Задачи из программы2013_ответы и подсказки

9. Пусть производственная функция фирмы имеет вид f (x1, x2 ) (x1a x2a )b , где a,b 0 .

(а) При каких значениях параметров данная технология характеризуется убывающей, постоянной и возрастающей отдачей от масштаба?

(б) Предположим, что b 1/ a . Выпишите задачу минимизации издержек и найдите функции условного спроса на факторы производства и функцию издержек фирмы. Вычислите предельные и средние издержки. Проинтерпретируйте полученный результат.

Ответ:

(а) Если ab 1 , то имеет место возрастающая отдача от масштаба, если ab 1 , то - убывающая отдача от масштаба; если ab 1, то - постоянная отдача от масштаба.

(б)

Из учебника Джейли Дж., Рени Ф. Микроэкономика: продвинутый уровень. Изд-во ГУ-ВШЭ, 2011.

Пример 3.3. Пусть технология фирмы задана двухфакторной функцией с постоянной эластичностью замещения. Тогда задача минимизации издержек (3-1) имеет вид

Предположим, что y 0 и существует внутреннее решение. Тогда условия первого порядка для соответствующего лагранжиана сводятся к следующему виду:

21

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

Чтобы найти функцию издержек, подставим (E-3) и (E-4) в целевую функцию задачи минимизации, откуда

y w1 ( 1) w2 ( 1) ( 1) .

10.Покажите, что, если технология фирмы характеризуется постоянной отдачей от масштаба, то максимальная прибыль либо равна нулю, либо задача максимизации прибыли не имеет решения.

Предположим, что она положительна, а затем воспользуемся определением постоянной отдачи от масштаба и придем к противоречию.

11. Покажите, что минимизация издержек является необходимым условием максимизации прибыли.

(x1, x2 ) , которая дает меньшие издержки производства данного уровня выпуска, и придем к противоречию.

12. Пусть производственная функция фирмы имеет вид f (x1, x2 ) . В каждом из следующих случаев

(i)f (x1, x2 ) min{4x1, x2} .

(ii)f (x1, x2 ) 4x1 x2 .

(iii)f (x1, x2 ) 4x1x2 .

(а) Вычислите минимальные издержки производства выпуска y 4 при ценах факторов w1 w2 1. Приведите графическую иллюстрацию.

(б) Найдите функции условного спроса на факторы производства, и функцию издержек фирмы.

Ответ:

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

(iii) (а) Минимальные издержки: c(w1 1, w2 1, y 4) w1x1 w2 x2 1 1 1 1 2 .

1

(б) Функция условного спроса на первый фактор: x1(w1, w2 , y) yw2 2 ; на второй фактор:

4w1

13. Верно ли, что если технология характеризуется постоянной отдачей от масштаба, то функция издержек линейна по выпуску? Что можно сказать в этом случае о средних издержках?

Ответ: Утверждение верно. Средние издержки постоянны.

14. Пусть фирма владеет двумя заводами по производству некоторого товара. На первом заводе продукция производится в соответствии с функцией издержек c1(q1 ) q12 / 2 , а на втором – в соответствии с функцией издержек c2 (q2 ) q2 . Найдите функцию издержек фирмы.

Ответ:

Функция издержек фирмы:

15. Рассмотрите фирму, минимизирующую издержки, которая производит готовую продукцию с помощью двух факторов производства (труда и капитала). Предположим, что заработная плата, возросла, и фирма на это отреагировала изменением спроса на факторы производства, но сохранила выпуск постоянным. Что произойдет с объемом труда, используемым фирмой?

23

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

Подсказка: Опираясь на слабую минимизации издержек (weak axiom of cost minimization WACM) спрос фирмы на труд с ростом заработной платы не возрастет. См. Вэриан, гл.19, стр. 376-377.

Раздел 5. Частичное равновесие (случай совершенной конкуренции)

1. Пусть в городе N проживают автовладельцы только двух типов: А и В. Функция спроса на

Предположим, что в городе всего 150 жителей: 100 из них автовладельцы типа А и 50 – автовладельцы типа В.

(а) Найдите функцию совокупного спроса на бензин всех потребителей типа А и всех потребителей типа В. Приведите графическую иллюстрацию.

(б) Найдите функцию совокупного (рыночного) спроса на бензин всех жителей города N и приведите графическую иллюстрацию. Как изменится совокупный спрос на бензин, если цена одного литра возрастет с $1 до $1,1? А с $4,5 до $4,6?

Ответ:

(а) Совокупный спрос потребителей типа А: 100xA ( p) 100(20 5p) 2000 500 p при p 4 и

возрастет с $1 до $1,1 , то спрос упадет на 65 ед. Если цена возрастет с $4,5 до $4,6, то спрос упадет на 15 ед.

