Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

а()(Г), который соответствует пределу текучести после высокотемпературного отжт1га. Положим

(4.5.66)

где

кс =

в случае одинакового механизма изотропного упрочнения материала вследствие накопленных значений мп1овенпой пластической деформации

qp и деформации ползу^1ести q^ имеем /Ср - к^.

Функция / ** характеризует скорость снягия

изотропного упрочнения, а также позволяет y^iecTb эффект запаздывания во времени измене­ ния предела текучести по отношению к измене­ нию температуры [28]. Теперь в дополнение к необходимому условию (4.5.56) возникновения мгаовенных пластических деформаций вместо условия (4.5.60) согласно соотношениям (4.5.59), (4.5,64) и (4.5.66) получим

стандартных испытаниях образцов при одноос­ ном нагружении. Физические представления о микромеханизме неупругого деформирования кристаллических тел [28] позволяют конкретизи­

роститъ подбор числовых значений параметров. Эти функции можно представить в виде двух сомножителей. По аналогии с соотношениями (4.5.52) первый из них зависит лишь от темпера­ туры, а второй представляется в виде гиперболи­ ческого синуса, аргумент которого зависит от соответствующего напряжения и температуры. Тогда можно написать

él^\a,T) на установившейся стадии при задан­ ных значениях а и Т. Тогда при фиксированной температуре из уравнения (4.5.54) по значениям

при двух напряжениях CTJ ИCTJJнетрудно найти

Д а затем из формулы (4.5.55) определить А.

При ограниченных значениях à и é и сравнительно высоких температурах вклад мгно­ венной пластической деформации в суммарную неупругую деформацию оказывается небольшим. Диаграмма изотермического растяжения, полу­ ченная экспериментально в таких условиях, не дает возможности выделить явно зависимость мгновенной пластической деформации от дей­ ствующего напряжения. Это, в свою очередь, затрудняет обработку результатов испытаний на ползучесть при наличии начальной пластической деформации и достоверное построение кривых ползучести при a=coiist. Такая диаграмма пред­ ставляет собой функцию а = о(е, Т) или обрат­ ную ей s = 8(а, 7"), построенную (в зависимости от условий испытаний) либо при s = const (постоянная скорость движения захватов испытатедьной машины), либо при а = COnst (постоянная скорость возрастания нагрузки) [59].

à = k^t + k^q^ - A sh 5*(l-a;/a*]J

(4.5.73)

где

àg„

r-f\T,q>, eW=Jè(«)^; q,=\f^\dt.

быстро возрастает, когда la - al / a -> 1, что

ограничивает рост a даже при весьма больших значениях é .

Если для малых деформаций пренебречь изотропным упрочнением и в изотермических

условиях (Г = О, 8^^ = 0) считать à = О, то при a=const, А=^ А и В - В' установившееся значение скорости неупругой деформации сог­ ласно соотношениям (4.5.71) и (4.5.72) будет близко к

Г•//V///.

'^/у////////////Л

Рис. 4.5.7. Механический аналог поведения вязкоупругого материала

При умеренных значениях à и é для опи­ сания поведения материала целесообразно в механическом аналоге на рис. 4.5.6 отказаться от элемента сухого трения и моделировать неупру­ гую деформацию лишь при помощи элементов вязкого трения (рис. 4.5.7). Тогда работу такого аналога можно описать соотношениями

:é(*)+è<«)+è('");

4.5.5. МОДЕЛИ НЕУПРУГОГО ПОВЕДЕНИЯ КОНСТРУКЦИОННОГО МАТЕРИАЛА В НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ

Рассмотренный в п.4.5.4 упрощенный ва­ риант модели деформирования материала при одноосном нагружении нетрудно распространить на случай произвольного напряженного состоя­ ния и непропорционального нагружения [28]. Условию (4.5.56*) возникновения приращения мгновенной пластической деформации поставим в соответствие условие пластичности в виде

/, У = 1,2,3,

(4.5.75) где Sy, йу и ру - компоненты девиаторов пол­

ных и активных напряжений и микронапряже-

*

НИИ, а ст определяется в общем случае согласно формуле (4.5.66), но теперь с соответствующими индексами р или с:

dq = J-deydey > 0; q* = jdq > 0;

^^ ^Ь'''' "^'

