç¥à¥§ I. |
|||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
’®£¤ |
¨á室-ë© ¨-â¥£à « I = |
f(x) dx 㤠¥âáï ¢ëç¨á«¨âì, ¥á«¨ |
|||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
2. |
‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ⥮६¥ Š®è¨ @D (£à -¨æ ®¡« á⨠D) |
||||||
¤®«¦- ¨¬¥âì ª®-¥ç-ãî ¤«¨-ã. …᫨ (a; b) = R, â® ç á⮠㤮¡-® ¢ë¡¨à âì ®â१®ª [¡R; R] ¤¥©á⢨⥫ì-®© ®á¨, ¢ ª ç¥á⢥ ¤®-
¯®«-ïî饩 ªà¨¢®© ¡ | ¯®«ã®ªàã¦-®áâì ¡ = ¡R à ¤¨ãá R > 0, à ᯮ«®¦¥--ãî ¢ ¢¥àå-¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠(à¨á. 7.1), â. ¥.
¡R = fz : jzj = R; Im z > 0g:
•à¨ í⮬ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ - |
á«¥¤ãîé ï ⥮६ . |
||
|
y |
|
|
|
|
¡R |
|
¡R |
0 |
R |
x |
|
|
||
•¨á. 7.1
’¥®à¥¬ . •ãáâì «®áª®á⨠fz : Im z > ¨§®«¨à®¢ --ëå ®á®¡ëå
äã-ªæ¨ï f ॣã«ïà- ¢ ¢¥àå-¥© ¯®«ã¯- 0g, § ¨áª«îç¥-¨¥¬ ª®-¥ç-®£® ç¨á« â®ç¥ª a1; : : : ; an ¨ -¥¯à¥àë¢- ¢¯«®âì
46
¤® ¤¥©á⢨⥫ì-®© ®á¨. ’®£¤ |
¥á«¨ |
= 0; |
|
|
|
|
|
R!+1 Z |
f(z) dz |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
(1) |
|
|
¡R |
|
|
|
|
|
£¤¥ ¡R = fz : jzj = R; Im z > 0g, â® |
|
1 |
|
|
||
Z |
f(x) dx = 2¼i 0j=1 z=aj |
|
|
|||
+1 |
n |
|
A |
|
|
|
¡1 |
|
@X |
|
|
||
v:p: |
|
|
res f(z) |
|
: |
(2) |
‡ ¬¥ç -¨¥. ‘ãé¥á⢮¢ -¨¥ -¥á®¡á⢥--®£® ¨-â¥£à « (2) §¤¥áì ¬®¦-® £ à -â¨à®¢ âì «¨èì ¢ á¬ëá«¥ £« ¢-®£® §- ç¥-¨ï ¯® Š®è¨.
3. “ª ¦¥¬ á«ãç ¨, ¢ ª®â®àëå ¢ë¯®«-¥-® ãá«®¢¨¥ (1) ⥮- ६ë 1.
C«ãç © 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‹¥¬¬ . •ãáâì äã-ªæ¨ï f(z) -¥¯à¥àë¢- - |
§ ¬ª-ã⮬ |
||||||||||||||||
¬-®¦¥á⢥ fz : Im z > 0; jzj > R0 > 0g ¨ ¯ãáâì |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
R |
lim |
|
|
£¤¥ |
|
|
|
|
max f(z) |
: |
|
|
|
||||
+ RM(R) = 0; |
|
M(R) = z |
¡R j |
|
j |
|
|
|
|
||||||||
|
! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
’®£¤ lim |
f(z) dz |
|
£¤¥ |
|
= |
f |
z : |
jzj = R |
, |
Im z |
|
|
0 . |
||||
R!+1¡RR |
|
= 0; |
|
¡R |
|
|
|
|
|
|
> g |
||||||
‡ ¬¥ç -¨¥. |
‹¥¬¬ |
1 ¯à¨¬¥-¨¬ , - ¯à¨¬¥à, ¢ á«ãç ¥, |
|||||||||||||||
ª®£¤ f(z) | à 樮- «ì- ï äã-ªæ¨ï, â. ¥. |
f(z) = |
|
|
Pn(z) |
|
|
|||||||||||
|
Qm(z) , |
£¤¥ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Pn(z) ¨ Qm(z) | ¬-®£®ç«¥-ë á⥯¥-¥© n ¨ m ᮮ⢥âá⢥--®. …᫨ m > n + 2, â® ¨-â¥£à « +R1f(x) dx á室¨âáï ª ª -¥á®¡áâ-
¡1
¢¥--ë© ¨ §- ª v:p: ¢ ä®à¬ã«¥ (2) ¬®¦-® ®¯ãáâ¨âì. •à¨ í⮬
¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® Qm(z) 6= 0 - ¤¥©á⢨⥫ì-®© ®á¨. „«ï 㪠§ --®£® á«ãç ï ä®à¬ã« (2) ¯à¨¬¥â ¢¨¤
Z+1
f(x) dx
¡1
res f(z): |
(3) |
= 2¼i ImXzk>0 z=zk |
|
‚ ä®à¬ã«¥ (3) ᮤ¥à¦ âáï ¢ëç¥âë ¯® ¢á¥¬ ¯®«îá ¬ äã-ªæ¨¨ R(z), à ᯮ«®¦¥--ë¬ ¢ ¢¥àå-¥© ¯®«ã¯«®áª®áâ¨.