2. Пусть совокупный спрос на благо описывается функцией x( p) 120 4 p , а совокупное предложение: y( p) 2 p 30 .

(а) Найдите равновесную цену и количество блага. Приведите графическую иллюстрацию.

(б) Предположим, правительство решило субсидировать производителей блага, выплачивая им субсидию s 5 за каждую произведенную единицу блага. Найдите равновесие и приведите графическую иллюстрацию.

(в) Как изменится ваш ответ на пункт (б), если субсидию получает потребитель?

Ответ: (а) ~p 25 , x( ~p) y( ~p) 20 . (б) Введем обозначения: пусть pd - это цена, которую платит за единицу блага потребитель, а ps - это цена, которую получает за единицу блага

(в) Равновесные цены и количество те же, что и в п. (б).

3. Рассмотрите модель частичного равновесия, представленную на лекции, где действует один потребитель с функцией полезности u(x,m) 2 x m и две фирмы (принадлежащие потребителю) с функциями издержек c(qj ) 8q2j , j 1, 2 , которые производят благо x из блага m . Потребитель обладает первоначальным запасом товара m , равным m 2 , но не имеет запаса блага x .

24

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

(а) Выпишите задачу потребителя и найдите функцию спроса на благо x .

(б) Выпишите задачу отдельной фирмы и найдите ее предложение блага x . Каково будет совокупное предложение блага x ?

(в) Приведите определение равновесия на рынке блага x для данной экономики.

(г) Покажите, что если на рынке товара x совокупный спрос равен совокупному предложению, то рынок товара m также будет уравновешен.

(д) Найдите равновесную цену и равновесное количество благаx . Приведите графическую иллюстрацию.

Ответ: (а) Задача потребителя (при цене блага m равной 1):

что

1)j : q~j - решение задачи фирмы j (см. пункт (б)) при цене ~p ;

~

2)x – решение задачи потребителя (см. пункт (а)) при цене ~p .

3)рынок уравновешен: ~x q~1 q~2 .

Замечание: как следствие закона Вальраса, если рынок блага x уравновешен, то рынок блага m также уравновешен (доказательство в пункте (г)).

(г) Бюджетное ограничение потребителя m px 2 1 2 эквивалентно можно записать как

4. Рассмотрите модель частичного равновесия, представленную на лекции, где действует один потребитель с квазилинейной функцией полезности u(x, m) (x) m , где (x) ln x ,

0, 0 , и одна фирма с функцией издержек c( y) cy , где c 0 . Потребитель обладает первоначальным запасом товара m , равным m , но не имеет запаса товара x . Потребитель

также получает всю прибыль от производства товара x , поскольку является единственным владельцем этой фирмы.

(а) Выпишите задачу потребителя и найдите функцию спроса на товар x . (б) Выпишите задачу фирмы и найдите ее предложение.

25

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

(в) Найдите равновесную цену товара x , равновесный выпуск товара x и равновесное потребление товара m . Как эти величины реагируют на изменение параметров , и c ?

Ответ: (а) Задача потребителя:

5. Типичная фирма из Силиконовой долины производит выпуск y в соответствии с технологией, описываемой функцией издержек c( y) , которая является возрастающей и строго

выпуклой. Производимая продукция делится на две группы. Первую группу, доля которой равна , образуют устройства без дефектов. Товары этой группы продаются на конкурентном рынке по цене p . Продукция второй группы содержит дефекты и не может быть продана.

(а) Как изменится прибыль и выпуск фирмы при малом увеличении доли продукции без дефектов ?

(б) Предположим, что в отрасли J таких фирм. Пусть x( p) - функция совокупного спроса на

продукции отрасли; будем считать, что она является убывающей. Как изменится равновесная цена p при малом увеличении ?

Ответ: (а) Из задачи фирмы получаем условие первого порядка p c ( y) . Дифференцируем прибыль по , считая, что y y( ) и удовлетворяет условию первого порядка, тогда

6. Рассмотрите совершенно конкурентный рынок товара x (в рамках модели частичного равновесия, изложенной на лекции). Предположим, на рынке действует потоварный налог на товар x , взимаемый как с потребителей, так и с производителей, т.е. каждый потребитель и

26

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

производитель платит в виде налога фиксированную сумму t за каждую приобретенную/ проданную единицу товара.

(а) Покажите, что тогда цена, которую платит за товар потребитель, и объем продаж (количество купленного товара) не зависят от того, кто платит налог потребитель или производитель.