(4.5.76) По аналогии с одноосным напряженным состоянием (см.п.4.5.4) необходимое условие

(4.5.75) следует дополнить неравенством

По аналогии с формулой (4.5.64) для про­ извольного напряженного состояния будем иметь

Ри

(4.5.82)

здесь

где штрих у знака дифференциала, по-прежнему, обозначает приращение интенсивности активных

напряжений а^ или предела текучести ст без учета упрочнения, вызванного текущим пласти­ ческим деформированием. Если условие (4.5.75)

выполнено, но da^ - do либо da^ < do , то происходит соответственно нейтральное нагружение либо начинается упругая разгрузка мате­

риала.

При одновременном выполнении условий (4.5.75) и (4.5.77) справедливы соотношения [12]

Если же условия (4.5.75) и (4.5.77) не выполняются, то dejj и dÇp, а также ву и g равны

нулю, и неупругое деформирование материала определяется лишь ползучестью, причем

.(с) 3 О//

2fl„

(4.5.79) где в функции /^ из соотношения (4.5.63) вмес­ то а - а' в качестве аргумента используется а^. Для компонентов девиатора скоростей неупругой деформации при выполнении условий (4.5.75) и (4.5.77) согласно формулам (4.5.78) и (4.5.79) получим

^^=^р.е^^-1Щ3 ^ , , .ПТ,а^)-\

2а^

где ŒQ - скорость изменения среднего (гидростатического) напряжения.

теризуют анизотропное упрочнение и термичес­ кое разупрочнение материала. В случае одинако­

Поскольку условие (4.5.75) должно вьптолняться в любой момент пластического деформи-

рования материала, à^ = ^и • отсюда с учетом соотношений (4.5.76), (4.5.78), (4.5.79) и (4.5.82) получим

Условие (4.5.77) теперь эквивалентно положи­ тельности правой части выражения (4.5.83), но при этом должно оставаться в силе ограничение (4.5.62). Из выражения (4.5.83) с учетом формул (4.5.80) и (4.5.81) нетрудно получить связь меж­ ду скоростями полной деформации и напряже­ ний в виде

При одинаковых механизмах анизотропного и изотропного упрочнения из-за мшовеннои плас­ тической деформации и деформации ползучести

(4.5.79) в явной форме не оказывает втшяния на 8^-. Однако это влияние косвенно проявляется в соответствии с соотношениями (4.5.76) и (4.5.82)

через изменение а и р^.-, а значит, и через

изменение р^^, а^ = Sy - ру и а^.

В некоторых случаях для определения на­ пряженно-деформированного состояния конст­ рукций при неупругом поведении материала целесообразно вместо форму1П>1 (4.5.84) пользо­ ваться зависимостью, аналогичной закону Гука для линейно-упругого анизотропного материала:

.(п) . 0

понентами симметричных тензоров соответ­ ственно четвертого и второго ранга. Поэтому первый из них можно представить в виде матри­ цы 6x6 [S ] с компонентами

a второй - в виде матрицы 6х 1 (вектора-столбца) (.0)

<8 > с компонентами

{^p^1^l-K-K]fc(T,aJ^

торов

{ау = {ûfn,a22'^33>2ûr23,2û3i,2ûfi2};

{«Г = {^11 > ^22 ' «33 >2а23 '2«31 >20Ci2 }>

(4.5.86)

Если условия (4.5.75) и (4.5.77) не вьшолняются, т.е. ^^, = 0 , то в формуле (4.5.85) S,j^^ = Sy„„,

ного в упругом состоянии, коэффициенты по­

него сжатия К и сдвига G или через G и коэф­ фициент Пуассона v:

а а^ - компоненты вектора

M ={^П'С^22'°'33'<^23'°^ЗР^12}-

При нарушении условий (4.5.75) и (4.5.77)

+(3/2)(а^/а„)л(Г,«„).

Если материал изотропен в упругом состоянии, то S pq = S и выражаются через К и G или G

S= 0 во всех остальных случаях.

Витоге вместо формулы (4.5.85) получим

где векторы {s} и (crj скоростей деформации и

напряжений строятся аналогично векторам де­ формации и напряжений.