x 7. ‚ëç¨á«¥-¨¥ -¥á®¡á⢥--ëå ¨-â¥£à «®¢ |
47 |
‘«ãç © 2.
‹¥¬¬ . (†®à¤ - ) •ãáâì äã-ªæ¨ï g(z) -¥¯à¥àë¢- - § ¬ª-ã⮬ ¬-®¦¥á⢥ fz : Im z > 0; jzj > R0 > 0g ¨ ¯ãáâì
lim |
M(R) = 0, £¤¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R!+1 |
M(R) = max g(z) |
; ¡ |
|
= |
z : |
|
|
= R; |
Im z |
> |
0 : |
|
||||
|
R |
z |
j |
|
||||||||||||
|
z |
2 |
¡R j j |
|
|
f |
j |
|
|
|
g |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’®£¤ |
¥á«¨ ® > 0, â® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
lim |
|
g(z)ei®z dz = 0: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
R!+1 Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢¨¤‘ ¯®¬®éìî «¥¬¬ë †®à¤ - |
¬®¦-® ¢ëç¨á«ïâì ¨-â¥£à «ë |
|||||||||||||||
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
I1 = Z cos ®x ¢ g(x) dx ¨ I2 = Z sin ®x ¢ g(x) dx; |
|
||||||||||||||
|
¡1 |
|
|
|
|
|
|
¡1 |
|
|
|
|
|
|
||
£¤¥ g(x) | à 樮- «ì- ï äã-ªæ¨ï, â. ¥. g(x) = |
Pn(x) |
|
|
Pn(x) |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qm(x) , £¤¥ |
|
||||
¨ Qm(x) | ¬-®£®ç«¥-ë á⥯¥-¥© n ¨ m ᮮ⢥âá⢥--®, ¯à¨ç¥¬ m > n + 1. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¨-â¥£à «ë á室ïâáï ª ª -¥á®¡á⢥-- -ë¥, ä®à¬ã«ã (2) ¬®¦-® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
|
|
|
|
+1 |
X |
¡ |
|
¢ |
|
|
|
|
¡1 |
|
|||
I |
|
+ iI |
= |
g(x)ei®xdx = 2¼i |
res |
|
g(z)ei®z |
: (4) |
|
1 |
|
2 |
Z |
Im zk>0 z=zk |
|
|
|
‚ à ¢¥-á⢥ (4) ᮤ¥à¦ âáï ¢ëç¥âë ¯® ¢á¥¬ ¯®«îá ¬ äã-ª- 樨 g(z)ei®z, à ᯮ«®¦¥--ë¬ ¢ ¢¥àå-¥© ¯®«ã¯«®áª®áâ¨.