(б) Предположим теперь, что вместо потоварного налога вводится налог на стоимость (пропорциональный налог с продаж) , т.е. сумма, уплачиваемая в виде налога, является некой фиксированной долей от выручки продавца. Покажите, что в этом случае не будет иметь место результат, аналогичный пункту (а). Какой способ налогообложения (налогообложение потребителя или производителя) приведет к более высоким расходам на покупку товара для потребителя? Можно ли указать какие-то частные случаи, для которых способ взимания налога на стоимость также не будет иметь значения?

Ответ: (а) Если налог платит потребитель, то равновесная рыночная цена pC определяется из условия равенства спроса и предложения: x( pC t) y( pC ) . Если налог платит производитель, то равновесная рыночная цена pP также определяется из условия равенства спроса и

из условия: x( pP ) y((1 ) pP ) . Рассмотрим функцию избыточного спроса в этом случае: z( p) x( p) y((1 ) p) . Считая, что функция спроса является невозрастающей, а функция предложения является неубывающей, из условия равенства спроса и предложения в ситуации, когда налог платит потребитель, имеем: z( pC (1 )) 0 . Причем z( pP ) 0 . Поскольку

функция избыточного спроса является невозрастающей, отсюда следует, что pC (1 ) pP , т.е.

налогообложение потребителя в этом случае приводит к меньшим издержкам для потребителя, чем в случае, когда тот же самый налог платит производитель. Если y( p) const , то

независимо от того, кто платит налог, расходы потребителя на покупку товара будут одинаковы.

Раздел 6. Рыночные структуры: монополия и олигополия

1. Рассмотрите фирму-монополиста, технология которой описывается функцией издержек c( y) y2 12 . Пусть обратная функция совокупного спроса на продукцию, производимую монополистом, имеет вид: p( y) 24 y .

(а) Найдите равновесные цену, выпуск и прибыль монополиста. Приведите графическую иллюстрацию.

(б) Сравните результат пункта (а) со случаем совершенно конкурентного рынка. Подсчитайте величину чистых потерь (deadweight loss), связанных с монополистическим поведением фирмы.

(в) Пусть монополист облагается налогом в размере 8 д.е. с каждой единицы выпуска. Как введение налога отразится на выпуске монополиста? Каковы будут налоговые сборы государства? Приведите графическую иллюстрацию. Как изменится ваш ответ, если монополист облагается налогом на прибыль?

Ответ: См. Левина, Покатович «Микроэкономика: задачи и решения».

27

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

(б) При совершенной конкуренции: yc 8 , pc 16 . Чистые (безвозвратные) потери: DWL 6 .

(в) После введения налога в размере 8 д.е. с каждой единицы выпуска равновесный объем выпуска и цена составляют: ymt 4 и pmt 20 , соответственно. Введение налога на прибыль не изменит ни равновесный выпуск монополиста, ни цену.

2. Монополист обладает функцией издержек вида: c( y) cy , c 0 . Обратная функция совокупного спроса на производимую монополистом продукцию имеет вид: p( y) 2 / y . В

экономике действует пропорциональный налог с продаж на продукцию, производимую монополистом. В результате, если потребитель платит за единицу товара цену pc , то

монополист получает лишь pm (1 ) pc . Рассматривается вариант фискальной политики,

предусматривающий замену пропорционального налога с продаж на потоварный налог (налог на выпуск) со ставкой t : pm pc t . Какова должна быть ставка налога t , чтобы при переходе

к новому налогу потребители платили бы ту же цену, что и раньше, когда действовал пропорциональный налог с продаж?

Ответ: t 1c . См. Левина, Покатович «Микроэкономика: задачи и решениия».

3. Покажите, что монополист не имеет функции предложения как взаимооднозначного соответствия между ценой и объемом выпуска, приведя графическую иллюстрацию.

Подсказка: Изобразите на графике случай, когда полученные при двух разных кривых спроса кривые предельного дохода (выручки) в одной точке пересекают кривую предельных издержек монополиста.

4. Рассмотрите монополиста, технология которого описывается возрастающей функцией издержек c( y) . Предположим, что вводится налог на доход (выручку) монополиста, 0 1

(т.е. монополист должен выплачивать в качестве налога долю своего дохода). Обозначим через ym и ymt равновесный выпуск монополиста до и после введения налога соответственно. Будем считать, что выпуск монополиста до и после введения налога положителен.

(а) Покажите, что ymt ym (не предполагая дифференцируемости функций).

(б) Предположим теперь, что функция издержек и обратная функция спроса дифференцируемы, причем c ( y) 0 , c ( y) 0 для любого y 0 . Покажите, что тогда ymt ym .

Подсказка: (а) Сравните прибыль монополиста, учитывая, что поскольку ym максимизирует прибыль монополиста до введения налога, то при любом другом уровне выпуска (в том числе и ymt ) монополист не может получить большую прибыль, и поскольку ymt максимизирует

прибыль монополиста после введения налога, то при любом другом уровне выпуска (в том числе и ym ) монополист не может получить большую прибыль.