для реагшных материалов, по-видимому, стано­ вится существенным при приближении рабочих температур к температуре рекристаллизации, то

в (4.5.66) / = О и в представленном виде описания неупругого деформирования материала по своим возможностям близко к одному из вариантов теории пластичности и ползучести с анизотропным з^рочнением, разработанной Н.Н.Малининым и Г.М.Хажинским |59]. В част­ ном, случае /^ s О, что соответствует затвердева­ нию жидкости в элементе 3 вязкого трения в аналоге на рис.4.5.6, неупругие деформации возможны лишь при вьшолнении условий (4.5.75) и (4.5.77), а их скорости при постоянных действующих напряжениях а,у определяются

только скоростями снятия изотропного и ани­ зотропного упрочнения. Ес]ш к тому же

**п

f = О И / = О, т.е. отсутствует термическое разупрочнение, то описание неупругого поведе­ ния материала отвечает варианту теории пласти­ ческого течения Ю.И.Кадашевича и В.В.Новожилова [40, 59].

При f" = 0, что соответствует затвердева­ нию жидкости в элементе 2 вязкого трения (см.рис.4.5.6), скорости деформации ползучести при неизменных Gу уменьшаются по абсолют­ ному значению по мере упро^шения материала, а после разгрузки отдых материала сопровождается обратной ползучестью. Если к тому же элемент сухого трения 4 в механическом аналоге на рис.4.5.6 оказывается неподвижным относитель­ но направляющих, то мгновенные пластические деформации не возникают, а поведение материа­ ла описывается одним из вариантов технической теории ползучести - теорией упрочнения в виде соотношения (4.5.79), причем компоненты ру

являются однозначными функциями 8^. и Т.

После разгрузки вследствие обратной ползучести неупругие деформации постепенно исчезают, т.е. материал ведет себя как нелинейное вязкоупругое тело.

Наоборот, если вязкость жидкости в эле­ менте 2 на рис. 4.5.6 становится ничтожной и ею можно пренебречь, то компоненты микронап­

ряжений ру ^ О и материал не обладает ани­ зотропным упрочнением, что может иметь место для реальных конструкционных материалов при весьма высоких температурах. В этом случае мгновенные пластические деформахщи и дефор­ мации ползучести не влияют друг на друга. При

***

1с^ =0 _иil«f ip). = О имеем

ЛР)

2 а„

/I

что отвечает теории пластического течения при изотропном упрочнении и теории установив­ шейся ползучести.

При бесконечной жесткости пружины 1 (см.рис. 4.5.6) и затвердевании жидкости в эле­ менте 3 вязкого трения получим модель вязко-

пластического материала. В Э10М случае при

*

CTjj < а материал ведет себя как упругий, а при Qjj > а мгнове1П1ые Ш1астичесю1е деформации

не возникают, но происходит ползучесть по за­ кону:

2 к^

Такой материал не обладает анизотропным уп­ рочнением и его поведение не зависит от исто­ рии нагружения.

Наконец, при ничтожной вязкости жидко­ сти в элементе 3 вязкого трения (см.рис. 4.5.6) элемент 4 сухого трения остается неподвижным относительно направляющих, активные напря­ жения ау = Sy -ру -О, а мгновенные дефор­ мации определяются как для нелинейно упруго­ го материала из соотношений

характерных для деформационной теории (теории малых упругопластических деформаций) [59]. Ползучесть такого материала снова соответ­ ствует установившейся стадии

3 ^. -f(T.^J.

2 ^ с ^ и

Поскольку после разгрузки в двух последних случаях микронапряжения отсутствуют, отсут­ ствует и обратная ползучесть.

Таким образом, представленное описание неупругого деформирования конструкционного материала, построенное на основе механического аналога, отражающего поведение системы скольжения в крисгаллическом теле, в своих

частных случаях соответствует различным вари­ антам феноменологических теорий пластичности и ползучести.