•à¨¬¥àë á à¥è¥-¨ï¬¨ |
|
|
|
|
|
•à¨¬¥à. |
‚ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à « |
|
|
||
|
+1 |
x2 |
|
|
|
|
I = Z |
|
|
dx: |
|
|
1 + x4 |
||||
|
¡1 |
|
|
|
|
•¥è¥-¨¥. |
”ã-ªæ¨ï f(z) = |
z2 |
|
㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ |
|
|
4 |
||||
|
|
1+z |
|
|
|
«¥¬¬ë 1 ¨ ¨¬¥¥â ¢ ®¡« á⨠D (à¨á. 7.1), ®£à -¨ç¥--®© ªà¨¢®© ¡R
48
(R > 1) ¨ ®â१ª®¬ [¡R; R], ⮫쪮 ¤¢¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨
|
|
|
|
z1 = ei¼=4 |
¨ |
|
|
z2 = ei3¼=4; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ª®в®ал¥ п¢«повбп ¯®«об ¬¨ ¯¥а¢®£® ¯®ап¤ª . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
¬ã«¥ (3) - 室¨¬ |
|
|
z2 |
¯ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
’ ª ª ª res f(z) = |
|
¯ |
|
|
= |
|
|
|
|
k = 1; 2, â® ¯® ä®à- |
||||||||||||||
|
|
|
z=zk |
|
|
4z3 ¯z=zk |
|
|
|
4zk , |
|
|
|
´ |
|
|
|
|||||||
|
µz=z1 |
z=z2 |
|
|
¶ |
|
|
|
4 |
³ |
|
|
¡ |
|
+ e¡ |
|
|
|
||||||
I = 2¼i |
res f(z) + res f(z) |
= |
|
2¼i |
e |
|
i¼=4 |
|
i3¼=4 |
|
= |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
= ¼ cos 4 |
||||||||||||||||||
= |
2 |
|
³e¡i¼=4 |
+ e¡i3¼=4 |
´ = ¼ |
|
|
|
2 |
¡ |
|
= p2N: |
||||||||||||
|
¼ei¼=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ei¼=4 + e i¼=4 |
|
¼ |
¼ |
|
||||||||||
•à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à « |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
I = Z |
|
|
|
|
dx |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x2 + 4)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
•¥è¥-¨¥. Š ª ¨ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1, ¢ ®¡« á⨠D, ®£à -¨ç¥--®© |
||||||||||||||||||||||||
¯®«ã®ªàã¦-®áâìî |
¡R |
¨ ®â१ª®¬ |
[¡ |
R; R], ¯à¨¬¥-¨¬ |
«¥¬¬ 1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(§ ¬¥ç -¨¥ 2) ª äã-ªæ¨¨ f(z) = (z2+4)3 , ¨¬¥î饩 ¢ ¢¥àå-¥©
¯®«ã¯«®áª®á⨠fz : Im z > 0g ¥¤¨-á⢥--ãî ®á®¡ãî â®çªã z1 =
=2i | ¯®«îá âà¥â쥣® ¯®à浪 . •® ä®à¬ã«¥ (3) - 室¨¬ I =
=2¼i res f(z).
z=2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ ª ª ª f(z) = |
|
h(z) |
, £¤¥ h(z) = (z + 2i)¡3, â® |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
(z¡2i) |
|
¡ 2 ¡ (z + 2i)¡ |
|
¯z=2i = |
2 |
|
44i; |
|||||||||
z=2i f(z) = 2h00(2i) = |
|
|
¢ |
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
( |
3)( 4) |
|
|
¯ |
|
3 |
|
||||||
res |
|
|
|
3 |
|
|
|
3¼ |
|
|
|
5 |
¯ |
|
|
|
|
|||
I = 2¼i |
|
|
= |
|
|
: |
|
|
|
¯ |
|
|
|
N |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 ¢ 44i |
256 |
|
|
|
|
||||||||||||||
•à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à « ‹ ¯« á |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
+1 |
cos ®x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
I(®) = Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx; ® 2 R: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
•¥è¥-¨¥. …᫨ ® = 0, â® I(0) = ¼. Šà®¬¥ ⮣®, I(®) | ç¥â- ï äã-ªæ¨ï. •®í⮬㠤®áâ â®ç-® ¢ëç¨á«¨âì I(®) ¯à¨ ® >
x 7. ‚ëç¨á«¥-¨¥ -¥á®¡á⢥--ëå ¨-â¥£à «®¢ |
49 |
> 0. •ãáâì
J(®) = Z |
1e+ x2 dx; |
£¤¥ ® > 0: |
||||
|
+1 |
i®x |
|
|
|
|
|
¡1 |
|
|
|
|
|
’®£¤ I(®) = Re J(®). Š äã-ªæ¨¨ |
|
|||||
|
f(z) = |
|
ei®z |
; £¤¥ |
® > 0; |
|
|
1 + z2 |
|||||
|
|
|
|
|
||
¯à¨¬¥-¨¬ «¥¬¬ |
†®à¤ - ¨ ¯®í⮬ã |
|||||
Z |
f(z) dz ! 0 |
¯à¨ |
R ! +1; |
|||
¡R
£¤¥ ¡R = fz : jzj = R; Im z > 0g.