(б) Предположим, что ymt ym и воспользовавшись условиями первого порядка задачи монополиста без налога и с налогом, покажем, что это невозможно.

28

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

5. Рассмотрите дуополию Курно в отрасли, обратная функция совокупного спроса на

(а) Вычислите функции реакции каждой фирмы. Приведите графическую иллюстрацию.

(б) Найдите равновесный выпуск каждой из фирм, совокупный выпуск и равновесную цену продукции.

Ответ:

(а) Функция реакции фирмы первой фирмы:

y R ( y ) 1 3y2 , если y2 1

1 1 2

0, если y2 1

Функция реакции второй фирмы:

цена: p 2 .

6. Рассмотрите отрасль, в которой две фирмы конкурируют по Курно. Предположим, технологии обеих фирм характеризуются постоянными предельными издержками, cj , причем

c1 c2 . Обратная функция совокупного спроса на продукцию отрасли имеет вид: p(Q) a bQ , где a, b 0 , a c1 .

(а) При каком условии только одна из фирм будет производить продукцию в равновесии? Какая именно фирма? Найдите равновесный выпуск данной фирмы.

(б) Предположим, условие, полученное в пункте (а), не выполняется. Найдите равновесие в этом случае.

(в) Как изменятся равновесные выпуски и прибыль каждой из фирм, найденные в пункте (б), при изменении предельных издержек?

Ответ: (решение изложено в учебном пособии Левина, Покатович «Микроэкономика: задачи и решения», задача 5 из раздела 9)

(в) Равновесные выпуски фирм возрастают при увеличении предельных издержек конкурента и сокращаются при увеличении собственных предельных издержек.

29

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

7. Рассмотрите отрасль с двумя фирмами, производящими однородную продукцию. Технологии фирм описываются функциями издержек cj ( y j ) 2 y j , j 1, 2 . Обратная функция совокупного

спроса на продукцию, производимую отраслью, имеет вид p 6 Y . Предположим, что

сначала первая фирма решает, какое количество продукции произвести, а затем вторая фирма, рассматривая выбор первой фирмы как данный, принимает решение о выпуске.

(а) Найдите равновесные выпуски обеих фирм. Приведите графическую иллюстрацию.

(б) Предположим теперь, что функция издержек первой фирмы имеет вид c1( y1 ) 5y1 . Как изменится ваш ответ на пункт (а)?

(в) Сравните найденное в пункте (а) равновесие с равновесием при конкуренции по Курно.

8. Рассмотрите рынок процессоров, на котором действуют две компании: «Antel» и «BMD», имеющие одинаковые функции издержек c( y) 20 y . Совокупный спрос на процессоры

описывается функцией Y 40 p .

(а) Предположим, что владелец фирмы «Antel» решил удалиться от дел и передать управление компанией своему сыну. Поскольку способность сына управлять компанией вызывает у отца некоторые сомнения, то он решил передать управление фирмой на следующих условиях: фирма «Antel» под руководством сына должна производить определенный уровень выпуска, в противном случае сын будет отстранен от управления компанией.

Какого уровня выпуска потребует от сына отец? Какой уровень выпуска будет производить фирма «BMD»?

(б) Предположим теперь, что незадолго до того как владелец компании «Antel» решил удалиться от дел, владелец «BMD» передал управление компанией своей дочери, причем публично посоветовал ей производить уровень выпуска, который был получен в пункте (а) для компании «Antel», но при этом заметил, что она не обязана следовать его совету.

Последует ли дочь совету отца? Каков будет уровень выпуска обеих фирм в этом случае?

Ответ: (решение изложено в учебном пособии Левина, Покатович «Микроэкономика: задачи и решения», задача 11 из раздела 9)

будут такими же, как в п. (а).

9. Рассмотрите отрасль с двумя фирмами, производящими однородную продукцию. Технологии фирм характеризуются одинаковыми функциями издержек cj ( y j ) 2 y j для любого j 1, 2 .

Обратная функция совокупного спроса на продукцию, производимую отраслью, имеет вид p 8 Y , где Y y1 y2 .

(а) Пусть фирмы принимают цены заданными. Каков будет равновесный выпуск отрасли и равновесная цена?

(б) Предположим теперь, что сначала первая фирма (лидер) решает, какое количество продукции произвести, а затем вторая фирма (ведомый), рассматривая выбор первой фирмы как данный, принимает решение о выпуске. Укажите, какая модель дуополистической конкуренции имеет место в данном случае, и найдите равновесные выпуски фирм в данной модели.

30

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!