Нетрудно обобщить на случай сложного напряженного состояния и непропорционально­ го нагружения и описание неупругого деформи­ рования материала при одноосном нагружении, соответствующее механическому аналогу, изоб­ раженному на рис. 4.5.7. Прежде всего для изот­ ропного в упругой области материала первую формулу (4.5.70) следует заменить на соотноше­ ние (4.5.81) и для скорости изменения компо­ нентов девиатора неупругой деформации вос­ пользоваться соотношением

,(п)

1 Х^'

(/' /,У = 1,2,3, (4.5.90)

2 л„

где интенсивность скорости неупругой деформа­ ции [28]

4"^ = |l - К / 0"|"'л(Г,а J = (Z^ > О,

(4.5.91) а функция ffiiX^a^) является характеристикой элемента 3 вязкого трения в аналоге на рис. 4.5.7. Теперь вместо формулы (4.5.82) будем иметь

/ ' ( r , 8 j , ) И / ' ( T ^ J P ^ ) , как и ранее, описыва­ ют анизотропное упрочнение и термическое разупрочнение материала, а в аналоге на рис. 4.5.7 являются характеристиками пружины 1 и элемента 2 вязкого трения. В формуле (4.5.76) второй и третий члены в правой части следует объединить и написать

гае

, . àf\T,q„)

Qn=\dq'„)

аЧп

dq,

По-прежнему, функция/ \Т^q^ описывает изотропное упрочнение материала, зависящее от

температуры Т и интенсивности q^ накоплен­

изотропное разупрочнение и запаздывание во

времени изменения характеристики изотропного

*

упрочнения а при изменении температуры. Из выражения (4.5.81) с учетом соотношений (4.5.90) и (4.5.91) получим

или в форме, аналогичной закону Гука для ли­

Для упругоанизотропного материала вместо этих формул будем иметь

Используя правило суммирования по повторяю­ щемуся индексу, это соотношение можно также записать в виде

(4.5.98)

Преимущество последнего варианта описа­ ния неупругого деформирования материала со­ стоит в том, что отпадает необходимость в про­ верке условий пластичности материала, а ско­ рость изменения компонентов полной деформа­ ции представляется единым выражением (4.5.94). Это создает определенные удобства при алгорит­ мизации решения прикладных задач неупругого деформирования элементов конструкций в не­ изотермических условиях.

4.5.6. ЭФФЕКТ ПАМЯТИ ФОРМЫ

Памятью формы называют специфическое свойство некоторых металлических сплавов, ко­ торое состоит в восстановлении деформаций, сообщенных материалу при температуре ниже некоторой переходной, в результате его нагрева­ ния до температуры вьпие переходной. Указан­ ное свойство определяется особенностями крис­ таллической структуры и фазовых трансформа­ ций этих сплавов при изменениях термонапря­ женного состояния. Под фазовыми трансформа­ циями при этом понимают переход исходной (условно ее можно назвать высокотемператур­ ной) фазы в мартенситную (низкотемператур­ ную) фазу - мартенсит - при понижении темпе­ ратуры, и также обратный переход мартенсита в исходную фазу при повьпыении температуры. Мартенсит (в честь немецкого металлурга Мартенса) - метастабильная фаза металла или сплава, получаемая охлаждением от температуры выше переходной, характеризующаяся игольчатой (пластинчатой) кристаллической микрострукту­ рой. Помимо охлажден сплава напряжениями.ия мартенситный переход (в определенном диапа­ зоне температур) может быть инициирован при­ ложенными к образцу

Одной из основных характерных черт мартенситного перехода в сплавах, обладающих свойством памяти формы, является его кристал­ лографическая обратимость в том смысле, что процесс формирования и роста мартенситных кристаллов, имеющий место при понижении температуры, идет в строго обратном направле­ нии при повышении температуры (в отсутствие внешних напряжений). Если, например, перво­

начально имелся монокристалл исходной фазы, который при охлаждении трансформировался в агрегат, состоящий из нескольких пластин мар­ тенсита различной ориентации, то при последу­ ющем нагревании снова получается исходный монокристалл высокотемпературной фазы. Такие мартенситные переходы называют термоупруги­ ми. Мартенситные переходы в сталях не облада­ ют этим свойством (т.е. не являются обрати!кыми в указанном смысле), поэтому эффект памя­ ти формы в них не набгаодается.