”ã-ªæ¨ï f(z) ¨¬¥¥â ¢ ¢¥àå-¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠¥¤¨-á⢥--ãî
®á®¡ãî â®çªã z0 = i | ¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ¢ëç¥â ¢ ª®â®à®© à ¢¥-
res f(z) = |
ei®z |
¯z=i |
= |
e¡® |
; |
|
z=i |
2z |
|
|
2i |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¨ ¯®í⮬㠯® ä®à¬ã«¥ (4) - 室¨¬
J(®) = 2¼i |
¢ |
res f(z) = ¼e¡® |
¯à¨ ® > 0; |
|||||
|
z=i |
|
|
|
|
|
||
I(®) = Re J(®) = ¼e¡® ¯à¨ |
® > 0; |
|||||||
I(®) = ¼e¡j®j; ® |
2 R |
: |
|
|
N |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
•à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à « |
|
|
|
|||||
|
Z |
|
x2 ¡ 2x + 5 |
|
|
|
||
I = |
+1 |
(x ¡ 1) sin(8x ¡ 7) |
|
|||||
|
|
dx: |
||||||
|
|
|
|
|||||
¡1 |
|
|
|
|
|
|
||
•¥è¥-¨¥. ‚ëç¨á«¨¬ ¨-â¥£à « |
|
dx |
||||||
J = |
Z |
x¡2 ¡ 2x + 5 |
|
|||||
|
|
+1(x 1)ei(8x¡7) |
||||||
¡1
50
¨ ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ⥬, çâ® I = Im J. Š äã-ªæ¨¨
|
f(z) = g(z)ei8z; £¤¥ g(z) = |
(z ¡ 1)e¡7i |
; |
|
|
||
|
, £¤¥ |
|
|
z2 ¡ 2z + 5 |
|
¨¬¥¥â |
|
|
|
¡RR. ”ã-ªæ¨ï |
|
||||
¯à¨¬¥-¨¬ |
«¥¬¬ †®à¤ - ¨ ¯®í⮬ã |
|
f(z) dz ! 0 ¯à¨ R ! |
||||
! +1 |
|
¡R = fz : jzj = R; Im z > 0g |
|
|
f(z) |
|
|
¢ ¢¥àå-¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠¥¤¨-á⢥--ãî ®á®¡ãî â®çªã z0 = 1 + + 2i | ¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ,
res |
(z 1)ei(8z¡7) |
¯ |
|
1 i(1+16i) |
|
e¡16 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
2e |
= 2 (cos 1+i sin 1): |
|||||
z=1+2i f(z) = (z2¡ 2z + 5)0 |
||||||||
|
¡ |
¯z=1+2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
•® ä®à¬ã«¥ (4) - 室¨¬ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
J = 2¼i res f(z) = ¼e¡16i(cos 1 + i sin 1);
z=1+2i
®âªã¤
I = Im J = ¼e¡16 cos 1: N
•à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à « „¨à¨å«¥
+1 |
sin x |
|
||
I = Z0 |
dx: |
|||
|
|
|||
x |
||||
•¥è¥-¨¥. |
•ãáâì ¡½;R |
| |
ª®-âãà, |
|
¨§®¡à ¦¥--ë© |
||||
- (à¨á. 7.2). • áᬮâਬ ¨-â¥£à « I½;R = |
eiz |
dz: |
|||||||
z |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
¡½;R |
|
|
|
|
|
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•¨á. 7.2