ТФКП Половинкин
.pdf§ 26. Дробио-линейные отображения |
161 |
через точку (, то касательные L и l перпендикулярны, т. е. |
окруж |
ности 'У и Г перпендикулярны.
Достато'Чностъ. Пусть точки z и z* таковы, что любая окруж
ность Г, проходящая через эти точки, перпендикулярна данно~
окружности 'У радиуса R с центром в точке а.
1) Рассмотриl\1 в качестве кривой Г прямую, проходящую через
точки z и z*. Так как прямая Г перпендикулярна окружности 'У,
то прямая Г проходит через центр а. Более того, точки z и z* ле
жат на одном луче с началом в точке а, так как в противном слу
чае, проведя окружность Г1 с диаметром, совпадающим с отрезком
[z, z*], очевидно, получаем, что окружность Г1 не перпендикулярна
окружности 'У, т. е. не выполнено условие.
2) Рассмотрим теперь в качестве Г окружность, проходящую че
рез точки z и z*.
Обозначим через ( точку пересечения окружностей, т. е. ( Е Г n n 'У· Тогда касательная к окружности Г в точке ( (обозначим ее L)
по условию перпендикулярна касательной к окружности 'У в точке z
(обозначим ее l), следовательно, прямая L пройдет через центр а, т. е.
отрезок [а,(] лежит на касательной L к окружности Г. По тeopeiVIe о
касательной и секущей получаем R2 == 1(- al2 == lz- al·lz*-al. Это
означает, что точки z и z* являются симметричными относительно
окружности 'У. |
11 |
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 3. Пусть z0 и z0- |
симметрич |
ные точки относительно окружности 'У и пусть дробио-линейное ото
бражение f вида (1), (2) переводит окружность 'У в кривую ;у== f('Y)·
По круговому свойству (по теореме 2) кривая ;у является окружно
стью (или прямо~. Пусть w 0 == f(z0 ), v:__o == f(z0). Рассмотрим лю-
бую окружность Г такую, _.:то w0 , w0Е Г. Тогда существует окруж
ность Г такая, что f(Г) ==Г и z0 , z0 Е Г.
Так как точки z0 и z0 симметричны, то по лемме 1 окружность Г
перпендикулярна окружности 'У· По свойству сохранения углов при
конформных отображениях и так как по теореме 1 дробио-линейное
отображение конформно в С, окружность f == f(Г) будет перпен
дикулярна окружности ;:у== f('Y)· Отсюда в силу произвольности
окружности Г и по лемме 1 следует, что точки w 0 и w0 являются
СИМI\1етричными точками относительно окружности 'У· |
11 |
Теорема 4. Совох;упностъ дробно-линейнъtх отображений обра
зуеrп группу относительно операции суперпозиции, т. е. су
перпозици.я двух дробно-линейнъtх отобраа~еений .явл.яетс.я дробно линейнъt.м отображением, и обратное х; любому дробно-линейно.му отображению тах;же .явл.яетс.я дробно-линейнъtм отображением.
162 |
Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим два дробио-линейных ото |
||
бражения |
|
|
|
|
( = а1 z + Ь1 |
( 13) |
|
|
c 1 z |
+ d1 '' |
|
|
w = а2( |
+ ь2 |
( 14) |
|
с2( +d2 |
|
Подставив (13) в (14), после элементарных преобразований полу
чаем их суперпозицию вида
az +Ь
w= -- (15) cz + d'
где коэффициенты а, Ь, с, d таковы, что справедливо равенство опре-
делителей
(16)
т. е. ad- сЬ :1 О, следовательно, отображение (15) также является
дробно-линейным.
Доказательство того, что обратное отображение к дробио лИнейному также является дробио-линейным, приведено в доказа
тельстве теоремы 1. |
11 |
Разберем некоторые примеры канонических областей в плоско
сти С и их образов, получаемых при дробио-линейных отображе
ниях.
Пример 1. Описать конформные отображения верхней полу
плоскости Im z >О в круг \wl < 1.
Р еше н и е. Выберем произвольную точку z0 в верхней полу плоскости. Найдем дробио-линейное отображение, которое перево
дит z0 в точку О. |
Потребуем дополнительно, чтобы точка z0 |
отобра |
|
зилась в оо, т. е. |
рассмотрим отображение вида |
|
|
|
- 4 z- zo |
(17) |
|
|
w- .t |
- ' А :1 О. |
|
|
|
z - z0 |
|
Так как симl\tетричные относительно прямой Im z = О точки z0 и z0 по свойству дробио-линейных отображений перейдут в сиr-.1ме
тричные точки О и оо, то образом прямой Im z =О будет окружность
с центром в точке О. Чтобы получить из (17) требуеr-.1ое отображение
верхней полуплоскости Im z > О в круг \wl < 1, для любой точки z1 , Im z1 = О, ее образом должна быть точка w1 такая, что \w1 \ = 1. Для
этого уточним величину А, т. е.