Эффект памяти формы можно проиллюст­ рировать на следующем примере [116]. Пусть имеется тонкая пластина (на рис. 4.5.8 слева вверху), изготовленная из сплава, обладающего свойством памяти формы и полностью состоя­ щего из исходной (высокотемпературной) фазы. Температура Т при этом принимает значения в области /, соответствующей области устойчивос­ ти исходной фазы. При понижении температуры Тв отсутствие внешних напряжений мартенсит­ ный переход инициируется при температуре М^ и завершается при температуре M у (область ///

- область образования мартенсита при охлажде­ нии). Если к пластине в процессе охлаждения прикладывают внешние механические нагрузки, то мартенситный переход может начаться при температуре MQ > M^ (область / / - область мартенситного перехода, индуцированного напря­ жениями). Ниже температуры Mf пластина

состоит из мартенситнои фазы сплава (область IV - область устойчивости мартенсита).

Д начать разгрузку материала (от достигаутого значения полной деформации е), то при пони­ жении напряжения до значения <У/^_^ (точка Е) наблюдается упругое поведение. При напря­ жении ^]^_У1 инихщируется обратный фазовый переход, в процессе которого мартенсит, нахо­ дящийся при температуре Т^ в нестабильном состоянии, превращается в исходную фазу (деформация Б^^^_^ на учаспсе EF соответствует восстановлению исходной ориентации кристал­ лов). На участке FG имеет место упругая раз­ грузка исходной фазы. Описаное поведение при фиксированной температуре Т^ (Ау <Т^ < М^ )

характерно для сплавов с памятью формы и его называют псевдоупругостью.

D

Рис. 4.5.10. Диаграмма деформирования сплава с памятью формы при термомеханическом воздействии

Локальное поведение сплава при восста­ новлении формы иллюстрируется рис. 4.5.10, дополняющим рис. 4.5.8. Восходящая ветвь кри­ вой "напряжение-деформация" (см.рис. 4.5.10) до точки D соответствует переориентации крис­ таллов мартенсита вследствие приложения меха­ нических напряжений при температуре 7^2 < M^, если мартенсит был сформирован

путем охлаждения. Разгрузка при фиксирован­ ной температуре (участок DE) приводит к сня­ тию упругой деформации (s - величина упру­

гой деформации). Восстановление оставшейся деформации возможно при нагревании образца. Повышение температуры до уровня А (точка F) инициирует обратное превращение мартенсита в исходную фазу, которое завершается в точке G. При этом остаточная деформация, соответству­ ющая отрезку /4Д восстанавливается полностью, если пластическая деформация при низкой тем­ пературе (< M f ) не превосходила предельно

восстановимый уровень для данного сплава. В случае, когда формирование мартенсита было инициировано приложенными напряжениями при температуре, меньшей M^ (и А Л, восста­ новление остаточной деформации (отрезок АЕ)

будет неполным.

Исключительная важность практических применений сплавов с памятью формы в раз­ личных сферах вызывает необходимость разра­ ботки математических моделей для прогнозиро­ вания поведения таких сплавов при переменных механических и температурных нагрузках. За­ вершенной теории, позволяющей количественно описывать термомеханическое поведение спла­ вов с памятью формы, еще не создано. Суще­ ствующие немногочисленные теоретические мо­ дели [61, 112, 118, 119] дают лишь качественное соответствие прогнозируемого на их основе тер­ момеханического состояния сплава с экспери­ ментальными данными, что позволяет модели­ ровать локально одномерное поведение сплава. Эти модели опираются, как правило, на теории фазовых переходов Ландау или его модифика­ ции. Указанный подход дает возможность на качественном уровне описать эволюцию одно­ мерных диаграмм "напряжение-деформация" в достаточно широком диапазоне температур.

Элемент, изготовленный из сплава с памя­ тью формы, подвергнутый пластической дефор­ мации при температуре ниже М у , при после­ дующем нагревании до температуры А г восста­ навливает свою форму. При этом он может со­ вершить работу против внешних сил. Это обсто­ ятельство широко используют в разнообразных приложениях [61, 120].

В качестве одного из приложений можно упомянуть соединительные муфты из сплава с памятью формы, которые после деформации раздачи при низкой температуре свободно наде­ ваются на соединяемые встык трубчатые элемен­ ты, а при повышении температуры до эксплуа­ тационной плотно обжимают их в месте соеди­ нения. Соединения такого типа особенно удоб­ ны при сборке конструкций, монтаж которых другими способами по каким-либо причинам затруднен (например, при монтаже трубопро­ водного оборудования самолета). Кроме того, упомянутые соединения отличаются повьппен-