1 = lwll |
= \AIIzl- ~ol = \AIIxl- ::ol = \А\. |
|
|
lz1 - zol |
lx1 - zol |
Итак, А = eia, где а - |
произвольное действительное число. В итоге |
получили, что отображения вида
·~
w = е~.а z- z0 (18)
z- z0
§ 26. Дробио-линейные отображения |
163 |
описывают семейство искомых конформных отображений, опреде ляемых выбором двух параметров: точки z0 , у которой Im z0 >О, и
действительного числа а, где а Е (0, 21Г).
В следующем параграфе мы покажем, что семейство (18) описы
вает все конформные отображения верхней полуплоскости на еди- ·
личный круг.
Пример 2. Описать конфорl\1ные отображения круга lzl < 1 на
круг lwl |
< 1. |
|
|
|
Р е ш е н и е. Выберем произвольную точку z0 в круге, |
т. е. |
|||
lz0 1< 1. |
Найдем дробио-линейное отображение, переводящее точку |
|||
z0 в точку О, а симметричную ей относительно окружности lzl = 1 |
||||
1 |
в точку оо. Такое отображение, очевидно, имеет вид |
|
||
точку ::-- |
|
|||
zo |
w = А z - ~о = А z - zo . |
|
||
|
(19) |
|||
|
Z - =- |
1- zz |
0 |
|
|
zo |
|
|
При отображении (19) окружность lzl = 1 переходит в некоторую окружность с центром в точке О. Чтобы это была окружность lwl =
= 1, достаточно для любой точки z1 = ei~P посчитать модуль образа
1 = lwl = IAI lzo ~ eicp~ = IAI |
_leicp ~ zol_ = IAI. |
11- e~IP • zol |
le~~PIIe-~IP- zol |
Таким образом, число А имеет вид А== eio:. |
В итоге отображения |
|||
вида |
· |
z-z |
о |
(20) |
w = |
ezo: |
|
||
|
|
1- zz0 |
|
описывают семейство требуемых конформных отображений, опре
деляемых выбором двух параметров: точки z0 такой, что lzol < 1, и
действительного числа а.
В следующем параграфе мы покажем, что семейство (20) описы
вает все конформные отображения единичного круга на себя.
Пример 3. Описать дробио-линейные отображения, которые
три различные точки z1 , z2 , z3 отображают в три различные точки
w 1, w2 , w 3, т. е. wk == f(zk), k == 1, 2, 3.
Р е ш е н и е. Такое конфорl\1ное отображение, очевидно, зада ется формулой
(21)
Если выразить неявную функцию w = f(z) из (21), то получится,
что функция f является дробио-линейным отображением, так как
она представима в виде суперпозиции двух отображений
w = g-1. h, где h(z) = |
z- zl |
. zз- z2 |
|
z- z2 |
z3 - z1 |
и |
|
|
g(w) = w- wl . wз- w2' |
|
|
w- w2 w3 |
- w 1 |
|
а отображение g- 1 также дробио-линейно (см. теорему 4).
168 Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП
= ez конформно отображает область G4 на полукруг G4 = {z llzl <
< 1, Im z >О} (см. рис. 6).
v
х |
и |
Рис. 6
Пример 5. Пусть прямоугольник G имеет видG5 !::. { z = х+ iy 1 1 х > О, О < у < 1Г}. Тогда в силу сказанного выше функция w =
= ez |
конформно отображает область G5 |
на область G5 = {z llzl > |
> 1, |
Im z >О} (см. рис. 7). |
|
|
у |
v |
и
Рис. 7
Зa.мetttaнue l. Так как конформные отображения во многих при
мерах (как в примерах 1, 2 и примерах 4, 5) заданы регулярными функциями, однолистными на соответствующих областях, то обрат
ные к ним функции конформно отображают образы на соответству
ющие им прообразы. Это уже показано в примере 3. Также, напри
мер, полукруг G4 регулярной функцией h(z) = ln lzl + i arg z, arg z Е Е (0,1Г), конформно отображается на область G4 , а область G~ этой
же функцией h конформно отображается на область G5 .
3. Функция )Куковского. Функция
(3)
называется фун'Х:цией Жух;овсх;ого. ' Исследуем, каким условиям должна удовлетворять область,
чтобы функция Жуковского (3) на ней была конформной.